專題2.2充分條件、必要條件、充要條件一、考情分析二、考點梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p【特別提醒】若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，請寫出集合A，B的其他關(guān)系對應(yīng)的條件p，q的關(guān)系．①若AB，則p是q的充分不必要條件；②若A?B，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．三、題型突破重難點題型突破1充分、必要、充要條件的判斷例1．（1）、（2019·北京·昌平一中高二期中）“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】當(dāng)時，成立，即充分性成立；當(dāng)時，不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.（2）、（2021·福建·廈門一中高一競賽）已知a，b＞0，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．不充分不必要條件【答案】B【分析】分充分性和必要性分別討論：充分性：取特殊值判斷；必要性：利用基本不等式進行證明.【詳解】充分性：取，滿足，但是，不滿足.故充分性不滿足；必要性：.故必要性滿足.故“”是“”的必要非充分條件．故選：B（3）、（2021·廣東·中山中學(xué)高一月考）（多選題）設(shè)，則的一個必要不充分條件可以是（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由，可得構(gòu)成集合，結(jié)合選項，可得集合，均真包含M，所以與是的一個必要不充分條件.故選：AC.（4）、（2020·江蘇海安·高二期中）（多選題）下列敘述中不正確的是A．“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件B．若,則“”的充要條件是“”C．“”是“”的充分不必要條件D．若,則“對恒成立”的充要條件是“”【答案】BD【分析】對A,B,C,D四個選項,根據(jù)相關(guān)知識逐個判斷是否正確即可.【詳解】對A,令,方程有一個正根和一個負根,則,則有,∴“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件,正確；對B,當(dāng)時,若“”成立,而,充分性不成立,錯誤；對C,,或，∴“”是“”的充分不必要條件,正確；對D,對恒成立可以推出且,但是,沒有這個條件時,不可以推出,錯誤．故選：BD.【點睛】本題主要考查充要條件,充分不必要條件,必要不充分條件的判斷,涉及一元二次方程的根的分布,不等式的性質(zhì),以及一元二次不等式恒成立等價條件的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·廣東·茂名市電白區(qū)水東中學(xué)高一月考）已知是實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由得或，再利用充分不必要條件定義判斷得解.【詳解】解：由得得或，因為當(dāng)時，或成立，當(dāng)或時，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要條件，故選：A．【變式訓(xùn)練1-2】、（2020·江蘇·吳縣中學(xué)高二月考）下列是“”成立的必要不充分條件的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出不等式的解集，然后根據(jù)必要不充分條件的定義分析可得．【詳解】，分析各選項，只有B是必要不充分條件．故選：B．【變式訓(xùn)練1-3】、（2021·江蘇南京·高二期末）已知，，則“”是“”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】從充分性和必要性兩個方面，分和討論，分別求解證明即可.【詳解】解：當(dāng)，時，此時成立，當(dāng)，時，此時成立，即可以推出，反之，若，則中至少有一個負數(shù)，若均為負數(shù)，必然有，若，則，因為，則必有，所以可以推出，故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分性和必要性的判斷，考查學(xué)生分類討論的思想，是中檔題.【變式訓(xùn)練1-4】、（2021·江蘇·高一單元測試）下列命題中：①若，，則；②“”是“”的充分不必要條件；③若，則；④“”是“”的必要不充分條件，上述命題中正確命題的序號______.【答案】②③④【分析】取特殊值可判斷①；由基本不等式可判斷③；由充分條件必要條件的定義判斷②④.【詳解】對于①，當(dāng)時，，故①錯誤；對于②，若，則，故充分性成立；若，取，滿足，但不滿足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故②正確；對于③，若，則，則，故③正確；對于④，若，，則，故充分性不成立；若，則，所以，故必要性成立，即“”是“”的必要不充分條件，故④正確.故答案為：②③④【點睛】本題考查命題真假的判斷，其中涉及不等式性質(zhì)，基本不等式，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.重難點題型突破2充分、必要、充要條件的應(yīng)用例2．（1）、（2021·江蘇·沭陽如東中學(xué)高三月考）已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出、中的不等式，根據(jù)是的充分不必要條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，即，解得，解不等式，即，解得，由于是的充分不必要條件，則，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用充分不必要條件求參數(shù)，同時也考查了分式不等式和絕對值不等式的求解，考查計算能力，屬于中等題.（2）、（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍_______________________．【答案】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)求出，的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：由得解得，設(shè)由得解得，設(shè)．是的必要不充分條件，是的必要不充分條件，，即，解得實數(shù)的取值范圍為故答案為：【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出，的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件與集合關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-1】、（2020·江蘇·高一課時練習(xí)）若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】解不等式，然后對與的大小關(guān)系進行分類討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，解得，解方程，解得或.①當(dāng)時，即當(dāng)時，不等式即為，該不等式的解集為，不合乎題意；②當(dāng)時，即當(dāng)時，解不等式可得.由于是的充分不必要條件，則，可得，此時；③當(dāng)時，即當(dāng)時，解不等式可得.由于是的充分不必要條件，則,可得，解得.檢驗：當(dāng)時，則有，合乎題意；當(dāng)時，則有，合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查利用充分不必要條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則求解：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合互不包含．【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，若p是q的必要不充分條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將命題，化簡，利用集合法列出不等式，即可求出的取值范圍.【詳解】由，得，所以，由，得，所以，若p是q的必要不充分條件，所以是的真子集，所以，解得.故選：B【點睛】本題主要考查已知必要不充分條件求參數(shù)范圍，關(guān)鍵是將必要不充分條件正確的轉(zhuǎn)化為集合之間的真包含關(guān)系，屬于中檔題.【變式訓(xùn)練2-3】、（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選題）已知關(guān)于x的方程，下列結(jié)論正確的是（）A．方程有實數(shù)根的充要條件是或B．方程有一正一負根的充要條件是C．方程有兩正實數(shù)根的充要條件是D．方程無實數(shù)根的必要條件是【答案】CD【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義對選項逐一判斷即可.【詳解】在A中，二次方程有實數(shù)根，等價于判別式，解得或，即二次方程有實數(shù)根的充要條件是或，故A錯誤；在B中，二次方程有一正一負根，等價于，解得，方程有一正一負根的充要條件是，故B錯誤；在C中，方程有兩正實數(shù)根，等價于解得，故方程有兩正實數(shù)根的充要條件是，故C正確；在D中，方程無實數(shù)根，等價于得，而，故是方程無實數(shù)根的必要條件，故D正確；故選：CD．【點睛】結(jié)論點睛：關(guān)于充分條件和必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的充分條件，則可推出，即對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的子集；（2）若是的必要條件，則可推出，即對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的子集；（3）若是的充要條件，則，可互推，即對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等.例3．（2021·江蘇·高一單元測試）已知集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）當(dāng)時，，根據(jù)交集并集運算法則即可得解；（2）根據(jù)A是B的真子集，建立不等關(guān)系求解參數(shù)范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，；（2）若是成立的充分不必要條件，則是B的真子集，或解得：，因為m=-1時為充要條件，不合題意，所以【變式訓(xùn)練3-1】、（2021·江蘇·高一單元測試）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）解分式不等式可得集合；（2）由已知條件可得出，對和的大小關(guān)系進行分類討論，結(jié)合可得出實數(shù)所滿足的不等式（組），綜合可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，故；