PAGEPAGE5PAGEPAGE6初中尺規(guī)作圖數(shù)學(xué)史尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題.只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.平面幾何作圖，限制只能用直尺、圓規(guī).在歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯.他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線的已知點(diǎn)上作一角與已知角相等.這件事的重要性并不在于這個(gè)角的實(shí)際（或一部分⑴經(jīng)過兩已知點(diǎn)可以畫一條直線；⑵已知圓心和半徑可以作一圓；⑶兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)；以上三條，叫做作圖公法.用直尺可以畫出第一條公法所說的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說的交點(diǎn).一個(gè)作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問題是：⑴三等分角問題：三等分一個(gè)任意角；⑵倍立方問題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積.這三個(gè)問題后被稱為“幾何作圖三大問題”.直至1837（PierreLaurent首先證明三等分角問題和立方倍積問題屬尺規(guī)作圖不能問題；1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（FerdinandLindeman）證明π是一個(gè)超越數(shù)（即π是一個(gè)不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)π(即當(dāng)圓半徑r1時(shí)所求正方形的邊長）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問題是一個(gè)尺規(guī)19世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論.UnderwoodDudley還有另外兩個(gè)著名問題：⑴正多邊形作法···只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形——這個(gè)看上去非常簡單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的.·只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以把一個(gè)角分成三等份的.·問題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正2的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬⑵四等分圓周4等分．這個(gè)問題傳言是拿破侖·尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸：用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖1.只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形AB，找出一點(diǎn)CABBCCA.AB，只用半徑固定的圓規(guī)，求作C使CAB.1016722點(diǎn)”，那么凡是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出！從已知點(diǎn)作出新點(diǎn)的幾種情況：兩弧交點(diǎn)、直線與弧交點(diǎn)、兩直線交點(diǎn)，在已有一個(gè)圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段做一角等于已知角做一角的角平分線過一點(diǎn)做一已知線段的垂線做一線段的中垂線下面介紹幾種常見的尺規(guī)作圖方法：⑴軌跡交點(diǎn)法：解作圖題的一種常見方法.解作圖題常歸結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置.如果這兩個(gè)點(diǎn)的位置是由兩個(gè)條件確定的，先放棄其中一個(gè)條件，那么這個(gè)點(diǎn)的位置就不確定而形成一個(gè)軌個(gè)利用軌跡的交點(diǎn)來解作圖題的方法稱為軌跡交點(diǎn)法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌跡法.【例】A、B必須相等，到兩條高速公路m、n的距離也必須相等，發(fā)射塔P應(yīng)修建在什么位置？FmFmABOC1nC2GEmmABn【分析】PAB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn)P【解析】OD或OE；⑵作線段ABFGOD，OE與直線FGCC1 2

就是發(fā)射塔的位置.⑵代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線段長，而這線段長的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.【例2】只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）.23【分析】設(shè)半徑為1.可算出其內(nèi)接正方形邊長為23

，也就是說用這個(gè)長度去等分圓周.我們的任務(wù)就是做3出這個(gè)長度.六等分圓周時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)3

的長度.設(shè)法構(gòu)造斜邊為

，一直角邊為1的直角三角2形， 的長度自然就出來.2【解析】具體做法：⑴隨便畫一個(gè)圓.設(shè)半徑為1.3⑵先六等分圓.這時(shí)隔了一個(gè)等分點(diǎn)的兩個(gè)等分點(diǎn)距離為 .3⑶以這個(gè)距離為半徑，分別以兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)為圓心，同向作弧，交于一點(diǎn).（“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”其實(shí)就是直徑的兩端點(diǎn)啦！兩弧交點(diǎn)與“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”形成的是一個(gè)底為2，32腰為 的等腰三角可算出頂點(diǎn)距圓心距離就是 .）322⑷以 的長度等分圓周就可以啦！2⑶旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.【例】已知：直線a、b、c，且a∥b∥c.求作：正ABCAB、C三點(diǎn)分別在直線a、b、c上.AaaD'bB DcC【分析】假設(shè)ABCABC三點(diǎn)分別在直線abcADbDA點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)ACD'D'的位置可以確定.從而點(diǎn)C再作BACB【解析】作法：⑴在直線a上取一點(diǎn)A，過A作ADb于點(diǎn)D；⑵以AD為一邊作正三角形ADD'；DD'CAD，交直線c于C；⑷以A為圓心，AC為半徑作弧，交b于B(使B與D'在AC異側(cè)).ABACBC得ABC.ABC即為所求.⑷位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.【例4】已知：一銳角ABC.DEFGDEBCFACGAB邊上.GFG'F'GFG'F'B C B D' D E' E C【分析】FACDEFGDEF'G，然后利用位似變換將正方形DEF'G放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形DEFG.【解析】作法：AB邊上任取一點(diǎn)G'，過G作GDBCD'⑵以GD為一邊作正方形DEF'GEBD⑶作直線BF'交AC于F.FFGF'GAB于GFEFEBCE.⑸過G作GD∥GDBCDDEFG⑸面積割補(bǔ)法作圖：對(duì)于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.【例5】如圖，過ABC的底邊BC上一定點(diǎn)，P，求作一直線l，使其平分ABC的面積.lNBMlNBMPCB P C【分析】AM平分A