2021-2022學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)華僑中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式求得正確答案.【詳解】.故選：A2．函數(shù)的最小正周期是（）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期；故選：A3．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C．[1，3] D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由，且求解.【詳解】設(shè)的周期為T(mén)，因?yàn)?，即，解得，由，解得，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，顯然k只能取0，所以且，解得.故選：B.4．設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于，，所以，所以，，所以.故選：B5．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．π【答案】A【分析】先求出函數(shù)的增區(qū)間，進(jìn)而建立不等式組解得答案即可.【詳解】易知將函數(shù)的圖象向右平移得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的增區(qū)間為，而函數(shù)又在上單調(diào)遞增，所以，于是，即a的最大值為.故選：A.6．一個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示，則它的表達(dá)式可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用奇偶性定義判斷各函數(shù)的奇偶性及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合題設(shè)函數(shù)圖象，應(yīng)用排除法即可確定解析式.【詳解】A：為奇函數(shù)，排除；B：為奇函數(shù)，排除；D：為偶函數(shù)，而，排除.故選：C7．已知函數(shù)若函數(shù)（）恰有個(gè)零點(diǎn)，分別為，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)圖象和直線．根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)性質(zhì)可得的性質(zhì)，從而求得相應(yīng)范圍．【詳解】的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出的圖象和直線，如圖，，區(qū)間正好是的一個(gè)周期，和時(shí)取得最大值，因此是它在上的對(duì)稱(chēng)軸，，由得，，所以，它在時(shí)是增函數(shù)，，，所以的取值范圍是．故選：D．8．若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離是，則下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A． B． C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)圖象所過(guò)點(diǎn)以及相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離求得，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意：函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離是，所以，A選項(xiàng)正確.，，由于，所以，B選項(xiàng)正確.所以，為偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確.不是奇函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BC【分析】對(duì)于A，利用奇函數(shù)的定義判斷即可，對(duì)于B，求出的減區(qū)間進(jìn)行判斷，對(duì)于C，代入驗(yàn)證可，對(duì)于D，利用三角函數(shù)圖變換規(guī)律判斷【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由，得，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以為函?shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，所以D錯(cuò)誤，故選：BC10．一半徑為4米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每30秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（

）A．點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要10秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)35秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)25秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米D．點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為【答案】AC【分析】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式為,根據(jù)題意，求出的值，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式為，由題意得：解得：∴.故D錯(cuò)誤；對(duì)于A.令h=6，即，即解得：t=10，故A對(duì)；對(duì)于B令t=35，代入，解得：h=4，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C.令t=25，代入，解得：h=-2，故C對(duì).故選：AC11．已知函數(shù)，結(jié)論正確的有（

）A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．的值域?yàn)镈．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】對(duì)于A，利用周期的定義分析判斷，對(duì)于B，判斷函數(shù)的奇偶性，對(duì)于C，利用復(fù)合函數(shù)求值域的方法求解，對(duì)于D，利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的方法求解【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是周期函?shù)，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，所以的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)的值域?yàn)?，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞，在上遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D正確，故選：AD12．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小正周期是 B．當(dāng)時(shí)，的值域是C．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù) D．對(duì)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【分析】先把n值代入函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)整理成正弦型三角函數(shù)，再去求最小正周期、值域；依據(jù)定義去判斷奇偶性、對(duì)稱(chēng)軸即可解決.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，最小正周期是.判斷正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，的值域是.判斷正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則故，即不是奇函數(shù).判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).判斷正確.故選：ABD三、填空題13．在中，有，試判斷的形狀______．【答案】直角三角形【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與余弦二倍角公式即可求解角．【詳解】因?yàn)椋怨?，所以，則的形狀為直角三角形．故答案為：直角三角形．14．已知對(duì)任意都有，則等于________．【答案】【分析】由給定等式可得圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，再借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?qū)θ我舛加?，則直線是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以.故答案為：15．使得成立的最小正數(shù)m的值為_(kāi)________【答案】【分析】利用輔助角公式及同角之間的關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到，進(jìn)而可得解.【詳解】即，，當(dāng)時(shí)，所以使得成立的最小正數(shù)m的值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，涉及輔助角公式，同角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化為，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于一般題.16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有4次失去意義，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)題意，通過(guò)，表示出函數(shù)沒(méi)有意義時(shí)的取值，再結(jié)合這些的取值中至少有4個(gè)在區(qū)間內(nèi)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有意義，，，故，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)至少有4次失去意義，所以，解得且，又因?yàn)榍?，所?故答案為：.四、解答題17．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，見(jiàn)下表：0x00(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式；(2)求使函數(shù)取得最大值的x的集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件依次求得的值，從而求得的解析式.（2）利用整體代入法求得使函數(shù)取得最大值的x的集合.【詳解】(1)依題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，，，所以.(2)由（1）得，由得，所以使函數(shù)取得最大值的x的集合為.18．函數(shù)的部分圖象如圖所示，該圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)B，C，M為最高點(diǎn)，且的面積為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的面積，即可求出的值，進(jìn)而根據(jù)周期公式的值，再根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，結(jié)合的取值范圍，即可求出的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)，可知，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可的取值范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的值域．【詳解】(1)解：的面積，即周期，則，由，得，∵∴，∴．(2)解：∵，∴，∴，即．∴的值域?yàn)?19．觀察以下等式：①②③④⑤(1)對(duì)①②③進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，并猜想出④⑤式子的值；(2)根據(jù)上述各式的共同特點(diǎn)，寫(xiě)出一條能反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)；證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即得；（2）根據(jù)式子的特點(diǎn)可得等式，然后利用和差角公式及同角關(guān)系式化簡(jiǎn)運(yùn)算即得,【詳解】(1)猜想：(2)三角恒等式為證明：=．20．如圖，在半徑為的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料，其中點(diǎn)在直徑上，點(diǎn)在圓周上．(1)設(shè)，矩形的面積為，求表達(dá)式，并寫(xiě)出的范圍；(2)怎樣截取才能使截得的矩形的面積最大？并求最大面積．【答案】(1)(2)時(shí)，矩形的面積取得最大值.【分析】（1）解直角三角形求得，由此求得的表達(dá)式.（2）結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得矩形的最大面積，以及此時(shí)的值.【詳解】(1)依題意可知，所以，即.(2)由（1）得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，也即時(shí)，矩形的面積取得最大值.21．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用輔助角公式結(jié)合圖象的變換得出，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出，從而得出函數(shù)的解析式；（2）由得出，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為∴∴又∴∴.(2)∵∴當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減.且，.∵方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.∴∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.22．已知函數(shù)，其中，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，的最小值為.(1)求的值及的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若不等式對(duì)任意時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)