一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編(難題易錯(cuò)題)1.已知X］、X2是關(guān)于x的-元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求a的取值范圍；若g+D^+l)是負(fù)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.【答案】(1)a>0且aH6;(2)a的值為7、8、9或12.【解析】【分析】1)根據(jù)一元二次方程的定義及一元二次方程的解與判別式之間的關(guān)系解答即可；(2)由(x由(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-az6，x1x2=喬6'是是負(fù)整數(shù)，6是是負(fù)整數(shù)，即可得三是正整數(shù)?根據(jù)a是整數(shù)，即可求得a的值2【詳解】(1)???原方程有兩實(shí)數(shù)根,iA=(2a}-~4(a~6)*0.a>0且aH6.(2)X］、x2是關(guān)于x的元二次方程(2)X］、x2是關(guān)于x的x,:■-■■■?x1+x2=-；，x1x2=：,(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=$-禺+1=-總T(x1+1)(x2+1)是負(fù)整數(shù)，.-是負(fù)整數(shù)，即是正整數(shù).a-6a-6ta是整數(shù)，.a-6的值為1、2、3或6，.a的值為7、8、9或12.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于a的不等式是解此題的關(guān)鍵.2.關(guān)于x的方程(k—1)x2+2kx+2=0求證：無(wú)論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根.設(shè)X］,x2是方程(k—1)x2+2kx+2=0的兩個(gè)根，記S=7^+=+xT+x2，S的值能為2嗎？若能，求出此時(shí)k的值.若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)詳見解析；(2)S的值能為2，此時(shí)k的值為2.【解析】試題分析：(1)本題二次項(xiàng)系數(shù)為(k—1)，可能為0,可能不為0,故要分情況討論；要保證一元二次方程總有實(shí)數(shù)根，就必須使厶〉。恒成立；(2)欲求k的值，先把此代數(shù)式11變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．試題解析：(1)①當(dāng)k-1=0即k=1時(shí)，方程為一元一次方程2x=1,②當(dāng)k-lHO即kHl時(shí)，方程為一元二次方程，△=(2k)2-4x2(k-1)=4k2-8k+8="4(k-1)"2+4>0方程有兩不等根綜合①②得不論k為何值，方程總有實(shí)根-2k2(2)vxi+x2=,x1x2=k—1k—1S=+三+xi+x2立竝+西+花￥=2k-2=2，解得k=2，???當(dāng)k=2時(shí)，S的值為2???S的值能為2，此時(shí)k的值為2.考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m=0(m為常數(shù))求證：不論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若方程有一個(gè)根是2,求m的值及方程的另一個(gè)根.【答案】(1)見解析；⑵即m的值為0,方程的另一個(gè)根為0.【解析】【分析】(1)可用根的判別式，計(jì)算判別式得到△=(m+2)2-4x1-m=m2+4>0,則方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，于是可判斷不論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為t,(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為t,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到2+t=,2t=m,最終解出關(guān)于t和m的方程組即可.【詳解】(1)證明：△=(m+2)2-4x1?m=m2+4,T無(wú)論m為何值時(shí)m2>0,???m2+4>4>0.即厶>0,所以無(wú)論m為何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)設(shè)方程的另一個(gè)根為t,x2-(m+2)m+2根據(jù)題意得2+t=i,2t=m,解得t=0,所以m=0,即m的值為0,方程的另一個(gè)根為0.【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式和根于系數(shù)關(guān)系,對(duì)于問題(1)可用根的判別式進(jìn)行判斷,在判斷過程中注意對(duì)△的分析，在分析時(shí)可借助平方的非負(fù)性；問題(2)可先設(shè)另一個(gè)根為t,用根于系數(shù)關(guān)系列出方程組,在求解.小王經(jīng)營(yíng)的網(wǎng)店專門銷售某種品牌的一種保溫杯，成本為30元/只，每天銷售量y(只)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系式為y=-10x+700(40<x<55)，求當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最大,利潤(rùn)的最大值為4000元【解析】【分析】表示出一件的利潤(rùn)為(x-30),根據(jù)總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)乘以銷售數(shù)量，整理成頂點(diǎn)式即可解題.【詳解】設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：w=(x-30)y=(x-30)(-10x+700)=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000.ta=-10V0,?當(dāng)x=50時(shí)，w取最大值，最大值為4000.答：當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最大,利潤(rùn)的最大值為4000元.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,熟悉函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.如圖，在RtABC中，ZB=90,AC=10cm,BC=6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)p、Q的分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿邊AB,BC向終點(diǎn)C移動(dòng).已知點(diǎn)P,Q的速度分別為2cm/s，1cm/s，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為xs.問是否存在這樣的x，使得四邊形APQC的面積等于16cm2?若存在，請(qǐng)求出此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】假設(shè)不成立，四邊形APQC面積的面積不能等于16cm2，理由見解析【解析】【分析】根據(jù)題意，列出BQ、PB的表達(dá)式，再列出方程，判斷根的情況.【詳解】解：???ZB=90，AC=10，BC=6，???AB=8?。???BQ=x，PB=8-2x；假設(shè)存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于16cm2，11則-x668-x（8-2x）=16整理得：x2—4x+8=0，=16-32=-16<0，?假設(shè)不成立，四邊形APQC面積的面積不能等于16cm2.【點(diǎn)睛】△本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握方程根的判別方法、理解方程的意義是本題的解題關(guān)鍵.16.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+】）x+4m2-2=°?G）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2,且滿足x12+x2+吧=18-4m2，求m的值?【答案】（1）m的最小整數(shù)值為-4；（2）m=3解析】分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得A>0，列式即可求解，（2）利用韋達(dá)定理即可解題.詳解】

(1)解：A=(m+1)2-4xlx—m2-2—m2+2m+1一m2+8=2m+9方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根/.A>0，即2m+9>0、9m>2m的最小整數(shù)值為-42)由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+x=-2)由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+x=-(m+1),121由x2+x2+xx—18一一m2得.12412-(m+])]2-(1)1—m2一2—18一一m214丿.m—3，1>9m>-—2m—3??【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和韋達(dá)定理,中等難度,熟悉韋達(dá)定理是解題關(guān)鍵.7.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)x2+2x+a-2=0,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x】，x2.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若xT2x22+4xT+4x2=1,求a的值.【答案】(1)aW3；(2)a=-1.【解析】試題分析：(1)由根的個(gè)數(shù)，根據(jù)根的判別式可求出a的取值范圍；(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代換求值即可得到a的值.試題解析：(1)T方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△->0，即22-4x1x(a-2)>0，解得a<3；(2)由題意可得x1+x2=-2，x1x2=a-2，TxT2x22+4xT+4x2=1，???(a-2)2-8=1，解得a=5或a=-1，Ta<3，.a=-1.&關(guān)于x的一元二次方程X2-2x-(n-1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.求n的取值范圍；若n為取值范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求此方程的根.【答案】(1)n>0；(2)X]=O,x2=2.【解析】【分析】⑴根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知A二b2-4ac>0，即可求出n的取值范圍；(2)根據(jù)題意得出n的值,將其代入方程,即可求得答案.【詳解】⑴根據(jù)題意知，人=b2-4ac=(—2)2—4xlx[-(n—1)]>0解之得：n>0；(2)vn>0且n為取值范圍內(nèi)的最小整數(shù)，/.n—1，則方程為x2-2x—0，即x(x-2)—0，解得￡—0,x2—2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，明確和掌握一元二次方程ax2+bx+c—0(a豐0)的根與A—b2-4ac的關(guān)系(①當(dāng)人>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)A—0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)A<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根)是解題關(guān)鍵.1已知關(guān)于x的方程X2-(2k+1)x+4(k-—)=0.厶求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)a=3，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求k值多少？3【答案】(1)詳見解析；(2)k=—或2.【解析】【分析】計(jì)算判別式的值，利用完全平方公式得到△=(2k-3)2>0,然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；利用求根公式解方程得到X]=2k-1,x2=2，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到2k-1=2或2k-1=3,然后分別解關(guān)于k的方程即可.【詳解】1?:△=(2k+1)2-4x4(k-)=4k2-12k+9=(2k-3)2>0，2???該方程總有實(shí)數(shù)根；2k+1±(2k-3)x=2?x1=2k-1，x2=2，???ab、c為等腰三角形的三邊，2k-1=2或2k-1=3,3.k=2或2.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)，分a是等腰三角形的底和腰兩種情況是解題的關(guān)鍵.如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB邊向B點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).⑴問幾秒后，△PBQ的面積為8cm2?(2)出發(fā)幾秒后，線段PQ的長(zhǎng)為4邁cm?⑶△PBQ的面積能否為10cm2?若能，求出時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)2或4秒;⑵4邁cm；(3)見解析.【解析】【分析】由題意，可設(shè)P、Q經(jīng)過t秒，使△PBQ的面積為8cm2，則PB=6-t,BQ=2t，根據(jù)三1角形面積的計(jì)算公式，沁PBQ=2BPxBQ,列出表達(dá)式，解答出即可；設(shè)經(jīng)過x秒后線段PQ的長(zhǎng)為4邁cm,依題意得AP=x,BP=6-x,BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；將厶PBQ的面積表示出來(lái)，根據(jù)△=b2-4ac來(lái)判斷.【詳解】⑴設(shè)P,Q經(jīng)過t秒時(shí)，△PBQ的面積為8cm2,則PB=6－t，BQ=2t，ZB=90°,1…2(6—t)x2t=8,解得t1=2，t2=4，???當(dāng)P,Q經(jīng)過2或4秒時(shí)，