第三節(jié)債券的利率風(fēng)險(xiǎn)：久期與凸性

（一）麥考來久期（二）久期的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義（三）久期的計(jì)算（四）久期的缺陷:凸性

(五)投資組合的久期

(六)利率風(fēng)險(xiǎn)管理:免疫

山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

麥考來久期（duration）

久期是以現(xiàn)金流量的對(duì)應(yīng)現(xiàn)值作為權(quán)重，并乘以金融資產(chǎn)每筆現(xiàn)金流量的支付時(shí)間，然后加總，再除以金融資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)，得到的即為久期，他度量的是金融資產(chǎn)的加權(quán)平均到期期限，是利率變化時(shí)金融資產(chǎn)價(jià)格變化的百分比。如果該資產(chǎn)的久期越大，利率變動(dòng)會(huì)導(dǎo)致該金融資產(chǎn)的價(jià)格變化越大；反之，越小。

山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院久期公式山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院此公式表示收回金融資產(chǎn)價(jià)格P的部分需要一期，收回金融資產(chǎn)價(jià)格的需要二期收回金融資產(chǎn)價(jià)格的需要n期。全部收回金融資產(chǎn)價(jià)格P的投資需要的平均時(shí)間就是久期。山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

例題

某銀行在年初以15%的利率向一家公司提供100元的一年期貸款，同時(shí)要求該公司在6個(gè)月先償還半年利息和50%的貸款本金，其余的在年底歸還。上述銀行在半年之后收到的現(xiàn)金流量等于50元本金加上100×7.5%的利息，等于57.5，一年后到期的現(xiàn)金流=50+50×7.5%=53.75元山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院上述2筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值分別是：山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院在此例中提到的T=1/2年和T=1年這兩個(gè)時(shí)點(diǎn)山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院我們現(xiàn)在利用每筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值在資產(chǎn)價(jià)格中所占的比率作為每筆現(xiàn)金流支付時(shí)間的權(quán)重，對(duì)金融資產(chǎn)每筆現(xiàn)金流的支付時(shí)間進(jìn)行加權(quán)平均來計(jì)算久期。本題的久期D等于：山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

久期的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義

久期是對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格的利率敏感程度的直接衡量，金融資產(chǎn)的久期數(shù)值越大，該資產(chǎn)的價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)的敏感程度就越高；反之就越低。以債券為例：債券價(jià)格等于與債券相關(guān)的現(xiàn)金流現(xiàn)值：山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院等式兩邊同乘以-（1+R）得：

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久期的計(jì)算

步驟：1、將金融資產(chǎn)每期所產(chǎn)生的現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)，求出這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值。2、將這些現(xiàn)值乘以各自對(duì)應(yīng)的時(shí)間T，獲得這些現(xiàn)值的加權(quán)現(xiàn)值。3、將第二步求出的每期的現(xiàn)金流的加權(quán)現(xiàn)值相加，得出的總合去除以資產(chǎn)的現(xiàn)在價(jià)格，得出的值即為久期。山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

例題假定某債券的價(jià)格為10000元，票面利率為10%，其到期收益率也為10%，償還期為5年，利息每年償還一次，本金5年之后一次付清，求債券的久期D；如果到期收益率下降為9%，求該債券的價(jià)格變化。山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

麥考來久期變形可得

其中（修正久期）例：息票率為8%、收益率也為8%的6年期歐洲債券，其有效期為4.993年。在利率上升1個(gè)基點(diǎn)，也即收益率上升為8.01%時(shí)，債券的價(jià)格變化率為：dP/P=-4.993×0.0001/1.08=-0.0462%

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久期的缺陷：凸性

根據(jù)久期的預(yù)測，利率變動(dòng)與金融資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)之間的關(guān)系同久期的大小成一定比率，它們之間是線形關(guān)系。然而，如我們精確地計(jì)算金融資產(chǎn)價(jià)格的實(shí)際變動(dòng)時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)利率上升的幅度較大，久期的預(yù)測往往高估金融資產(chǎn)價(jià)格下跌程度；當(dāng)利率下跌的幅度較大，久期往往低估金融資產(chǎn)價(jià)格上漲程度。同時(shí)根據(jù)久期，利率上升和下降同樣的幅度對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格的影響是對(duì)稱的。事實(shí)上，利率上升對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格所產(chǎn)生的資本虧損往往小于利率下降對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格所產(chǎn)生的資本利得。用數(shù)學(xué)語言講，這種金融資產(chǎn)價(jià)格與利率之間的關(guān)系具有凸性特征，而不是簡單的久期所假定的線形關(guān)系。山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院凸性切線和用久期預(yù)測的價(jià)格的變動(dòng)相對(duì)應(yīng)。久期可以在利率變動(dòng)無限小時(shí)精確地衡量價(jià)格的變動(dòng)，但當(dāng)利率發(fā)生大的增加時(shí)，凸度的重要性就增大了。凸性=山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院舉例說明：6年期的債券的面值為1000元，發(fā)行價(jià)格也為1000元，其息票利率為8%，目前它的市場到期收益率為8%，計(jì)算其久期D=4.9927年.現(xiàn)假定債券的收益率由8%上升到10%，根據(jù)久期公式，債券價(jià)格將下跌dp/p=D×[dR/(1+R)]=4.9927×[0.02/(1+0.08)]=-9.2457%,即債券價(jià)格由原來的1000下降到1000-1000×9.2457%=907.543。我們計(jì)算一下該債券價(jià)格在收益率提高到10%之后，債券的價(jià)格P=912.895.(根據(jù)下面公式計(jì)算),久期高估了5.352元（912.895-907.543）山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院現(xiàn)假定債券的收益率由8%下降為6%，根據(jù)久期債券價(jià)格將提高9.2457%，即債券價(jià)格由1000元上升至1092.457元。與此相比，按債券現(xiàn)金流的貼現(xiàn)法計(jì)算債券的現(xiàn)價(jià)為1098.347，久期低估了5.89元（1098.347-1092.457）.從理論上講，久期代表的是價(jià)格-收益率曲線的斜率，凸性代表的是價(jià)格-收益率曲線斜率的變化。我們可以把利率變動(dòng)對(duì)債券價(jià)格影響的效應(yīng)分成一系列獨(dú)立的效應(yīng)。久期衡量的是利率變動(dòng)對(duì)債券價(jià)格影響的一階效應(yīng)，凸性衡量是二階效應(yīng)山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院因此，假設(shè)債券價(jià)格為P，到期收益率為R,修正久期Dm.則：山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院例題：10年后到期，息票利率是10%，發(fā)行價(jià)格與面值均為100的債券，其修正久期和凸度分別為7.44和68.77，假定收益率上升0.5%，求債券價(jià)格變化。山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

五投資組合的久期假設(shè)某一投資組合由不同到期期限的若干債券組成，這個(gè)投資組合債券的久期為多少？假設(shè)投資組合中所有債券具有相同到期收益率，則投資組合的久期為為各單一債券久期的加權(quán)平均之和，權(quán)數(shù)為單一債券價(jià)格與投資組合價(jià)格之比。某一投資組合由n項(xiàng)債券組成，每一債券的久期和價(jià)格分別為Di和Pi，I=1,2,…,m,所有債券的到期收益率相同，這一投資組合的價(jià)格和久期為：P=P1+P2+…+PnD=w1D1+w2D2+…+wnDn,wi=pi/p.山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

六債券利率風(fēng)險(xiǎn)管理：免疫構(gòu)建免于利率風(fēng)險(xiǎn)的債券投資組合的過程稱為免疫，其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造債券組合以防止利率變動(dòng)而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)。免疫為投資過程中最廣泛運(yùn)用的分析技術(shù)之一。山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院構(gòu)建免疫組合：1、計(jì)算負(fù)債的久期2、計(jì)算資產(chǎn)的久期3、令資產(chǎn)組合的久期等于負(fù)債的久期。例如：負(fù)債的久期等于6年，資產(chǎn)由久期為2年的零息債券和久期為10年的息票債券組成，則使得2X+10（1-X）