學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精習題課2豎直面內(nèi)的圓周運動學習目標1。了解豎直面內(nèi)圓周運動的兩種基本模型．2．掌握輕繩約束下圓周運動的兩個特殊點的相關分析．3．學會分析圓周運動問題的一般方法.考試要求必考加試dd一、豎直面內(nèi)圓周運動的輕繩（過山車)模型[導學探究］如圖1所示，長為L的細繩拴著質(zhì)量為m的小球在豎直面內(nèi)做圓周運動．試分析：圖1(1)當小球在最低點A的速度為v1時,求繩的拉力FT1。(2)當小球在最高點B的速度為v2時，求繩的拉力FT2。（3）小球過最高點的最小速度是多大？(4）假設繩拉球過最高點時最小速度小于eq\r(gL），則會產(chǎn)生什么樣的后果？請總結(jié)繩拉球過最高點的條件．(5)有一豎直放置、內(nèi)壁光滑的圓環(huán),其半徑為r，質(zhì)量為m的小球沿它的內(nèi)表面做圓周運動，分析小球在最高點A的速度應滿足什么條件？答案（1)最低點：FT1＝mg＋eq\f（mv\o\al（2，1)，L）（2)最高點：FT2＝eq\f(mv\o\al(2，2),L）－mg（3）由于繩不可能對球有向上的支持力，只能產(chǎn)生向下的拉力，由FT2＋mg＝eq\f（mv\o\al（2，2），L)可知，當FT2＝0時，v2最小，最小速度為v0＝eq\r(gL）。(4）當v<eq\r(gL)時，所需的向心力Fn＝eq\f(mv2,L)<mg.此時，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力會使小球向下偏離圓周軌道，即小球此時不能過最高點做圓周運動,這之前已經(jīng)脫離圓周軌道了．繩拉球過最高點的條件是：v≥eq\r(gL).（5)與繩拉球模型相似，如圖所示，在最高點A時，有FN＋mg＝meq\f（v2,r)，當FN＝0時，v最小為v0＝eq\r（gr),當v＝v0時,小球剛好能夠通過最高點,當v〈v0時，球偏離軌道，不能過最高點．當v>v0時，小球能夠通過最高點．[知識深化］輕繩模型（如圖2所示）的最高點問題圖21．繩（內(nèi)軌道）施力特點：只能施加向下的拉力(或壓力）．2．在最高點的動力學方程FT＋mg＝meq\f（v2，r）.3．在最高點的臨界條件為FT＝0，此時mg＝meq\f(v2，r），則v＝eq\r（gr)。v＝eq\r（gr）時,拉力或壓力為零．v〉eq\r(gr）時，小球受向下的拉力或壓力．v〈eq\r（gr)時，小球不能達到最高點．即輕繩模型的臨界速度為v臨＝eq\r（gr）.例1一細繩與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如圖3所示,水的質(zhì)量m＝0.5kg，水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離l＝50cm。（g取10m/s2)圖3（1)若在最高點水不流出來,求桶的最小速率；（結(jié)果保留三位小數(shù))（2）若在最高點水桶的速率v＝3m/s，求水對桶底的壓力大?。鸢?1)2.24m/s（2)4N解析(1)以水桶中的水為研究對象，在最高點恰好不流出來，說明水的重力恰好提供其做圓周運動所需的向心力，此時桶的速率最?。藭r有:mg＝meq\f(v\o\al（2,0），l)，則所求的最小速率為：v0＝eq\r（gl)≈2。24m/s。(2)此時桶底對水有向下的壓力，設為FN,則由牛頓第二定律有：FN＋mg＝meq\f（v2,l),代入數(shù)據(jù)可得：FN＝4N.由牛頓第三定律，水對桶底的壓力:FN′＝4N。針對訓練如圖4所示，用長為l的細繩拴著質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，則下列說法中正確的是（）圖4A．小球在圓周最高點時所受的向心力一定為重力B．小球在最高點時繩子的拉力不可能為零C．若小球剛好能在豎直平面內(nèi)做圓周運動，則其在最高點的速率為eq\r(gl）D．小球過最低點時繩子的拉力可以小于小球重力答案C解析小球在圓周最高點時，向心力可能等于重力也可能等于重力與繩子的拉力之和,取決于小球的瞬時速度的大小，A錯誤；小球在圓周最高點時,如果向心力完全由重力充當，則繩子的拉力為零，B錯誤;小球剛好能在豎直面內(nèi)做圓周運動，則在最高點，重力提供向心力,v＝eq\r（gl),C正確；小球在圓周最低點時,具有豎直向上的向心加速度，處于超重狀態(tài)，拉力一定大于重力，故D錯誤．二、豎直面內(nèi)圓周運動的輕桿（管道)模型［導學探究］長為L的輕桿一端固定著一質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動．（如圖5，重力加速度為g）圖5（1)當小球在最高點B的速度大小為v1時,求桿對球的作用力．(2)桿拉球過最高點的最小速度為多少?(3)試分析光滑圓管豎直軌道中（軌道半徑為R),小球過最高點時受管壁的作用力與速度大小的關系？答案（1)以豎直向下為正方向,設桿對球的作用力為F，則有mg＋F＝eq\f(mv\o\al(2，1),L）則F＝eq\f（mv\o\al(2,1),L)－mg當v1＝eq\r(gL)時，F(xiàn)＝0當v1〉eq\r(gL)時，F(xiàn)>0，表示桿對球的作用力方向向下，表現(xiàn)為拉力．當0＜v1<eq\r(gL）時，F(xiàn)<0，表示桿對球的作用力方向向上，表現(xiàn)為支持力．（2）由（1)中的分析可知,桿拉球過最高點的最小速度為零．（3）以豎直向下為正方向，設管壁對球的作用力為FN。則有FN＋mg＝eq\f（mv2,R)即FN＝eq\f（mv2，R）－mg當v＝eq\r(gR）時,FN＝0，當v>eq\r（gR）時，F(xiàn)N>0，即上管壁對球有向下的壓力；當0〈v<eq\r(gR)時,FN<0,即FN豎直向上，下管壁對球有向上的支持力．［知識深化］輕桿和管道模型1．最高點的最小速度如圖6所示，輕桿上固定的小球和管道內(nèi)運動的小球,由于桿和管在最高處能對小球產(chǎn)生向上的支持力，故小球恰能到達最高點的最小速度v＝0,此時小球受到的支持力FN＝mg。圖62．小球通過最高點時,桿或管道對小球的彈力情況（1)v>eq\r(Rg)，桿或管的外側(cè)對球產(chǎn)生向下的拉力或彈力,F隨v增大而增大．(2)v＝eq\r(Rg)，球在最高點只受重力，不受桿或管的作用力,F＝0。（3)0<v〈eq\r（Rg），桿或管的內(nèi)側(cè)對球產(chǎn)生向上的彈力，F(xiàn)隨v的增大而減?。?．小球能過最高點的條件：v＝0.例2長L＝0.5m的輕桿,其一端連接著一個零件A（可視為質(zhì)點),A的質(zhì)量m＝2kg。現(xiàn)讓A在豎直平面內(nèi)繞O點做勻速圓周運動,如圖7所示．在A通過最高點時,求下列兩種情況下A對桿的作用力大小(g＝10m/s2)．圖7(1)A的速率為1m/s;(2)A的速率為4m/s.答案(1)16N（2）44N解析以豎直向下為正方向，并以A為研究對象,設其受到桿的作用力為F，則有mg＋F＝meq\f(v2,L）.(1）代入數(shù)據(jù)v1＝1m/s,可得F＝m(eq\f（v\o\al(2,1）,L）－g）＝2×（eq\f(12,0.5）－10）N＝－16N，即A受到桿的支持力為16N．根據(jù)牛頓第三定律可得A對桿的作用力為壓力，大小為16N.(2）代入數(shù)據(jù)v2＝4m/s,可得F′＝m(eq\f（v\o\al(2，2),L)－g）＝2×（eq\f(42，0.5）－10）N＝44N，即A受到桿的拉力為44N．根據(jù)牛頓第三定律可得A對桿的作用力為拉力，大小為44N。例3如圖8所示，半徑為L的圓管軌道(圓管內(nèi)徑遠小于軌道半徑)豎直放置,管內(nèi)壁光滑，管內(nèi)有一個小球(小球直徑略小于管內(nèi)徑)可沿管轉(zhuǎn)動，設小球經(jīng)過最高點P時的速度為v，則(）圖8A．v的最小值為eq\r（gL）B．v若增大，球所需的向心力也增大C．當v由eq\r（gL)逐漸減小時，軌道對球的彈力也減小D．當v由eq\r(gL）逐漸增大時，軌道對球的彈力逐漸減小答案B解析由于小球在圓管中運動，故最高點速度可為零，A錯誤；根據(jù)向心力公式有Fn＝meq\f（v2,r)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正確；因為圓管既可提供向上的支持力也可提供向下的壓力，當v＝eq\r(gL）時,軌道對小球的作用力為零，故v由eq\r（gL)逐漸減小時，軌道對球的彈力增大，C錯誤;v由eq\r（gL)逐漸增大時，軌道對球的彈力也增大，D錯誤．故選B.1。(輕繩作用下物體的運動）雜技演員表演“水流星”，在長為1.6m的輕繩的一端,系一個連同水的總質(zhì)量為m＝0。5kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運動,如圖9所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4m/s，則下列說法正確的是(g＝10m/s2)（）圖9A．“水流星"通過最高點時,有水從容器中流出B．“水流星”通過最高點時,繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C．“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態(tài),不受力的作用D．“水流星"通過最高點時,繩子的拉力大小為5N答案B解析水流星在最高點的臨界速度v＝eq\r（gL)＝4m/s，由此知繩的拉力恰為零,且水恰不流出，故選B。2．（軌道約束下小球的運動)如圖10所示,過山車的軌道可視為豎直平面內(nèi)半徑為R的圓軌道．質(zhì)量為m的游客隨過山車一起運動，當游客以速度v經(jīng)過圓軌道的最高點時（)圖10A．處于超重狀態(tài)B．向心加速度方向豎直向下C．速度v的大小一定為eq\r（gR）D．座位對游客的作用力為meq\f（v2，R）答案B解析游客經(jīng)過最高點時,加速度方向豎直向下．處于失重狀態(tài)，A錯,B正確；由牛頓第二定律得FN＋mg＝meq\f(v2，R)，分析知C、D錯誤．3．（球在管形軌道中的運動）如圖11所示,小球m在豎直放置的光滑的圓形管道內(nèi)做圓周運動,下列說法正確的是（)圖11A．小球通過最高點時的最小速度是eq\r(Rg)B．小球通過最高點時的最小速度為零C．小球在最高點時,管道只能對小球產(chǎn)生向上的作用力D．小球在最高點時,管道只能對小球產(chǎn)生向下的作用力答案B解析圓形管道外側(cè)、內(nèi)側(cè)都可以對小球產(chǎn)生彈力，小球在最高點時管道既可對小球產(chǎn)生向上的作用力,也可產(chǎn)生向下的作用力，小球最小速度可以是零，故B正確．4．（桿拉球在豎直面內(nèi)的運動)質(zhì)量為0.2kg的小球固定在長為0。9m的輕桿一端，桿可繞過另一端O點的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．（g＝10m/s2)求:（1)當小球在最高點的速度為多大時，球?qū)U的作用力為零?(2)當小球在最高點的速度分別為6m/s和1。5m/s時,球?qū)U的作用力．答案（1）3m/s(2)6N，方向豎直向上1。5N,方向豎直向下解析(1）當小球在最高點對桿的作用力為零時,重力提供向心力，則mg＝meq\f（v\o\al(2，0），R），解得v0＝3m/s.(2)v1＞v0，由牛頓第二定律得：mg＋F1＝meq\f(v\o\al(2，1),R），由牛頓第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6N,方向豎直向上．v2＜v0，由牛頓第二定律得：mg－F2＝meq\f（v\o\al(2,2）,R）,由牛頓第三定律得：F2′＝F2,解得：F2′＝1。5N，方向豎直向下．課時作業(yè)一、單選題1．長為L的細繩，一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于某點，當繩豎直時小球靜止，再給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動,并且剛好能過最高點．則下列說法中正確的是(）A．小球過最高點時速度為零B．小球開始運動時繩對小球的拉力為meq\f(v\o\al(2,0），L)C．小球過最高點時繩對小球的拉力為mgD．小球過最高點時速度大小為eq\r（gL）答案D2．秋千的吊繩有些磨損，在擺動過程中，吊繩最容易斷裂的時候是秋千（)A．在下擺過程中 B．在上擺過程中C．擺到最高點時 D．擺到最低點時答案D解析當秋千擺到最低點時速度最大，由F－mg＝meq\f(v2,l)知,吊繩中拉力F最大，吊繩最容易斷裂，選項D正確．3．手握繩的一端，繩的另一端系著盛有水的小水桶，使該水桶在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如圖1所示．在水桶經(jīng)過最高點時（）圖1A．速度一定為零B．水和桶均不受重力C．因桶口朝下，必有水流出D．雖桶口朝下,但水不會流出答案D4．如圖2所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動．圓環(huán)半徑為R,小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點時下列表述正確的是（)圖2A．小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mgB．重力mg充當小球做圓周運動的向心力C．小球的速度大小等于零D．小球的向心加速度大于g答案B解析因為小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán),故在最高點時小球?qū)A環(huán)的壓力為零,選項A錯誤；此時小球只受重力作用，即重力mg充當小球做圓周運動的向心力，滿足mg＝meq\f（v2，R)＝man,即v＝eq\r(gR），an＝g,選項B正確，C、D錯誤．5.如圖3所示，長為l的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，關于小球在最高點的速度v，下列說法不正確的是（)圖3A．v的最小值為eq\r(gl)B．v由零逐漸增大,向心力也增大C．當v由eq\r(gl）逐漸增大時，桿對小球的彈力逐漸增大D．當v由eq\r（gl)逐漸減小時，桿對小球的彈力逐漸增大答案A解析由于是輕桿,即使小球在最高點速度為零，小球也不會掉下來，因此v的最小值是零,A錯；v由零逐漸增大，由Fn＝eq\f（mv2，l)可知，F(xiàn)n也增大，B對；當v＝eq\r（gl）時,Fn＝eq\f（mv2,l）＝mg，此時桿恰對小球無作用力，向心力只由其自身重力提供；當v由eq\r(gl）逐漸增大時，則eq\f（mv2，l)＝mg＋F，故F＝meq\f（v2，l）－mg，桿對球的力為拉力，且逐漸增大；當v由eq\r(gl)逐漸減小時，桿對球的力為支持力，此時，mg－F′＝eq\f（mv2,l)，F(xiàn)′＝mg－eq\f（mv2，l)，支持力F′逐漸增大，桿對球的拉力、支持力都為彈力，所以C、D也對，故選A。6.如圖4所示,某公園里的過山車駛過軌道的最高點時，乘客在座椅里面頭朝下，人體顛倒，若軌道半徑為R，人體重為mg，要使乘客經(jīng)過軌道最高點時對座椅的壓力等于自身的重力,則過山車在最高點時的速度大小為(）圖4A．0 B.eq\r（gR)C。eq\r(2gR) D.eq\r(3gR）答案C解析由題意知F＋mg＝2mg＝meq\f(v2,R)，故速度大小v＝eq\r(2gR),C正確．7．如圖5所示，質(zhì)量為m的小球固定在桿的一端，在豎直面內(nèi)繞桿的另一端點O做圓周運動．當小球運動到最高點時，即時速度為v＝eq\r(\f（1，2）Lg），L是球心到O點的距離，則球?qū)U的作用力為（）圖5A。eq\f(1，2）mg的拉力 B。eq\f(1,2)mg的壓力C．零 D。eq\f（3，2)mg的壓力答案B解析當重力完全充當向心力時，球?qū)U的作用力為零，所以mg＝meq\f（v′2,R)，解得：v′＝eq\r(gL)，所以eq\r(\f(1,2)gL)〈eq\r(gL)時，桿對球是支持力，即mg－FN＝meq\f(v2,L)，解得FN＝eq\f(1,2)mg，由牛頓第三定律得，球?qū)U是壓力，故選B。8．某飛行員的質(zhì)量為m，駕駛飛機在豎直面內(nèi)以速度v做勻速圓周運動,圓的半徑為R，在圓周的最高點和最低點比較，飛行員對飛機的作用力在最低點比最高點大（)A．mg B．2mgC．mg＋eq\f（mv2,R) D．2eq\f(mv2，R)答案B解析在最高點有：F1＋mg＝meq\f(v2,R），解得：F1＝meq\f(v2,R）－mg;在最低點有：F2－mg＝meq\f(v2,R)，解得：F2＝mg＋meq\f（v2，R）.所以F2－F1＝2mg，B正確．9。如圖6所示,一個內(nèi)壁光滑的彎管處于豎直平面內(nèi),其中管道半徑為R.現(xiàn)有一個半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管里運動，當小球通過最高點時速率為v0，則下列說法中錯誤的是（）圖6A．若v0＝eq\r（gR），則小球?qū)軆?nèi)壁無壓力B．若v0>eq\r（gR）,則小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力C．若0<v0<eq\r（gR），則小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力D．不論v0多大，小球?qū)軆?nèi)下壁都有壓力答案D解析在最高點，只有重力提供向心力時，由mg＝meq\f(v\o\al(2，0),R)解得v0＝eq\r(gR），此時小球?qū)軆?nèi)壁無壓力，選項A正確．若v0＞eq\r(gR）,則有mg＋FN＝meq\f(v\o\al(2,0)，R)，表明小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力，選項B正確．若0＜v0＜eq\r(gR），則有mg－FN＝meq\f(v\o\al（2,0)，R)，表明小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力，選項C正確．綜上分析，選項D錯誤，故選D.10.半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上(如圖7所示)，頂部有一小物體A，現(xiàn)給它一個水平初速度v0＝eq\r(Rg），則物體將()圖7A．沿球面下滑至M點B．沿球面下滑至某一點N，便離開球面做斜下拋運動C．沿半徑大于R的新圓弧軌道做圓周運動D．立即離開半圓球做平拋運動答案D解析當v0＝eq\