1.1.0,1全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題張國(guó)慶四川自貢蜀光中學(xué) 643000填空題(每題8分，共64分)1.設(shè)a1.設(shè)a是個(gè)實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式在--上恒成立，則a的取值范圍36x4y2.已知xy=1,且0<y<l,則2TOC\o"1-5"\h\z2.已知xy=1,且0<y<l,則2x16y的最大值是2 2Fi,F2為左,右焦點(diǎn)1,Fi,F2為左,右焦點(diǎn)1,則S2014=1PF71 ， ，.E1PF7」區(qū)的取值范圍是PF2.數(shù)歹Uan定義為：a1cos,anan1nsin.底面半徑為1的圓柱形容器里放4個(gè)半徑為0.5的實(shí)心鐵球，4個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切，現(xiàn)往容器里注水，使水面浸沒(méi)所有鐵球，則需注水.某家電影院的票價(jià)為5元一張，現(xiàn)有10人，其中5人持有5元鈔票，另外5人持有10元鈔票，假設(shè)開(kāi)始售票時(shí)售票處沒(méi)有錢(qián)，這 10個(gè)人隨機(jī)排隊(duì)購(gòu)票，則售票處不會(huì)出現(xiàn)找不開(kāi)錢(qián)的概率為。- 17.已知函數(shù)f(x)loga (a1),右函數(shù)yg(x)的圖像上任息一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)1x稱(chēng)點(diǎn)Q的軌跡方程恰好為f(x)，若x0,1，總有f(x)g(x)m成立，則m的取值范圍是 8設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)若f(0)2014，且對(duì)任意xR,f(x2)f(x)32xf(x6)f(x)632x,貝旺(2014)=.解答題(共56分)9.(16分)AB||xbXa表示數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，它可看作是滿(mǎn)足一定條件的一種運(yùn)算，這樣將滿(mǎn)足下列 3個(gè)條件的一個(gè)x與y之間的運(yùn)算P(x,y)叫做x與y之間的距離(1)非負(fù)性：P(x,y)0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)；(2)交換律：P(x,y)=P(y,x);(3)三角不等式：P(x,z)P(x,y)+P(y,z)x-y試確定運(yùn)算S(x,y)=―是否為一個(gè)距離？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)舉出反1xy例。10（20分）已知二次函數(shù)f（x）ax2x1（a0）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為Xi、X2⑴證明：（1xi）（1x2）1TOC\o"1-5"\h\z⑵證明：x1 1,x2 1⑶若x1,x2滿(mǎn)足不等式lg上1,試求a的取值范圍。乂22 211.（20分）過(guò)直線(xiàn)l：5x7y700上的點(diǎn)P作橢圓—y-1的切線(xiàn)PM、PN,切25 9點(diǎn)分別為MN,連接MN⑴當(dāng)P點(diǎn)在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明直線(xiàn)MN通過(guò)定點(diǎn)Q.⑵當(dāng)MN//1時(shí)，證明點(diǎn)Q平分線(xiàn)段MN.力口試一、（40分）直線(xiàn)1切。。于點(diǎn)D,A、B、C、D是。O上順時(shí)針依次排列的四點(diǎn)，A、B、C、在直線(xiàn)l上的投影依次為x、y、z,求證：AB-JCZ+BC/AX=AC/bY.二、（40分）任給一個(gè)正整數(shù)a,定義一整數(shù)列Xi,X2,...xn,x1=a,xn=2xn-1+1（n>1）.令yn=2xn-1,試確定最大可能的整數(shù)k,使得存在某正整數(shù)a通過(guò)以上關(guān)系得到的y1,...yk都是質(zhì)數(shù)。三、（50分）給定正整數(shù)min,證明：存在正整數(shù)c,使得數(shù)cm與cn在十進(jìn)制表示下每個(gè)非零數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)相同。四、（50分）在一個(gè)999X999的方格表中，一些方格是白色的，其他方格均是紅色的。設(shè)T是由三個(gè)方格G、G、G組成的方格組（G,G,G）的個(gè)數(shù)，使得G、G在同一行，G、G在同一列，且G、G是白色的，G是紅色的。求T的最大值。參考答案一填空題

TOC\o"1-5"\h\z331令t=sinx,t——，一，下面分情況分離系數(shù)22若t -工2,0則aL2--2t恒成立，而12t在*2,0上單調(diào)遞減,2 tt t 2若t電,旦，則a絲」2t-恒成立，而2t12 2 t t t在B,旦上單調(diào)遞增，于是a0；2 2若t若t0,則a1;若t 0,工，則al-2tT旦成立，而~2t t綜上所述，a的取值范圍是0,12t在0,-上單調(diào)遞減，于是a1;2xy1,且0y1,則x24yxy1,且0y1,則x24y0,于是可將f(x,y)的最大值問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求g(x,y)的最小值問(wèn)題于是g(x,y)2 2x16yx4y(x4y)—8x4y4五,當(dāng)且僅當(dāng)x4y27'2時(shí)，取"”.2即f(x,y)的最大彳1為—8- 2_2024a2b3.-2, -4ab記PF1u,PF2v,則u2a,由均值不等式得uv由三角形邊長(zhǎng)不等式即(u-v)2b2uva,—

a1 1( )uv、2)-4uv1 1—2J>uvb2 22c,2,4c,4uv4a24c2,uvb24a2uv(uv)22

uv4a2(—uv14a21111當(dāng)uva2時(shí)，(.1 l)m.n2 2mminu v因此PFipf2的取值范圍是專(zhuān)當(dāng)uvb2時(shí)，(a_ 2 _224a2b-2， 1-4ab11)2 2maxuv4a22b2

b44.1007cos1013042sinan an1I兩式相減得nsincos,anan(n1)sincosan1 an1sin因此an的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，公差為sin，且a1cos,a2 sin故由等差數(shù)列的求和公式知:S2014 (a1a3a2013)(aS2014 (a1a3a2013)(a2a4a2014)1007cos1007磔sin1007cos2

1013042sin100710061007sin sin/125.(——)3 2由于4個(gè)鐵球兩兩相切，所以這4個(gè)小球的球心構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)易知水面高度就是一組即為所在正方體對(duì)面之對(duì)棱之間的距離與小球的直徑之和，而一組對(duì)棱之間的距離2 2間的距離三，所以水面高度為1—故注入水的體積為(1-4T32二)易知水面高度就是一組即為所在正方體對(duì)面之對(duì)棱之間的距離與小球的直徑之和，而一組對(duì)棱之間的距離2 2間的距離三，所以水面高度為1—故注入水的體積為(1-4T32二)26.6這10個(gè)人按鈔票的排列數(shù)為10Cio252記p(m,n)表示m個(gè)手持5元,5!5n個(gè)手持10元的人滿(mǎn)足條件的排列方式數(shù),則p(m,0)1,當(dāng)mn時(shí)，p(m,n)0且p(m,n)p(m,n1)p(m1,n)如圖，p(5,5)等于從A到B不能穿越對(duì)角線(xiàn)的路徑數(shù),即p(5,5)42一一一一，42 125265故所求概率為土25265491414142842 42B35522111A7.m0設(shè)yg(x)圖像上任意一點(diǎn)P(x,y),則P關(guān)于原點(diǎn)白對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(x,y)在yf(x)1的圖像上，則yloga ，即g(x)loga(1x),由f(x)g(x)m得1x1x人 1xloga m,令F(x)loga ,x0,1，由題目知F(x)minm即可，由于a11x 1x2所以F(x)loga(1——)在0,1上是增函數(shù)，F(xiàn)(x)minF(0)0m01x20148.2 2014f(x 2) f(x)f(x4)f(x2)f(x 6)f(x 4) f(x6)f(x)3 2x232x 4632x 32x,從而f(x2)f(x)3 2x所以f(2014)f(2014)f(2012)f(2012)f(2010) f(2)f(0)f(0)3(2201222010 221)f(0)2201420149.要說(shuō)明S(x,y)是否為距離，只要驗(yàn)證 它是否滿(mǎn)足三個(gè)條件即可。S(x,y)匕y10,當(dāng)且僅當(dāng)x y時(shí)取等號(hào)，滿(mǎn)足條件(1);xyS(x,y)JxylJyx[S(y,x)滿(mǎn)足條件(2)；1|xy|1|yx

f(x)工1,在0, 上是增函數(shù)，且1x1xXz(xy)(yz)xyyz所以軟")"f(xz)f(xylyz)xy|yz1|xy|1|yzS(x,y)S(y,z)滿(mǎn)足條件(3)綜上，運(yùn)算S(x,y)1xy,為一個(gè)距離。xy10.(1)由題意知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2x100勺兩個(gè)實(shí)根xy|yz1|xy|1|yzS(x,y)S(y,z)滿(mǎn)足條件(3)綜上，運(yùn)算S(x,y)1xy,為一個(gè)距離。xy10.(1)由題意知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2x100勺兩個(gè)實(shí)根1Xx2 —,x1x2a1一x〔 x2ax1x2，從而(1 x1)(1x2)1(2)由于ax2x10有實(shí)根x1、x2，所以x〔 x2即04a0(x1(x11)d1)1)(x21)1x110,x21 0即x1 1,x211g81。上10

x2 10x2由(1x1)(1x2)1得x1 x2—81x2x23日1 1 10 1 1x2解得一一一，a 或11 x2 11 /2 x21 1 11x2 10 1x22111(1)一一x2 2 410當(dāng)—。時(shí)，a取最大值—;x22 4當(dāng)-工或妁時(shí)，a取最小值小x211 11 121所以a的取值范圍是101⑵’411.設(shè)P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，則橢圓過(guò)M、N的切線(xiàn)方程為XiXy〔y1X2Xy2y1TOC\o"1-5"\h\z25 9 ,25 9因?yàn)閮汕芯€(xiàn)都過(guò)點(diǎn)P,則有XiXoyiyo X2X0y2yo1, 125 9 25 9這表明M、N均在直線(xiàn)出生1 ①上，由兩點(diǎn)決定一條直線(xiàn)知方程① 就是直線(xiàn)25 9MN的方程，其中(Xo,yo)滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程。當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可理解為Xo遍取一切實(shí)數(shù)，相應(yīng)的yo>0,yo$Xo10代當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可理解為Xo遍取一切實(shí)數(shù)，相應(yīng)的yo>0,yo$Xo10代7XoX5Xo70入①式消去y0得-0-- y125 630對(duì)一切x0R恒成立可得:/x5y、/0y八X0( )( 1)2563 925530 . 25由此解得直線(xiàn)MN包過(guò)定點(diǎn)Q(25,14⑵當(dāng)MN//l時(shí)，由式知至5X07025 635 71,解得X。4375一,4375代入式得此時(shí)MN的方533工… 533程為5x7y 350③將此方程與橢圓方程聯(lián)立消去5332533y得 x x25 71280681225由此可得，此時(shí)MN截橢圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為533Q(25,包)的橫坐標(biāo)，即x -7-251410 253314259代入③式得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)為 一恰為Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)10所以Q點(diǎn)平分線(xiàn)段MN.加試參考答案一、作直徑DE連ADAE,貝^ADX=AEDAXD=EAD=90,所以AADXDEA于是也整，即AD=DE?AX,同理BE2=DE-BY,CD=DE-CZ.DEAD由托勒密定理，有AB-CD+BCAD=ACBD.所以，AB-‘DECZ+BC-VDEAX=AC-JDEBY即AB?CZ+BC-,AX=AC-,BY.二、滿(mǎn)足題目最大整數(shù)k=2,事實(shí)上，如果，yi是質(zhì)數(shù)，則x也為質(zhì)數(shù)，因?yàn)?，Xi=1,則yi=1不為質(zhì)數(shù)，若Xi=mn(整數(shù)m>n>1),則2m-1|2xi-1,即Xi為分?jǐn)?shù)，則yi也為分?jǐn)?shù)。下面證明，對(duì)任意的奇質(zhì)數(shù)ai、yi、y2、y3中至少有一個(gè)合數(shù)(假設(shè)不然，則Xi、X2、X3均為質(zhì)數(shù)，由于XiM是奇數(shù)，則X2>3,且X2m3(mod4,因此X3dX31=7(mod8),則2是X3二次剩余,即存在xCN*,使得X2三2(modX3)),從而，2X2=22=XX3-1=1(modx3),貝Ux31y3,顯然y2是合數(shù),因?yàn)閄2>3,則2X3>2x2+1=X3,所以y2是合數(shù)。最后，如果a=2,彳4y1=3,y2=31，而y3=211能被23整除，所以k=2.三、證明：若n與10不互質(zhì)，設(shè)n=n1?2"?5'，(m,10)=1,取b使bn=n1?2".5"b,和刃m與n1看耦k+m勺mn,因此可以不妨設(shè)(n,10)=1.此時(shí)，我們可以取到正整數(shù)c、k、r、s滿(mǎn)足c=10t+ =10t+ .為此，我們首先取正整數(shù)r滿(mǎn)足10rm-n>n2且10「加由于(n,10)=1,故10與10rm-n互質(zhì)，因此我們可以取到10的某個(gè)幕次，被10rm-n除余1,將這個(gè)幕次記為10s+2「，由n三10rm(mod10m-n)知，10sn2=10s+2rm2三n2(mod10m-n),所以k=10防2劃2為正整數(shù),再取正整數(shù)10rm-nt>max{10sn+k,10「k+m},令c=10t+Wsn+^f=10t+Ork+mImInJ此時(shí)，cm=10-m+10n+k,cn=10t-n+10「k+m,由于10「m-n>r2,所以10s(10rm-n)>10sn2>10sn2-m2,即k=^心m<10s,所以cm由m的數(shù)字接若干0再接n的數(shù)字接