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例題習(xí)題課教學(xué)要求第十章曲面積分場(chǎng)論初步Gauss)、2.了解散度、旋度的概念及其計(jì)算1.了解兩類曲面積分的概念及高斯并會(huì)計(jì)算兩類曲面積分.斯托克斯(Stokes)公式,方法.3.會(huì)用曲面積分求一些幾何量與物理量.一、教學(xué)要求理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式梯度通量旋度環(huán)流量散度（三）場(chǎng)論初步則

如果曲面方程為以下三種：則對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法則計(jì)算的關(guān)鍵是看所給曲面方程的形式?。?！曲面方程以哪兩個(gè)變量為自變量，就向這兩個(gè)變量所確定的坐標(biāo)平面投影，得到積分區(qū)域。對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法解法有三種1.利用高斯公式具有則外側(cè).一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則1.利用高斯公式2.通過(guò)投影化為二重積分注意的確定!3.向量的點(diǎn)積法規(guī)定yxzzRQPyxdd)1,,(),,(￠-￠-=òòS解由點(diǎn)O到平面的距離公式,得例得rrrd)4(d4120220òò-=pq解：由于關(guān)于變量x,y輪換對(duì)稱性例例解利用向量的點(diǎn)積法1-1例解法一：利用向量點(diǎn)積法用高斯公式.補(bǔ)面：取下面，取上面。則構(gòu)成封閉曲面，且取外側(cè)。計(jì)算由高斯公式法2：注意：若用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分，要分區(qū)域考慮。23解

球

例外側(cè).其中的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=記半球域?yàn)?高斯公式有計(jì)算為輔助面,利用為半球面例例設(shè)是曲面解:

取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為

xoy

平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計(jì)算則第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式計(jì)算,得例證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)為簡(jiǎn)單閉曲面,a

為任意固定向量,n為的

例計(jì)算曲面積分中是球面解:利用對(duì)稱性用重心公式(曲面關(guān)于xoz面對(duì)稱）29例計(jì)算曲線積分其中為曲線若從x軸正向看過(guò)去,

為取逆時(shí)針?lè)较?解設(shè)為所圍的圓盤,

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