2021-2022學年上海市華東師范大學附屬東昌中學高一下學期期末數學試題一、填空題1．復數的虛部為___________.【答案】4【分析】根據復數的代數形式可直接得到其虛部.【詳解】由復數的概念可得復數的虛部為.故答案為：2．設向量，且，則______【答案】【分析】依題意可得，根據向量數量積的坐標表示計算可得；【詳解】解：因為，且，所以，解得故答案為：3．已知角的終邊與單位圓的交點為，則___________.【答案】【分析】根據三角函數的定義求出，再根據二倍角公式求解.【詳解】根據三角函數的定義得：，又因為故答案為：4．在復平面內，復數對應點的坐標為，則___________.【答案】【分析】由對應點的坐標求出復數，代入算式中化簡.【詳解】復數對應點的坐標為，∴，.故答案為：5．已知數列的前項和為，則___________.【答案】19【分析】利用作差法求出，代入即可求解.【詳解】，所以，兩式相減得，，所以.故答案為：19.6．在中，角??所對邊分別是??，若，則___________.【答案】##【分析】根據余弦定理直接求解即可.【詳解】，，，.故答案為：.7．已知向量，，則向量在方向上的數量投影為___________.【答案】【分析】利用平面向量的投影的定義求解.【詳解】解：因為向量，，所以向量在方向上的數量投影為，故答案為：8．已知等差數列的前項和為，且，則___________.【答案】12【分析】根據等差數列的性質求解即可.【詳解】由等差數列知，，，.故答案為：129．已知的遞推公式為，則___________.【答案】4【分析】無窮項等比數列求和，借助極限公式.【詳解】由遞推公式可得，是首項為1公比為的等比數列，數列前n項和為，.故答案為：410．對于函數，其中，已知，則___________.【答案】【分析】根據誘導公式計算的值并觀察與的關系即可求得結果.【詳解】而所以，故故答案為：.11．在中，，點是外接圓上任意一點，則的最大值為___________.【答案】48【分析】建立平面直角坐標系，用圓的方程設點的坐標，計算的最大值．【詳解】，，即為直角三角形，建立平面直角坐標系，如圖所示：則，，，外接圓，設，，則，，，所以，當且僅當時取等號．所以的最大值是48．故答案為：48．12．在計算機語言中，有一種函數叫做取整函數（也叫高斯函數），通常記作，表示不超過的最大整數，如，已知，，，則___________.【答案】7【分析】根據題意得到數列項，通過觀察可得數列的周期性，然后根據周期性求值即可．【詳解】∵，（，且），∴，，，同理可得∴，即數列的周期為6．∴．故答案為：7二、單選題13．若是內一點，，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心【答案】B【分析】設的中點為，由題可得，進而即得.【詳解】設的中點為，連接，由，得，∴三點共線，是的三等分點，即是的重心.故選：B,14．設是復數，則以下命題中的真命題的個數是（

）①若，則

②若，則③若，則

④若，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】設，利用復數的運算求解逐項驗證.【詳解】設，①若，解得，則，故正確；

②若，即，解得，即，則，故正確；③若，則，即則，故正確；

④若，則，而，故錯誤；故選：C15．某大學校園內有一個“少年湖”，湖的兩側有一個健身房和一個圖書館，如圖，若設音樂教室在處，圖書館在處，為測量?兩地之間的距離，甲同學選定了與?不共線的處，構成，以下是測量的數據的不同方案：①測量；②測量；③測量；④測量.其中要求能唯一確定?兩地之間距離，甲同學應選擇的方案的序號為（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】由題意結合所給的條件確定三角形解的個數即可確定是否能夠唯一確定A，B兩地之間的距離.【詳解】①測量∠A，∠C，∠B，知道三個角度值，三角形有無數多組解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；②測量∠A，∠B，BC，已知兩角及一邊，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離；③測量∠A，AC，BC，已知兩邊及其一邊的對角，由正弦定理可知，三角形可能有2個解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；④測量∠C，AC，BC，已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離.綜上可得，一定能唯一確定A，B兩地之間的距離的所有方案的序號是②④.故選：C16．已知等差數列的前項和為，向量，，，且，則用??表示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據為關于的一次函數可知三點共線，由三點共線向量表達式可得解.【詳解】因為是等差數列，所以，故為關于的一次函數，所以，，在同一條直線上，即三點共線，所以由可得，且，所以，解得．故選：B三、解答題17．已知.(1)若，求實數的值；(2)若與夾角為銳角，求實數的取值范圍.【答案】(1)2(2)且【分析】（1）根據向量共線的性質，列式計算即可；（2）設夾角為，則，得到，計算可得的范圍，注意與不同向共線.【詳解】（1）若，則，解得.（2）若與夾角為銳角，設該夾角為，則，故只需，解得且與不同向共線，即，所以實數的取值范圍為且.18．已知是關于的方程的兩個虛根，為虛數單位.(1)當時，求實數的值.(2)當，且，求實數的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據實系數一元二次方程的根互為共軛復數及根與系數的關系求解；（2）由實系數的一元二次方程的求根公式化簡求解即可.【詳解】（1）因為是關于的方程的兩個虛根，所以當時，，所以；（2）當時，，由求根公式可知，兩根分別為，所以，所以，解得.19．已知函數.(1)求函數的嚴格單調遞增區(qū)間；(2)求函數在區(qū)間的值域；(3)已知函數，若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先化簡，根據正弦型函數的單調性列出不等式即可；（2）根據范圍求出范圍，即可得到其值域；（3）分離參數得，利用誘導公式和二倍角余弦公式得，再結合范圍，即可求出右邊最小值，即得到答案.【詳解】（1），令，,得，,故嚴格單調遞增區(qū)間為.（2）當時，，所以，故值域為.（3）由題意得設當時，則，則所以.20．已知等差數列的首項0..0..比數列，且公比大于0..(1)分別求的通項公式；(2)求數列的前項和；(3)令，判斷有無最大項，若有指出第幾項最大，求最大項的值.【答案】(1)，(2)(3)有，第四項，【分析】（1）直接根據等差等比數列的通項公式列方程求出公差公比，進而可得通項公式；（2）利用等差等比數列的求和公式分組求和即可；（3）利用的正負值的確定可得最大項.【詳解】（1）設的公比為，因為首項為2，且，所以，所以，因為的首項為1，，所以，設的公差為，則，所以；（2），所以前項和；（3），所以，當時，，所以，當時，，所以，所以的最大項是.21．借助復數?三角及向量的知識，可以研究平面上點及圖像的旋轉問題．請嘗試解答下列問題：(1)在直角坐標系中，已知點的坐標為，將繞坐標原點O逆時針方向旋轉至．求點的坐標；(2)設向量，把向量按順時針方向旋轉角得到向量，求向量對應的復數；(3)設為不重合的兩個定點，將點繞點按逆時針旋轉角得到點，判斷點是否能夠落在直線上，若能，試用表示相應的值，若不能，說明理由．【答案】(1)(2)(3)能，答案見解析【分析】（1）設，以為終邊的角為，則，利用兩角和的正弦和余弦公式求得和，進而求得點坐標；（2）先把平移到起點在原點得到，與（1）同理求得即得；（3）與（1）同理求得點，把點坐標代入直線，分情況討論求解即可．【詳解】（1）設以為終邊的角為，，則，，所以；（2）把向量的起點平移到原點O，得到向量，繞坐標原點O逆時針方向旋轉得到向量，，設以為終邊的角為，則以為終邊的角為，記，則，且，所以向量對應的復數為；（3）欲求點坐標，只需要求位置向量坐標，顯然．因為向量，由（2）