此卷只裝訂不密封班級此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號理科數學（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設（為虛數單位），則（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】，所以，故選B．2．如圖所示，A，B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，，，則A#B為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知：，，，∴，而，，∴或，故選D．3．下列關于命題的說法中正確的是（）①對于命題，使得，則，均有②“”是“”的充分不必要條件③命題“若，則”的逆否命題是“若，則”④若為假命題，則?均為假命題A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③【答案】A【解析】①對于命題，使得，則均有，故①正確；②由“”可推得“”，反之由“”可能推出，則“”是“”的充分不必要條件，故②正確；③命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，故③正確；④若為假命題，則，至少有一個為假命題，故④錯誤，則正確的命題的有①②③，故選A．4．函數（，且）的圖象恒過定點，若點在橢圓（，）上，則的最小值為（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】由，即，得，所以，因為點在橢圓上，所以（，），所以，當且僅當，時，等號成立，故選C．5．我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，常用函數的圖象研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征．如函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可知，該函數為偶函數，B不對；可考慮的情況，，因為，又，，，函數在上為增函數，故選A．6．若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足，則△ABM與△ABC的面積比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設D為AB中點，連接MD，則．由，得，即，∴．如圖所示：故C，M，D三點共線，且，也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為3∶5，故選C．7．在中，，，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理，即，當且僅當時，等號成立，所以，所以，故選D．8．展開式中項的系數為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，展開式中含項為，故項的系數為，故選B．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】構造一個長方體，三棱錐的三視圖即為圖中所示，將三棱錐補成直三棱柱，只需要求出直三棱柱的外接球面積即可，因為它們有同一個外接球，設球心為，的外接圓圓心為，，，，由正弦定理得，，，，球的表面積為，故選C．10．設函數，若對于任意實數，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，令，則，則問題轉化為在區(qū)間上至少有兩個，至少有三個t，使得，求的取值范圍．作出和的圖象，觀察交點個數，可知使得的最短區(qū)間長度為，最長長度為，由題意列不等式的，解得，故選B．11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，點是兩曲線的一個交點，且，過橢圓的右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，且，則可以?。ǎ〢．4 B．5 C．7 D．8【答案】D【解析】由題得橢圓的焦點為，，不妨設在第一象限，設橢圓方程為，因為，所以，①，②又，③解①②③得，所以橢圓的方程為，由題得直線方程為，即，聯(lián)立直線和橢圓方程，得或，所以，或，，當，時，所以，，所以，所以；當，時，，所以可以取8，故選D．12．己知周期為的函數滿足，當，，常數滿足(其中為自然對數的底數)，則關于的不等式在上整數解的個數為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當，，則，，令，解得，當時，；當時，，所以在上遞增，在上遞減，又因為，所以的圖象關于對稱，又因為函數的周期為，作出函數在上的圖象，如圖所示：所以恒成立，又因為，所以，不等式，即為，則，由函數的圖象知：在上滿足，有，所以不等式在上整數解的個數為7，故選B．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知隨機變量，則__________（用數字作答）．【答案】【解析】由隨機變量，則，故答案為．14．若定義在上的函數，則________．【答案】【解析】由定積分的幾何意義可得，是以原點為圓心，以為半徑的圓的面積的一半，，，故答案為．15．實數，滿足，（，），則的取值范圍為______．【答案】【解析】將式子化簡變形為，問題可轉化為點是圓（，）上的動點，求的取值范圍，令，即，畫出圖形，如圖所示（虛線部分為，實線部分為圓的一部分）：圓的圓心坐標為，半徑為，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，當直線過點時，有，由圖可知，z的范圍是，即的取值范圍為，故答案為．16．已知數列是公差為的等差數列，設，若存在常數，使得數列為等比數列，則的值為_________．【答案】【解析】當時，．若存在常數，使得數列為等比數列，則，記，則有，化簡得，這與矛盾，故此時不存在常數，使得數列為等比數列；當時，(其中)．因為數列為等比數列，對任意，恒有(為常數且)，即，所以，所以對任意正整數恒成立，所以，解得或(舍)，所以數列為等比數列時，，故答案為．三、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，．當地政府計劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場．為安全起見，需在的周圍安裝防護網．設．（1）當時，求的值，并求此時防護網的總長度；（2）若，問此時人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的多少倍？（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最??？最小面積是多少？【答案】（1）；（2）；（3）時，的面積最小，最小面積為．【解析】（1）在三角形中，由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，所以，．由于，所以，所以是等邊三角形，周長為，也即防護網的總長度為．（2）時，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，，由正弦定理得，所以．以為頂點時，和的高相同，所以，，即人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍．（3）在三角形中，，由正弦定理得．在三角形中，，由正弦定理得．所以．由于，所以當，時，最小值為．18．（12分）如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】證明：（1）過點作交于點，連接，，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又是正三角形，，所以，∵平面，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）因為四邊形是菱形，，，，故，以為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．∴，，，，，．∴，，，設平面的一個法向量為，由，得，令，得，∴，∵平面，∴，在菱形中，，又，∴平面，∴是平面的一個法向量，設二面角的大小為，則，∴．19．（12分）某電商平臺準備今年的周年慶典活動，為了更精準地投放優(yōu)惠券以提高銷售額，對去年周年慶典活動中的優(yōu)惠券使用情況和用戶消費金額進行了統(tǒng)計分析，統(tǒng)計結果顯示，去年老用戶的消費金額滿足正態(tài)分布，設消費金額為(單位：元)，，如圖所示，經計算得．（1）求；（2）根據去年的統(tǒng)計結果，該電商平臺今年預備推出“消費金額每滿300元減30元”和“消費金額每滿800元減90元”兩種優(yōu)惠券，為了進一步了解用戶的購買意向，計劃把去年的用戶按消費金額分成四組，，，，用分層抽樣抽取10位去年的老用戶作為幸運用戶，贈送禮品并進行問卷調查．（i）計算各組應抽的老用戶數；（ii）為了了解用戶對今年的兩種優(yōu)惠券的意見，確定兩種優(yōu)惠券的投放比例，從，兩組的幸運用戶中隨機抽取3人進行面對面訪談，記從一組中抽取的人數為，求的分布列和數學期望．【答案】（1）；（2）（i）一組中抽(人)，一組中抽(人)，一組中抽(人)，一組中抽(人)；（ii）分布列見解析，數學期望為．【解析】（1）因為，且，由正態(tài)分布的對稱性得．（2）（i）根據正態(tài)分布的對稱性得，，所以從一組中抽(人)，從一組中抽(人)，從一組中抽(人)，從一組中抽(人)．（ii）由（i）知，兩組各有幸運用戶3人，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123所以的數學期望．20．（12分）已知橢圓的離心率為，其長軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）直線交于、兩點，直線交于、兩點，若．求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，解得，因此，橢圓的方程為．（2）設、，則、，聯(lián)立，則，，同理可得，且到直線的距離，所以，又，所以．21．（12分）已知函數．（1）求函數的單調區(qū)間；（2）設函數，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）函數的定義域為，所以．當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得，則的增區(qū)間為．當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和．當時，，則的增區(qū)間為．當時，由，得，則的減區(qū)間為；由，得或，則的增區(qū)間為和．（2）．在上有兩個零點，即關于方程在上有兩個不相等的實數根．令，，則．令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調遞增．因為，所以當時，有，即，所以單調遞減；當時，有，即，所以單調遞增．因為，，，所以的取值范圍是．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數方程】在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數），又以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線C的極坐標方程，若原點在曲線C的內部，則求實數的取值范圍；（2）當時，直線l與曲線C交于M、N兩點，又點P為此時曲線C上一動點，求面積的最大值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）將曲線C的參數方程，消去參數，可得普通方程為，即，將，代入可得曲線C的極坐標方程為，若原點在曲線C的內部，則，解得．（2）當時，