第二講

量子通信的基礎(chǔ)理論第二講

量子通信的基礎(chǔ)理論1主要內(nèi)容：一、量子的基本概念二、量子力學(xué)假設(shè)（狀態(tài)空間假設(shè)、力學(xué)量算符假設(shè)、量子態(tài)演化假設(shè)、測量假設(shè)、復(fù)合系統(tǒng)假設(shè)）方法：講授、啟發(fā)、討論目的：充分理解量子力學(xué)的五大基本假設(shè)時間：90分鐘主要內(nèi)容：2二、量子的概念1.量子量子，并不是一種具體粒子，而是物理學(xué)中基本能量粒子的統(tǒng)稱。量子的觀點認為分子、原子、電子等微觀粒子都是量子的表現(xiàn)形態(tài)。19世紀物理學(xué)家提出的量子概念指出，微觀世界中量子是能量的最小單位，不能再分。對于光子，或者說光量子，在具有粒子性的同時也具有波動性，即光也是一種電磁波，具有特定的振動方向，在傳播過程中具有偏振特性，而這個特性將被應(yīng)用于本文的量子通信。二、量子的概念1.量子量子，并不是一種具體粒子，而是物理學(xué)3量子世界的奇妙性量子世界的奇妙性4特性：每時刻的位置、速度完全確定，有確定的運行軌跡，遵從牛頓力學(xué)。經(jīng)典粒子特性：每時刻的位置、速度完全確定，有確定的運行軌跡，遵從牛頓5微觀粒子特性：同時具有波動性和粒子性設(shè)想空間有一個微觀粒子，任何時刻有可能在空間中任何點探測到粒子（類似經(jīng)典波的特性），但一旦探測到只能在其中一個探測器處發(fā)現(xiàn)該粒子（類似經(jīng)典粒子的特性）。ABCA,B,C…為粒子探測器

微觀粒子特性：同時具有波動性和粒子性ABCA,B,C6經(jīng)典世界空間定域量子世界非定域（概率分布）量子世界的怪異性經(jīng)典世界空間定域量子世界非定域（概率分布）量子世界的怪異性7經(jīng)典世界量子世界同時經(jīng)由各種軌跡傳送運動確定軌跡經(jīng)典世界量子世界同時經(jīng)由各種軌跡傳送運動確定軌跡82.1量子力學(xué)基本假設(shè)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

微觀粒子不僅表現(xiàn)出粒子性，而且表現(xiàn)出波動性，它不服從經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律，必須用量子力學(xué)來描述其運動規(guī)律。量子力學(xué)建立在若干基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，這些假設(shè)與幾何學(xué)的公理一樣，不能用邏輯的方法加以證明。但從這些基本假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)得出一些重要結(jié)論，可以正確地解釋和預(yù)測許多實驗事實，于是這些假設(shè)也被稱為公理或公設(shè)。2.1量子力學(xué)基本假設(shè)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識微觀粒子不僅9一、公設(shè)1——量子狀態(tài)假設(shè)按薛定諤的表述，量子力學(xué)第一條公設(shè)為：量子力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)來描述。它來源于實驗中顯示的微觀粒子具有波動特性。一、公設(shè)1——量子狀態(tài)假設(shè)按薛定諤的表述，10概率密度波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

設(shè)描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為，則Y,()tr

空間某處波的強度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）P,()tr與的模的平方成正比。,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共軛復(fù)數(shù)德布羅意波又稱概率波波函數(shù)又稱概率幅MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋概率密度波函數(shù)的統(tǒng)計解釋設(shè)描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為11波函數(shù)的平方是某個態(tài)出現(xiàn)的概率，但是為什么薛定諤引入它，他自己也無法解釋，只是用這個方程從理論推導(dǎo)的結(jié)果與實驗都是相符合的（有點兒與普朗克常數(shù)的引入相似），因而這個方程是正確的。而恰恰量子力學(xué)用概率的方式描述微觀世界是很多人甚至包括愛因斯坦等大物理學(xué)家都質(zhì)疑的“上帝不能擲篩子”。所以反映微觀世界的規(guī)律是概率性的，這與經(jīng)典世界完全不同。所以費曼就說對于量子力學(xué)的概率性是不能問為什么的。波函數(shù)的平方是某個態(tài)出現(xiàn)的概率，但是為什么薛定諤引入它，他自12基于上述波函數(shù)的描述，如果是體系的可能狀態(tài)，則它們線性疊加得出的波函數(shù)也是體系的一個可能狀態(tài)，這稱為量子力學(xué)的態(tài)的疊加原理。基于上述波函數(shù)的描述，如果是體系的可能狀態(tài)，則它們線性疊加得13總之，量子世界的粒子不再遵從經(jīng)典力學(xué)，而是量子力學(xué)量子力學(xué)處理的是不可觀測量是概率。

反映自然界的基本規(guī)律是概率性。經(jīng)典世界的基本規(guī)律是確定性?？傊孔邮澜绲牧Ｗ硬辉僮駨慕?jīng)典力學(xué)，而是量子力學(xué)14態(tài)疊加原理量子系統(tǒng)的狀態(tài)表示為

是概率幅，測量會使系統(tǒng)塌縮到其中一個本征態(tài)上，其概率為。態(tài)疊加原理是概率幅，測量會使系統(tǒng)塌縮到其15經(jīng)典粒子在某個時刻只能處于確定的物理狀態(tài)上量子粒子則可以同時處于各種可能的物理狀態(tài)上（疊加態(tài)）疊加原理來源于薛定諤方程是線性的。于是有物理學(xué)家就認為世界是處于疊加狀態(tài)的，而很多學(xué)者表示反對，包括薛定諤，他認為微觀世界是疊加的，而宏觀世界不行。經(jīng)典粒子在某個時刻只能處于確定的物理狀態(tài)上量子粒子則可以同時16“薛定諤貓”——宏觀量子疊加態(tài)人們陸續(xù)觀察到了宏觀的“貓態(tài)”——量子疊加態(tài)：例如：超導(dǎo)現(xiàn)象、波色愛因斯坦凝聚等測量的重要性，影響了系統(tǒng)的狀態(tài)?！把Χㄖ@貓”——宏觀量子疊加態(tài)人們陸續(xù)觀察到了宏觀的“貓態(tài)17

薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子疊加原理；那么，如果自然界確實按照量子力學(xué)運行的話，宏觀世界也應(yīng)遵從量子疊加原理。薛定諤的實驗裝置巧妙地把微觀放射源與宏觀的貓聯(lián)系起來，最終誕生出這只死活不定的薛定諤貓，結(jié)論似乎否定了宏觀世界存在可以區(qū)分的量子態(tài)的疊加態(tài)。然而，隨著量子光學(xué)的發(fā)展，人們研究各種制備宏觀量子疊加態(tài)的方案，1997年科學(xué)家終于在離子阱中觀察到這種“薛定諤”貓態(tài)，即一個被觀察的粒子在同一時間里處于兩個不同的狀態(tài)。

薛定諤的問題還可以進一步擴展為：宏觀世界中是否存在量子效應(yīng)？事實上，大量實驗事實都肯定地回答了這個問題。最近幾年引起廣泛興趣的玻色愛因斯坦凝聚的實驗研究進展更有力地證實了宏觀量子效應(yīng)。薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子疊加原理18

按狄拉克的表述，公設(shè)1：任一孤立的物理系統(tǒng)，將對應(yīng)一個矢量空間，它是一個復(fù)空間（Hilbert空間），系統(tǒng)狀態(tài)將由這空間中的一個單位矢量表示。一、公設(shè)1——量子狀態(tài)假設(shè)狄拉克引入符號“”（右矢，ket）表示系統(tǒng)的狀態(tài)，其轉(zhuǎn)置共軛表示為“”（左矢，bra）。就可以表示系統(tǒng)的一個量子態(tài)，可以認為其等價于按狄拉克的表述，公設(shè)1：任一孤立的物理系統(tǒng)，將對應(yīng)一、公設(shè)19一個二維的狀態(tài)空間，這個空間的基矢為和，其中因此，任一個態(tài)矢量可以表示為為復(fù)數(shù)，且一個二維的狀態(tài)空間，這個空間的基矢為和，其中因此20利用狀態(tài)空間的線性性質(zhì)，可以簡單證明在量子信息中非常著名的單量子態(tài)不可克隆定理。設(shè)有輸入量子態(tài)和，初始狀態(tài)為標準純態(tài)另外，又有二者矛盾，所以量子態(tài)不可克隆。利用狀態(tài)空間的線性性質(zhì)，可以簡單證明在量子21二、公設(shè)2——力學(xué)量假設(shè)假設(shè)2：量子力學(xué)中，任意實驗上可以觀測的力學(xué)量F可由一個線性厄米算符描述。若A為算符，其共軛轉(zhuǎn)置為，若，則稱該算符是厄米的。記矩陣的厄米共軛為

，其中*表示復(fù)共軛，T表示轉(zhuǎn)置運算，如二、公設(shè)2——力學(xué)量假設(shè)假設(shè)2：量子力學(xué)中，任意實驗上可以觀22若對于狀態(tài)和，算符滿足其中，，為常數(shù)，則稱為線性算符。在量子通信中，下列4個矩陣是非常有用的矩陣，它們都是2×2的厄米矩陣，有時也分別寫為，其中為單位矩陣，為泡利（Pauli）矩陣。若對于狀態(tài)和，算符滿23經(jīng)典力學(xué)牛頓力學(xué)方程pFmddtvddt根據(jù)初始條件可求出經(jīng)典質(zhì)點的運動狀態(tài)r()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO經(jīng)典質(zhì)點有運動軌道概念不考慮物質(zhì)的波粒二象性量子力學(xué)

針對物質(zhì)的波粒二象性微觀粒子無運動軌道概念zXYOYr(t,(運動狀態(tài)Yr(t,(波函數(shù)量子力學(xué)方程？是否存在一個根據(jù)某種條件可求出微觀粒子的薛定諤方程薛定諤方程經(jīng)典力學(xué)牛頓力學(xué)方程pFmddtvddt根據(jù)初始條件可求出經(jīng)24三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)25三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)26五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)27五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)如果兩粒子沒有作用，其態(tài)矢量，這乘積為張量積，這個態(tài)稱為直積態(tài)?？紤]A，B兩粒子組成的系統(tǒng)，粒子A用Hilbert空間HA的態(tài)矢量描述，粒子B利用Hilbert空間HB的態(tài)矢量描述；A、B組成兩粒子系統(tǒng)，相應(yīng)Hilbert空間。五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)如果兩粒子沒有作用，其態(tài)矢量28五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)下面給出張量積與直積態(tài)的分量表示：考慮量子比特兩態(tài)則相應(yīng)的算符為矩陣張量積。五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)下面給出張量積與直積態(tài)的分量表示：29五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若取則五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若取則30五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若兩系統(tǒng)之間有作用，這時系統(tǒng)狀態(tài)不再是兩子系統(tǒng)的直積態(tài)，而是處于糾纏態(tài)（EntangledState）。若兩粒子分別對應(yīng)兩量子態(tài)和，在對應(yīng)的糾纏態(tài)分別為這4個糾纏態(tài)在量子通信中有重要的作用，稱為Bell態(tài)。處在Bell態(tài)的兩糾纏粒子稱為EPR對。五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若兩系統(tǒng)之間有作用，31四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)32四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)33四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)34小結(jié)公設(shè)1說明量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)；公設(shè)2說明量子力學(xué)如何刻畫物理量；公設(shè)3給出了封閉量子力學(xué)系統(tǒng)演化的動力學(xué)方程；公設(shè)4給出獲取量子系統(tǒng)信息的測量理論；公設(shè)5描述如何描述符合量子系統(tǒng)。小結(jié)公設(shè)1說明量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)；35(x,y,z,t)包括體系的全部信息，決定著體系全部可觀測的性質(zhì)。

1.2.1波函數(shù)與微觀粒子的狀態(tài)

假設(shè)1

對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和由該狀態(tài)所決定的各種物理性質(zhì)可用波函數(shù)(x,y,z,t)表示。平面單色光的波動方程：單粒子一維運動的函數(shù)：(x,y,z,t)包括體系的全部信息，決定著體系全部36

微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描述,波函數(shù)是坐標和時間的函數(shù)，不含時間的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。波函數(shù)本身沒有物理意義，但它包含了體系的全部信息空間某點附近找到粒子的概率正比于波函數(shù)絕對值的平方：可以通過算符得到體系的各種物理性質(zhì);波函數(shù)的對稱性和光譜，化學(xué)鍵和化學(xué)反應(yīng)有關(guān)。波函數(shù)描述的波為概率波。同一個量子態(tài)概率分布的相對大小相同。例如：Ψ和kΨ（k為常數(shù)）描述同一個態(tài)。

因為化學(xué)中多數(shù)問題是定態(tài)問題（與靜態(tài)性質(zhì)相聯(lián)系），所以在多數(shù)情況下，就把(x,y,z,t)

的空間部分(x,y,z)

稱為波函數(shù)。幾率密度與能量不隨時間改變的狀態(tài)

與相比，只差一個因子定態(tài)波函數(shù)與微觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描述,波函數(shù)是坐標和時間的函37單值連續(xù)平方可積合格波函數(shù)條件單值性：空間每點的只能有一個值。連續(xù)性：物理上，粒子在空間各處出現(xiàn)的概率密度呈波動性，是連續(xù)變化的，因此波函數(shù)必須在變數(shù)變化的全部區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，必須具有連續(xù)的一階微商。平方可積：在變數(shù)變化的全部區(qū)域內(nèi)，波函數(shù)必須是有限的。單值連續(xù)平方可積合格波函數(shù)條件單值性：空間每點的只能有38(a)違反單值條件(b)不連續(xù)(c)一階微商不連續(xù)(d)波函數(shù)不是有限的合格波函數(shù)條件不符合合格波函數(shù)的情況例(a)違反單值條件(b)不連續(xù)(c)一階微商不連續(xù)(d39歸一化過程波函數(shù)的歸一化一般從物理意義上看，總規(guī)定一個粒子在全部空間出現(xiàn)的概率為1。因此通常需要將波函數(shù)歸一化。即：如果：為歸一化系數(shù)則可令歸一化過程波函數(shù)的歸一化一般從物理意義上看，401.2.1物理量與算符

假設(shè)2

對一個微觀體系的每個可觀測的物理量，都對應(yīng)一個線性自軛算符。算符：對它后面的函數(shù)行施的一種運算。如∫，∑，√，lg，sin等都是算符，通常給字母上加一^或[]表示算符線性算符:厄米算符(也稱為自軛算符)：

1.2.41.2.51.2.1物理量與算符假設(shè)2對一個微觀體41力學(xué)量經(jīng)典力學(xué)表達式算符位置動量的x軸分量角動量的z軸分量動能勢能能量物理量與算符量子力學(xué)中的常用算符力學(xué)量經(jīng)典力學(xué)表達式算符位置動量的x軸分量角動量的z軸分量42比較上式兩端，即有

物理量與算符的來源對x微分，得1.2.6比較上式兩端，即有物理量與算符的來源對x微分，得1.2.6431.2.3本征態(tài)、本征值和波函數(shù)與Schr?dinger方程

假設(shè)31.2.7實驗值計算值1.2.3本征態(tài)、本征值和波函數(shù)與Schr?dinger方44厄米算符本征值是實數(shù)

同取共軛

由厄米算符定義式

因此a=a*

，即a必為實數(shù)（只有實數(shù)的共軛才與其自身相等）自軛算符的性質(zhì)厄米算符本征值是實數(shù)同取共軛由厄米算符定義式因此a=45正交歸一性

自軛算符本征函數(shù)組為正交歸一的函數(shù)組

自軛算符的性質(zhì)(1)歸一是指粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1，即(2)正交證明設(shè)有兩邊取共軛==+正交歸一性自軛算符本征函數(shù)組為正交歸一的函數(shù)組自軛算符的46對于質(zhì)量為m，具有確定能量E的粒子，其運動狀態(tài)(波函數(shù))符合定態(tài)薛定諤(Schr?dinger)方程

2為Laplance算符E.Schr?dingerSchr?dinger方程1.2.10對于質(zhì)量為m，具有確定能量E的粒子，其運動狀態(tài)(波函47

假設(shè)4

若1,2,…

n為某一微觀體系可能的狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系可能存在的狀態(tài)，即

式中c1,c2,…

cn為線性組合常數(shù)，狀態(tài)中各個i出現(xiàn)的幾率為|ci|21.2.4態(tài)疊加原理1.2.16力學(xué)量的平均值假設(shè)4若1,2,…n為某一微觀體48力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值49一維勢箱中粒子，對應(yīng)能量E1,對應(yīng)能量E2

。求體系在狀態(tài)時，能量的平均值。

例例說明態(tài)疊加原理一維勢箱中粒子，50第16講-量子通信基礎(chǔ)理論課件51薛定諤的貓態(tài)疊加原理薛定諤的貓態(tài)疊加原理521.2.4Pauli(泡利)原理

假設(shè)5

在同一個原子軌道或分子軌道上，最多只能容納兩個電子，這兩個電子的自旋狀態(tài)必須相反。或者說兩個自旋相同的電子不能占據(jù)同一軌道。Pauli

微觀粒子除作空間運動外還作自旋運動，包括自旋在內(nèi)的全同微觀粒子的完全波函數(shù)，在任意兩粒子間交換坐標時（包括空間及自旋坐標），對于玻色子體系（自旋量子數(shù)為零或整數(shù)）是對稱的，而對費米子體系（自旋量子數(shù)為半整數(shù)）是反對稱的。

1.2.4Pauli(泡利)原理假設(shè)5在53Pauli(泡利)原理Pauli(泡利)原理54對于電子等費米子，描述其運動狀態(tài)的全波函數(shù)必須是交換反對稱波函數(shù)。Pauli(泡利)原理對于電子等費米子，描述其運動狀態(tài)的全波函數(shù)必551.2.4Pauli(泡利)原理

假設(shè)5

在同一個原子軌道或分子軌道上，最多只能容納兩個電子，這兩個電子的自旋狀態(tài)必須相反?；蛘哒f兩個自旋相同的電子不能占據(jù)同一軌道。1、Pauli不相容原理－兩個自旋相同的電子不能占據(jù)同一軌道2、Pauli排斥原理－多電子體系中，自旋相同的電子盡可能避開經(jīng)典力學(xué)無法描述，考慮Pauli原理，體系的能量會更低。1.2.4Pauli(泡利)原理假設(shè)5在56課堂小結(jié)本次課是量子通信技術(shù)中的基本理論，量子力學(xué)的5個基本假設(shè)，比較難以理解，希望同學(xué)們結(jié)合量子物理的知識去學(xué)習(xí)。課堂小結(jié)57第二講

量子通信的基礎(chǔ)理論第二講

量子通信的基礎(chǔ)理論58主要內(nèi)容：一、量子的基本概念二、量子力學(xué)假設(shè)（狀態(tài)空間假設(shè)、力學(xué)量算符假設(shè)、量子態(tài)演化假設(shè)、測量假設(shè)、復(fù)合系統(tǒng)假設(shè)）方法：講授、啟發(fā)、討論目的：充分理解量子力學(xué)的五大基本假設(shè)時間：90分鐘主要內(nèi)容：59二、量子的概念1.量子量子，并不是一種具體粒子，而是物理學(xué)中基本能量粒子的統(tǒng)稱。量子的觀點認為分子、原子、電子等微觀粒子都是量子的表現(xiàn)形態(tài)。19世紀物理學(xué)家提出的量子概念指出，微觀世界中量子是能量的最小單位，不能再分。對于光子，或者說光量子，在具有粒子性的同時也具有波動性，即光也是一種電磁波，具有特定的振動方向，在傳播過程中具有偏振特性，而這個特性將被應(yīng)用于本文的量子通信。二、量子的概念1.量子量子，并不是一種具體粒子，而是物理學(xué)60量子世界的奇妙性量子世界的奇妙性61特性：每時刻的位置、速度完全確定，有確定的運行軌跡，遵從牛頓力學(xué)。經(jīng)典粒子特性：每時刻的位置、速度完全確定，有確定的運行軌跡，遵從牛頓62微觀粒子特性：同時具有波動性和粒子性設(shè)想空間有一個微觀粒子，任何時刻有可能在空間中任何點探測到粒子（類似經(jīng)典波的特性），但一旦探測到只能在其中一個探測器處發(fā)現(xiàn)該粒子（類似經(jīng)典粒子的特性）。ABCA,B,C…為粒子探測器

微觀粒子特性：同時具有波動性和粒子性ABCA,B,C63經(jīng)典世界空間定域量子世界非定域（概率分布）量子世界的怪異性經(jīng)典世界空間定域量子世界非定域（概率分布）量子世界的怪異性64經(jīng)典世界量子世界同時經(jīng)由各種軌跡傳送運動確定軌跡經(jīng)典世界量子世界同時經(jīng)由各種軌跡傳送運動確定軌跡652.1量子力學(xué)基本假設(shè)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

微觀粒子不僅表現(xiàn)出粒子性，而且表現(xiàn)出波動性，它不服從經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律，必須用量子力學(xué)來描述其運動規(guī)律。量子力學(xué)建立在若干基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，這些假設(shè)與幾何學(xué)的公理一樣，不能用邏輯的方法加以證明。但從這些基本假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)得出一些重要結(jié)論，可以正確地解釋和預(yù)測許多實驗事實，于是這些假設(shè)也被稱為公理或公設(shè)。2.1量子力學(xué)基本假設(shè)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識微觀粒子不僅66一、公設(shè)1——量子狀態(tài)假設(shè)按薛定諤的表述，量子力學(xué)第一條公設(shè)為：量子力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)來描述。它來源于實驗中顯示的微觀粒子具有波動特性。一、公設(shè)1——量子狀態(tài)假設(shè)按薛定諤的表述，67概率密度波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

設(shè)描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為，則Y,()tr

空間某處波的強度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）P,()tr與的模的平方成正比。,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共軛復(fù)數(shù)德布羅意波又稱概率波波函數(shù)又稱概率幅MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋概率密度波函數(shù)的統(tǒng)計解釋設(shè)描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為68波函數(shù)的平方是某個態(tài)出現(xiàn)的概率，但是為什么薛定諤引入它，他自己也無法解釋，只是用這個方程從理論推導(dǎo)的結(jié)果與實驗都是相符合的（有點兒與普朗克常數(shù)的引入相似），因而這個方程是正確的。而恰恰量子力學(xué)用概率的方式描述微觀世界是很多人甚至包括愛因斯坦等大物理學(xué)家都質(zhì)疑的“上帝不能擲篩子”。所以反映微觀世界的規(guī)律是概率性的，這與經(jīng)典世界完全不同。所以費曼就說對于量子力學(xué)的概率性是不能問為什么的。波函數(shù)的平方是某個態(tài)出現(xiàn)的概率，但是為什么薛定諤引入它，他自69基于上述波函數(shù)的描述，如果是體系的可能狀態(tài)，則它們線性疊加得出的波函數(shù)也是體系的一個可能狀態(tài)，這稱為量子力學(xué)的態(tài)的疊加原理?；谏鲜霾ê瘮?shù)的描述，如果是體系的可能狀態(tài)，則它們線性疊加得70總之，量子世界的粒子不再遵從經(jīng)典力學(xué)，而是量子力學(xué)量子力學(xué)處理的是不可觀測量是概率。

反映自然界的基本規(guī)律是概率性。經(jīng)典世界的基本規(guī)律是確定性?？傊孔邮澜绲牧Ｗ硬辉僮駨慕?jīng)典力學(xué)，而是量子力學(xué)71態(tài)疊加原理量子系統(tǒng)的狀態(tài)表示為

是概率幅，測量會使系統(tǒng)塌縮到其中一個本征態(tài)上，其概率為。態(tài)疊加原理是概率幅，測量會使系統(tǒng)塌縮到其72經(jīng)典粒子在某個時刻只能處于確定的物理狀態(tài)上量子粒子則可以同時處于各種可能的物理狀態(tài)上（疊加態(tài)）疊加原理來源于薛定諤方程是線性的。于是有物理學(xué)家就認為世界是處于疊加狀態(tài)的，而很多學(xué)者表示反對，包括薛定諤，他認為微觀世界是疊加的，而宏觀世界不行。經(jīng)典粒子在某個時刻只能處于確定的物理狀態(tài)上量子粒子則可以同時73“薛定諤貓”——宏觀量子疊加態(tài)人們陸續(xù)觀察到了宏觀的“貓態(tài)”——量子疊加態(tài)：例如：超導(dǎo)現(xiàn)象、波色愛因斯坦凝聚等測量的重要性，影響了系統(tǒng)的狀態(tài)。“薛定諤貓”——宏觀量子疊加態(tài)人們陸續(xù)觀察到了宏觀的“貓態(tài)74

薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子疊加原理；那么，如果自然界確實按照量子力學(xué)運行的話，宏觀世界也應(yīng)遵從量子疊加原理。薛定諤的實驗裝置巧妙地把微觀放射源與宏觀的貓聯(lián)系起來，最終誕生出這只死活不定的薛定諤貓，結(jié)論似乎否定了宏觀世界存在可以區(qū)分的量子態(tài)的疊加態(tài)。然而，隨著量子光學(xué)的發(fā)展，人們研究各種制備宏觀量子疊加態(tài)的方案，1997年科學(xué)家終于在離子阱中觀察到這種“薛定諤”貓態(tài)，即一個被觀察的粒子在同一時間里處于兩個不同的狀態(tài)。

薛定諤的問題還可以進一步擴展為：宏觀世界中是否存在量子效應(yīng)？事實上，大量實驗事實都肯定地回答了這個問題。最近幾年引起廣泛興趣的玻色愛因斯坦凝聚的實驗研究進展更有力地證實了宏觀量子效應(yīng)。薛定諤想要闡述的物理問題是：微觀世界遵從量子疊加原理75

按狄拉克的表述，公設(shè)1：任一孤立的物理系統(tǒng)，將對應(yīng)一個矢量空間，它是一個復(fù)空間（Hilbert空間），系統(tǒng)狀態(tài)將由這空間中的一個單位矢量表示。一、公設(shè)1——量子狀態(tài)假設(shè)狄拉克引入符號“”（右矢，ket）表示系統(tǒng)的狀態(tài)，其轉(zhuǎn)置共軛表示為“”（左矢，bra）。就可以表示系統(tǒng)的一個量子態(tài)，可以認為其等價于按狄拉克的表述，公設(shè)1：任一孤立的物理系統(tǒng)，將對應(yīng)一、公設(shè)76一個二維的狀態(tài)空間，這個空間的基矢為和，其中因此，任一個態(tài)矢量可以表示為為復(fù)數(shù)，且一個二維的狀態(tài)空間，這個空間的基矢為和，其中因此77利用狀態(tài)空間的線性性質(zhì)，可以簡單證明在量子信息中非常著名的單量子態(tài)不可克隆定理。設(shè)有輸入量子態(tài)和，初始狀態(tài)為標準純態(tài)另外，又有二者矛盾，所以量子態(tài)不可克隆。利用狀態(tài)空間的線性性質(zhì)，可以簡單證明在量子78二、公設(shè)2——力學(xué)量假設(shè)假設(shè)2：量子力學(xué)中，任意實驗上可以觀測的力學(xué)量F可由一個線性厄米算符描述。若A為算符，其共軛轉(zhuǎn)置為，若，則稱該算符是厄米的。記矩陣的厄米共軛為

，其中*表示復(fù)共軛，T表示轉(zhuǎn)置運算，如二、公設(shè)2——力學(xué)量假設(shè)假設(shè)2：量子力學(xué)中，任意實驗上可以觀79若對于狀態(tài)和，算符滿足其中，，為常數(shù)，則稱為線性算符。在量子通信中，下列4個矩陣是非常有用的矩陣，它們都是2×2的厄米矩陣，有時也分別寫為，其中為單位矩陣，為泡利（Pauli）矩陣。若對于狀態(tài)和，算符滿80經(jīng)典力學(xué)牛頓力學(xué)方程pFmddtvddt根據(jù)初始條件可求出經(jīng)典質(zhì)點的運動狀態(tài)r()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO經(jīng)典質(zhì)點有運動軌道概念不考慮物質(zhì)的波粒二象性量子力學(xué)

針對物質(zhì)的波粒二象性微觀粒子無運動軌道概念zXYOYr(t,(運動狀態(tài)Yr(t,(波函數(shù)量子力學(xué)方程？是否存在一個根據(jù)某種條件可求出微觀粒子的薛定諤方程薛定諤方程經(jīng)典力學(xué)牛頓力學(xué)方程pFmddtvddt根據(jù)初始條件可求出經(jīng)81三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)82三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)三、公設(shè)3——量子態(tài)演化假設(shè)83五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)84五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)如果兩粒子沒有作用，其態(tài)矢量，這乘積為張量積，這個態(tài)稱為直積態(tài)?？紤]A，B兩粒子組成的系統(tǒng)，粒子A用Hilbert空間HA的態(tài)矢量描述，粒子B利用Hilbert空間HB的態(tài)矢量描述；A、B組成兩粒子系統(tǒng)，相應(yīng)Hilbert空間。五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)如果兩粒子沒有作用，其態(tài)矢量85五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)下面給出張量積與直積態(tài)的分量表示：考慮量子比特兩態(tài)則相應(yīng)的算符為矩陣張量積。五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)下面給出張量積與直積態(tài)的分量表示：86五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若取則五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若取則87五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若兩系統(tǒng)之間有作用，這時系統(tǒng)狀態(tài)不再是兩子系統(tǒng)的直積態(tài)，而是處于糾纏態(tài)（EntangledState）。若兩粒子分別對應(yīng)兩量子態(tài)和，在對應(yīng)的糾纏態(tài)分別為這4個糾纏態(tài)在量子通信中有重要的作用，稱為Bell態(tài)。處在Bell態(tài)的兩糾纏粒子稱為EPR對。五、公設(shè)5——復(fù)合系統(tǒng)公設(shè)若兩系統(tǒng)之間有作用，88四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)89四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)90四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)四、公設(shè)4——量子測量假設(shè)91小結(jié)公設(shè)1說明量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)；公設(shè)2說明量子力學(xué)如何刻畫物理量；公設(shè)3給出了封閉量子力學(xué)系統(tǒng)演化的動力學(xué)方程；公設(shè)4給出獲取量子系統(tǒng)信息的測量理論；公設(shè)5描述如何描述符合量子系統(tǒng)。小結(jié)公設(shè)1說明量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)；92(x,y,z,t)包括體系的全部信息，決定著體系全部可觀測的性質(zhì)。

1.2.1波函數(shù)與微觀粒子的狀態(tài)

假設(shè)1

對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和由該狀態(tài)所決定的各種物理性質(zhì)可用波函數(shù)(x,y,z,t)表示。平面單色光的波動方程：單粒子一維運動的函數(shù)：(x,y,z,t)包括體系的全部信息，決定著體系全部93

微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描述,波函數(shù)是坐標和時間的函數(shù)，不含時間的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。波函數(shù)本身沒有物理意義，但它包含了體系的全部信息空間某點附近找到粒子的概率正比于波函數(shù)絕對值的平方：可以通過算符得到體系的各種物理性質(zhì);波函數(shù)的對稱性和光譜，化學(xué)鍵和化學(xué)反應(yīng)有關(guān)。波函數(shù)描述的波為概率波。同一個量子態(tài)概率分布的相對大小相同。例如：Ψ和kΨ（k為常數(shù)）描述同一個態(tài)。

因為化學(xué)中多數(shù)問題是定態(tài)問題（與靜態(tài)性質(zhì)相聯(lián)系），所以在多數(shù)情況下，就把(x,y,z,t)

的空間部分(x,y,z)

稱為波函數(shù)。幾率密度與能量不隨時間改變的狀態(tài)

與相比，只差一個因子定態(tài)波函數(shù)與微觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描述,波函數(shù)是坐標和時間的函94單值連續(xù)平方可積合格波函數(shù)條件單值性：空間每點的只能有一個值。連續(xù)性：物理上，粒子在空間各處出現(xiàn)的概率密度呈波動性，是連續(xù)變化的，因此波函數(shù)必須在變數(shù)變化的全部區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，必須具有連續(xù)的一階微商。平方可積：在變數(shù)變化的全部區(qū)域內(nèi)，波函數(shù)必須是有限的。單值連續(xù)平方可積合格波函數(shù)條件單值性：空間每點的只能有95(a)違反單值條件(b)不連續(xù)(c)一階微商不連續(xù)(d)波函數(shù)不是有限的合格波函數(shù)條件不符合合格波函數(shù)的情況例(a)違反單值條件(b)不連續(xù)(c)一階微商不連續(xù)(d96歸一化過程波函數(shù)的歸一化一般從物理意義上看，總規(guī)定一個粒子在全部空間出現(xiàn)的概率為1。因此通常需要將波函數(shù)歸一化。即：如果：為歸一化系數(shù)則可令歸一化過程波函數(shù)的歸一化一般從物理意義上看，971.2.1物理量與算符

假設(shè)2

對一個微觀體系的每個可觀測的物理量，都對應(yīng)一個線性自軛算符。算符：對它后面的函數(shù)行施的一種運算。如∫，∑，√，lg，sin等都是算符，通常給字母上加一^或[]表示算符線性算符:厄米算符(也稱為自軛算符)：

1.2.41.2.51.2.1物理量與算符假設(shè)2對一個微觀體98力學(xué)量經(jīng)典力學(xué)表達式算符位置動量的x軸分量角動量的z軸分量動能勢能能量物理量與算符量子力學(xué)中的常用算符力學(xué)量經(jīng)典力學(xué)表達式算符位置動量的x軸分量角動量的z軸分量99比較上式兩端，即有

物理量與算符的來源對x微分，得1.2.6比較上式兩端，即有物理量與算符的來源對x微分，得1.2.61001.2.3本征態(tài)、本征值和波函數(shù)與Schr?dinger方程

假設(shè)31.2.7實驗值計