第一章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度2.矢量場(chǎng)的通量與散度3.矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度4.無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)5.格林定理

6.

矢量場(chǎng)的惟一性定理7.亥姆霍茲定理

8.正交曲面坐標(biāo)系yx以濃度表示的標(biāo)量場(chǎng)

以箭頭表示的矢量場(chǎng)A

標(biāo)量場(chǎng)（）和矢量場(chǎng)（A）yx1.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度

標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。

標(biāo)量場(chǎng)

在

P

點(diǎn)沿

l

方向上的方向?qū)?shù)定義為Pl梯度是一個(gè)矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)

的梯度可表示為式中的grad

是英文字

gradient

的縮寫。

某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向。

若引入算符，在直角坐標(biāo)系中該算符可表示為則梯度可以表示為zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')例計(jì)算及。

表示對(duì)x,y,z

運(yùn)算表示對(duì)運(yùn)算這里解表示源點(diǎn)，P

表示場(chǎng)點(diǎn)。

zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')

矢量

A

沿某一有向曲面

S的面積分稱為矢量

A通過(guò)該有向曲面

S的通量，以標(biāo)量

表示，即

2.矢量場(chǎng)的通量與散度通量可為正、負(fù)或零。

當(dāng)矢量穿出某個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場(chǎng)的洞（或匯）。

閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。

當(dāng)閉合面中有源時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的通量一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的通量一定為負(fù)。前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。S

已知真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度

E

通過(guò)任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量

q與真空介電常數(shù)

0

之比，即，

當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無(wú)源區(qū)中，穿過(guò)任一閉合面的通量為零。十一

但是，通量?jī)H能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度。

當(dāng)閉合面

S向某點(diǎn)無(wú)限收縮時(shí)，矢量

A通過(guò)該閉合面S

的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)

A

在該點(diǎn)的散度，以

divA

表示，即式中，div

是英文字divergence的縮寫；

V

為閉合面

S包圍的體積。上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通過(guò)包圍單位體積閉合面的通量。

直角坐標(biāo)系中散度可表示為

因此散度可用算符

表示為散度定理或者寫為

從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為散度定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為散度定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

V

的邊界

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

V

中的場(chǎng)，根據(jù)散度定理即可求出邊界

S上的場(chǎng)，反之亦然。例求空間任一點(diǎn)位置矢量r的散度。求得已知解rOxzyxzy標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的旋度？算子

矢量場(chǎng)

A沿一條有向曲線

l的線積分稱為矢量場(chǎng)

A沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即3.矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度可見，若在閉合有向曲線

l上，矢量場(chǎng)

A

的方向處處與線元

dl的方向保持一致，則環(huán)量

>0；若處處相反，則

<0

?？梢?，環(huán)量可以用來(lái)描述矢量場(chǎng)的旋渦特性。l

已知真空中磁通密度

B沿任一閉合有向曲線

l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度

I

與真空磁導(dǎo)率

0

的乘積。即

式中，電流

I的正方向與

dl的方向構(gòu)成

右旋關(guān)系。

環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度?！袸1I2

旋度是一個(gè)矢量。以符號(hào)

curlA

表示矢量

A

的旋度，其方向是使矢量

A

具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中curl是旋度的英文字；en

為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，S

為閉合曲線

l

包圍的面積。

矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。

en1en2en直角坐標(biāo)系中，旋度可用矩陣表示為

或者

無(wú)論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在某點(diǎn)附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性或稱為微分特性。

函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

旋度定理（斯托克斯定理）

從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為旋度定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為旋度定理建立了區(qū)域

S中的場(chǎng)和包圍區(qū)域

S

的邊界

l上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域

S中的場(chǎng)，根據(jù)旋度定理即可求出邊界

l

上的場(chǎng)，反之亦然?；蛘呃囎C任何矢量場(chǎng)A

均滿足下列等式式中，S為包圍體積V

的閉合表面。此式又稱為矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。證設(shè)C為任一常矢量，則SVA根據(jù)散度定理，上式左端

那么對(duì)于任一體積V，得求得

散度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)，旋度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)。

4.

無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)可以證明

上式表明，任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的旋度，或者說(shuō)，任何旋度場(chǎng)一定是無(wú)散場(chǎng)。

上式表明，任一標(biāo)量場(chǎng)

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無(wú)旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或者說(shuō)，任何梯度場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)。

又可證明5.格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)及，若在區(qū)域

V

中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)及滿足下列等式SV,式中S

為包圍V的閉合曲面；為標(biāo)量場(chǎng)

在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)。根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。

設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng)P與Q

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng)P及Q滿足下列等式：式中S

為包圍V

的閉合曲面；面元dS的方向?yàn)镾

的外法線方向。上式稱為矢量第一格林定理。

基于上式還可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。

格林定理建立了區(qū)域

V中的場(chǎng)與邊界

S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。

格林定理說(shuō)明了兩種標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布特性。6.矢量場(chǎng)的惟一性定理

位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被惟一地確定。

已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源，可見惟一性定理表明，矢量場(chǎng)被其源及邊界條件共同決定。VSF(r)

若矢量場(chǎng)

F(r)

在無(wú)限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V

中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)

F(r)

可以表示為

7.亥姆霍茲定理

式中V'zxyr

Or'

r–r'

F(r)

該定理表明任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)與一個(gè)無(wú)散場(chǎng)之和。矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問(wèn)題。

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。

在電磁場(chǎng)與電磁波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。8.正交曲面坐標(biāo)系

1）直角坐標(biāo)系位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx直角坐標(biāo)系中A矢量：B矢量：（圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識(shí)）類似2）圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量132（1）（2）（3）3）球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量微分單元的表示球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系4）坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)變量的轉(zhuǎn)換圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系單位矢量的轉(zhuǎn)換圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系矢量分量的轉(zhuǎn)換圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)球坐標(biāo)系與直