第19課時矩形、菱形、正方形第19課時矩形、菱形、正方形考點梳理自主測試考點一

矩形的性質(zhì)與判定1.定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形.2.性質(zhì)(1)矩形的對邊平行且相等;(2)矩形的四個角都是直角;(3)矩形的對角線相等;(4)矩形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸,它的對稱中心是對角線的交點.3.判定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;(2)有三個角是直角的四邊形是矩形;(3)對角線相等的平行四邊形是矩形.考點梳理自主測試考點一矩形的性質(zhì)與判定考點梳理自主測試考點二

菱形的性質(zhì)與判定1.定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.性質(zhì)(1)菱形的對邊平行,四邊都相等;(2)菱形的對角相等;(3)菱形的對角線互相垂直且平分,并且每一條對角線平分一組對角.3.判定(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(3)四條邊都相等的四邊形是菱形.4.菱形的面積菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半,即S菱形=ab.(其中a,b為菱形對角線長)考點梳理自主測試考點二菱形的性質(zhì)與判定考點梳理自主測試考點三

正方形的性質(zhì)與判定1.定義一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.2.性質(zhì)(1)正方形的四條邊都相等,四個角都是直角;(2)正方形的對角線相等,且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;(3)正方形是軸對稱圖形,兩條對角線所在直線以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸;正方形是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心.考點梳理自主測試考點三正方形的性質(zhì)與判定考點梳理自主測試3.判定(1)一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形;(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形;(3)對角線互相垂直的矩形是正方形;(4)有一個角是直角的菱形是正方形;(5)對角線相等的菱形是正方形.4.正方形的面積公式:S=a2(a為邊長)或S=l2.(l為對角線的長)考點梳理自主測試3.判定考點梳理自主測試1.已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O,下列結(jié)論不正確的是(

)A.當AB=BC時,四邊形ABCD是菱形B.當AC⊥BD時,四邊形ABCD是菱形C.當OA=OB時,四邊形ABCD是矩形D.當∠ABD=∠CBD時,四邊形ABCD是矩形解析:A.根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可以得到該結(jié)論正確;B.根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以得到該選項正確;C.根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可以得到該選項正確;D.不能得到一個角是直角,故錯誤.故選D.答案:D考點梳理自主測試1.已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線A考點梳理自主測試2.如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為(

)A.14 B.15C.16 D.17解析:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC.∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形.∴AC=AB=4.∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16,故選C.答案:C考點梳理自主測試2.如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,A考點梳理自主測試3.下列命題是真命題的是(

)A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形D.兩邊相等的平行四邊形是菱形答案:C4.如圖,在正方形ABCD中,AD=1.將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A'BD',此時A'D'與CD交于點E,則DE的長度為

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考點梳理自主測試3.下列命題是真命題的是()命題點1命題點2命題點3命題點1

矩形的性質(zhì)與判定【例1】

如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分別是∠BAC和∠BAC外角的平分線,BE⊥AE.(1)求證:DA⊥AE;(2)試判斷AB與DE是否相等?并證明你的結(jié)論.分析:第(1)題利用鄰補角的角平分線互相垂直易證;在第(2)題中,AB與DE是四邊形ADBE的對角線,可考慮利用矩形的判定,證明四邊形ADBE是矩形即可.命題點1命題點2命題點3命題點1矩形的性質(zhì)與判定命題點1命題點2命題點3(1)證明:∵AD,AE分別平分∠BAC,∠BAF,(2)解:AB=DE.理由:∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°.∵∠DAE=90°,∴四邊形ADBE是矩形.∴AB=DE.命題點1命題點2命題點3(1)證明:∵AD,AE分別平分∠B命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3命題點2

菱形的性質(zhì)與判定【例2】

如圖,在?ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E,BF平分∠ABC,交AD于點F,AE與BF交于點P,連接EF,PD.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.(1)證明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF.∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.同理,AB=BE.∴AF=BE.又AF∥BE,∴四邊形ABEF是平行四邊形.∵AB=AF,∴四邊形ABEF是菱形.命題點1命題點2命題點3命題點2菱形的性質(zhì)與判定命題點1命題點2命題點3(2)解:過點P作PG⊥AD于點G,如圖.∵四邊形ABEF是菱形,∠ABC=60°,∴△ABE是等邊三角形.命題點1命題點2命題點3(2)解:過點P作PG⊥AD于點G,命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3變式訓練如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=5,AC=6.過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E.(1)求△BDE的周長;(2)點P為線段BC上的點,連接PO,并延長交AD于點Q,求證:BP=DQ.命題點1命題點2命題點3變式訓練如圖,在菱形ABCD中,對角命題點1命題點2命題點3(1)解:因為四邊形ABCD為菱形,所以BE∥AD.又AC∥DE,所以四邊形ACED為平行四邊形,則有AB=AD=BC=CE=5,所以BE=BC+CE=10,AC=DE=6.(2)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以OB=OD,BE∥AD,則∠DBC=∠ADB.又∠BOP=∠DOQ,所以△BOP≌△DOQ,故有BP=DQ.命題點1命題點2命題點3(1)解:因為四邊形ABCD為菱形,命題點1命題點2命題點3命題點3

正方形的性質(zhì)與判定【例3】

如圖①,在正方形ABCD中,E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA上的點,HA=EB=FC=GD,連接EG,FH,交點為O.(1)如圖②,連接EF,FG,GH,HE,試判斷四邊形EFGH的形狀,并證明你的結(jié)論;

(2)將正方形ABCD沿線段EG,HF剪開,再把得到的四個四邊形按圖③的方式拼接成一個四邊形.若正方形ABCD的邊長為3cm,HA=EB=FC=GD=1cm,則圖③中陰影部分的面積為

cm2.命題點1命題點2命題點3命題點3正方形的性質(zhì)與判定命題點1命題點2命題點3分析:根據(jù)題目的條件,可先證△AEH,△BFE,△CGF,△DHG四個三角形全等,證得四邊形EFGH的四邊相等,然后由全等再證一個角是直角.解:(1)四邊形EFGH是正方形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵HA=EB=FC=GD,∴AE=BF=CG=DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EF=FG=GH=HE.∴四邊形EFGH是菱形.由△DHG≌△AEH,知∠DHG=∠AEH.∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠GHE=90°.∴菱形EFGH是正方形.(2)1命題點1命題點2命題點3分析:根據(jù)題目的條件,可先證△AEH命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3第19課時矩形、菱形、正方形第19課時矩形、菱形、正方形考點梳理自主測試考點一

矩形的性質(zhì)與判定1.定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形.2.性質(zhì)(1)矩形的對邊平行且相等;(2)矩形的四個角都是直角;(3)矩形的對角線相等;(4)矩形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸,它的對稱中心是對角線的交點.3.判定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;(2)有三個角是直角的四邊形是矩形;(3)對角線相等的平行四邊形是矩形.考點梳理自主測試考點一矩形的性質(zhì)與判定考點梳理自主測試考點二

菱形的性質(zhì)與判定1.定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.性質(zhì)(1)菱形的對邊平行,四邊都相等;(2)菱形的對角相等;(3)菱形的對角線互相垂直且平分,并且每一條對角線平分一組對角.3.判定(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(3)四條邊都相等的四邊形是菱形.4.菱形的面積菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半,即S菱形=ab.(其中a,b為菱形對角線長)考點梳理自主測試考點二菱形的性質(zhì)與判定考點梳理自主測試考點三

正方形的性質(zhì)與判定1.定義一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.2.性質(zhì)(1)正方形的四條邊都相等,四個角都是直角;(2)正方形的對角線相等,且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;(3)正方形是軸對稱圖形,兩條對角線所在直線以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸;正方形是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心.考點梳理自主測試考點三正方形的性質(zhì)與判定考點梳理自主測試3.判定(1)一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形;(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形;(3)對角線互相垂直的矩形是正方形;(4)有一個角是直角的菱形是正方形;(5)對角線相等的菱形是正方形.4.正方形的面積公式:S=a2(a為邊長)或S=l2.(l為對角線的長)考點梳理自主測試3.判定考點梳理自主測試1.已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O,下列結(jié)論不正確的是(

)A.當AB=BC時,四邊形ABCD是菱形B.當AC⊥BD時,四邊形ABCD是菱形C.當OA=OB時,四邊形ABCD是矩形D.當∠ABD=∠CBD時,四邊形ABCD是矩形解析:A.根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可以得到該結(jié)論正確;B.根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以得到該選項正確;C.根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可以得到該選項正確;D.不能得到一個角是直角,故錯誤.故選D.答案:D考點梳理自主測試1.已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線A考點梳理自主測試2.如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為(

)A.14 B.15C.16 D.17解析:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC.∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形.∴AC=AB=4.∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16,故選C.答案:C考點梳理自主測試2.如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,A考點梳理自主測試3.下列命題是真命題的是(

)A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形B.有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形D.兩邊相等的平行四邊形是菱形答案:C4.如圖,在正方形ABCD中,AD=1.將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A'BD',此時A'D'與CD交于點E,則DE的長度為

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考點梳理自主測試3.下列命題是真命題的是()命題點1命題點2命題點3命題點1

矩形的性質(zhì)與判定【例1】

如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分別是∠BAC和∠BAC外角的平分線,BE⊥AE.(1)求證:DA⊥AE;(2)試判斷AB與DE是否相等?并證明你的結(jié)論.分析:第(1)題利用鄰補角的角平分線互相垂直易證;在第(2)題中,AB與DE是四邊形ADBE的對角線,可考慮利用矩形的判定,證明四邊形ADBE是矩形即可.命題點1命題點2命題點3命題點1矩形的性質(zhì)與判定命題點1命題點2命題點3(1)證明:∵AD,AE分別平分∠BAC,∠BAF,(2)解:AB=DE.理由:∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°.∵∠DAE=90°,∴四邊形ADBE是矩形.∴AB=DE.命題點1命題點2命題點3(1)證明:∵AD,AE分別平分∠B命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3命題點2

菱形的性質(zhì)與判定【例2】

如圖,在?ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E,BF平分∠ABC,交AD于點F,AE與BF交于點P,連接EF,PD.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.(1)證明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF.∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.同理,AB=BE.∴AF=BE.又AF∥BE,∴四邊形ABEF是平行四邊形.∵AB=AF,∴四邊形ABEF是菱形.命題點1命題點2命題點3命題點2菱形的性質(zhì)與判定命題點1命題點2命題點3(2)解:過點P作PG⊥AD于點G,如圖.∵四邊形ABEF是菱形,∠ABC=60°,∴△ABE是等邊三角形.命題點1命題點2命題點3(2)解:過點P作PG⊥AD于點G,命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3命題點1命題點2命題點3變式訓練如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=5,AC=6.過D點作DE∥AC交BC的延長線于點E.(1)求△BDE的周長;(2)點P為線段BC上的點,連接PO,并延長交AD于點Q,求證:BP=DQ.命題點1命題點2命題點3變式訓練如圖,在菱形ABCD中,對角命題點1命題點2命題點3(1)解:因為四邊形ABCD為菱形,所以BE∥AD.又AC∥DE,所以四邊形ACED為平行四邊形,則有AB=AD=BC=CE=5,所以BE=BC+CE=10,AC=DE=6.(2)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以OB=OD,BE∥AD,則∠DBC=∠ADB.又∠BOP=∠DOQ,所以△BOP≌△DOQ,故有BP=D