§2.1連續(xù)方程

§2.2動量方程

§2.3能量方程

§2.4方程的基本解法

§2.5微團運動分析

§2.6旋渦運動第二章

流體運動的基本方程和基本規(guī)律§2.1連續(xù)方程§2.2動量方程§2.3§2.1連續(xù)方程§

2.1.1連續(xù)方程的物理意義§

2.1.2連續(xù)方程的積分形式§

2.1.3連續(xù)方程的微分形式§

2.1.4連續(xù)方程的物質導數(shù)形式§2.1連續(xù)方程§2.1.1連續(xù)方程的物理意義§連續(xù)方程描述的是流體力學中的質量守恒規(guī)律：流出控制體的質量流量等于控制體內質量隨時間的減少率?！?/p>

2.1.1連續(xù)方程的物理意義連續(xù)方程描述的是流體力學中的質量守恒規(guī)律：流出控制體的§

2.1.2連續(xù)方程的積分形式§2.1.2連續(xù)方程的積分形式§

2.1.3連續(xù)方程的微分形式根據(jù)散度定量以及控制體選取的任意性可得連續(xù)方程的微分形式為：§2.1.3連續(xù)方程的微分形式根據(jù)散度定量以及控制§

2.1.4連續(xù)方程的物質導數(shù)形式§2.1.4連續(xù)方程的物質導數(shù)形式§2.2動量方程§

2.2.1動量方程的物理意義§

2.2.2動量方程的積分形式§

2.2.3動量方程的微分形式§

2.2.4動量方程的物質導數(shù)形式§2.2動量方程§2.2.1動量方程的物理意義§動量方程描述的是動量守恒規(guī)律：控制體動量隨時間的變化率等于作用在控制體上的力。

§

2.2.1動量方程的物理意義動量方程描述的是動量守恒規(guī)律：控制體動量§

2.2.2動量方程的積分形式等號左邊項分別為定常情況的控制體的動量流量和非定常情況下的動力增加率，等號右邊項分別為壓力、徹體力和粘性力?！?.2.2動量方程的積分形式等號左邊項分§

2.2.3動量方程的微分形式§2.2.3動量方程的微分形式§

2.2.4動量方程的物質導數(shù)形式§2.2.4動量方程的物質導數(shù)形式§2.3能量方程§

2.3.1能量方程的引入§

2.3.2能量方程的物理意義§

2.3.3能量方程的積分形式§

2.3.4能量方程的微分形式§

2.3.5能量方程的物質導數(shù)形式§

2.3.6方程組封閉的條件§2.3能量方程§2.3.1能量方程的引入§2.對不可壓流動，密度是常數(shù)。流場的主要變量是壓強和速度。連續(xù)方程和動量方程都是關于和方程。因此，對定常的不可壓流，連續(xù)方程和動量方程已經(jīng)封閉。對可壓流動，密度也是一個變量。為了使該系統(tǒng)封閉，還需要一個基本方程，即本節(jié)的能量方程?！?/p>

2.3.1能量方程的引入對不可壓流動，密度是常數(shù)。流場的主要變量是壓強和速度能量方程描述的是能量守恒規(guī)律：根據(jù)熱力學第一定律，控制體內能的增加等于外界環(huán)境傳給控制體的熱能以及外界環(huán)境對控制體做功的和。為簡化推導形式，這里取控制體為單位質量，為單位質量的內能，對于一個靜止系統(tǒng)有：§

2.3.2能量方程的物理意義能量方程描述的是能量守恒規(guī)律：根據(jù)熱力學第一定律，控制體

等號左邊分別為非定常情況總能變化率以及定常情況下的能量流量；等號右邊分別為熱能傳輸率，粘性熱能傳輸率，壓力、徹體力和粘性應力做功功率?！?/p>

2.3.3能量方程的積分形式§2.3.3能量方程的積分形式

這里的表示粘性項在方程中的適當形式?！?/p>

2.3.4能量方程的微分形式§2.3.4能量方程的微分形式§

2.3.5能量方程的物質導數(shù)形式§2.3.5能量方程的物質導數(shù)形式在能量方程中，引入了另外一個未知的流場變量?，F(xiàn)在有三個方程，即連續(xù)方程，動量方程和能量方程，但它們包含了四個獨立的變量：。引入如下兩個方程可以使系統(tǒng)封閉：§

2.3.6方程組封閉的條件在能量方程中，引入了另外一個未知的流場變量?，F(xiàn)在有§2.4方程的基本解法§

2.4.1方程的解析解§

2.4.2方程的數(shù)值解—CFD§2.4方程的基本解法§2.4.1方程的解析解§方程的解析解空氣動力學中的三大控制方程，都是高度非線性偏微分方程或積分方程，目前為止還沒有解析解。但是針對某些應用空氣動力學問題，可以對控制方程進行一定程度的簡化和近似，從而得到簡化方程的解析解。

理論空氣動力學的發(fā)展過程就是在應用過程中對所有的控制方程進行適當簡化，并獲得其解析解的過程?！?/p>

2.4.1方程的解析解方程的解析解§2.4.1方程的解析解解析解的優(yōu)點：求解解析解的過程可以使我們更加的熟悉這些氣動問題的物理本質。封閉形式的解直觀的告訴我們哪些變量對流動的影響非常重要，而且可以知道這些變量增大或者減小時，會對流場產(chǎn)生什么樣的影響。最后，這些封閉形式的解為快速計算提供了簡單的工具。這在設計的初始階段尤為重要。

解析解的優(yōu)點：計算流體力學（CFD)是用代數(shù)離散的方式代替方程中的積分或者微分，最終求解出給定空間和時間離散點上的流場變量值的一種方法。CFD的優(yōu)點：不做任何幾何近似，也可以處理完全非線形的連續(xù)方程，動量方程和能量方程。正因為如此，許多以前不能求解的空氣動力學的復雜流動，都可以用CFD的方法來解決。

§

2.4.2方程的數(shù)值解－CFD計算流體力學（CFD)是用代數(shù)離散的方式代替方程中的積分或者§2.5微團運動分析§

2.5.1跡線、流線§

2.5.2角速度、旋度和角變形率

§

2.5.3流函數(shù)、速度位§2.5微團運動分析§2.5.1跡線、流線§2.跡線：流體微團在流場中的運動軌跡。§

2.5.1跡線、流線跡線：流體微團在流場中的運動軌跡?！?.5.1跡線、流線流線：流場中的一條曲線，線上各點的切向和該點的速度方向相同。如果流動是非定常的，由于速度矢量的大小和方向隨時間變化而變化，所以不同時刻的流線形式也不相同。流線：流場中的一條曲線，線上各點的切向和該點的速度方向相同。一般地說，流線和跡線是不重合。對定常流,流場中給定點的速度矢量的大小和方向都是不隨時間變化。因此經(jīng)過流場中同一點的不同微元，其跡線相同；還有，跡線和流線也重合。因此在定常流動中，流線和跡線是沒有任何區(qū)別；他們是相同的空間曲線一般地說，流線和跡線是不重合。對定常流,流場中給定點的速度矢如何求流線方程如上頁圖中表示的流線是空間曲線,用表示。設是流線上的一個微段。點2處的速度和平行。因此，由矢量叉乘的定義得流線方程為：笛卡爾坐標系下流線方程的微分形式：如何求流線方程如上頁圖中表示的流線是空間曲線,用在三維空間，在流場中取一條不為流線的封閉曲線，經(jīng)過曲線上每一點作流線，所有這些流線集合構成的管狀曲面被稱為流管，如右圖。由于流管由流線組成，因此流體不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬時，流場中的流管類似真實的固體管壁。流管在三維空間，在流場中取一條不為流線的封閉曲線，經(jīng)過曲線上每一§

2.5.2角速度、旋度和角變形率流場中的流體微團,當它沿著流線做平移運動的同時，還可能旋轉、變形運動。

微團旋轉和變形量取決于速度場，本節(jié)的目的就是用速度場量化分析微元的旋轉和變形運動。

§2.5.2角速度、旋度和角變形率流場中的流分析用圖考慮xy平面內的二維流動。取流場中的一個微元體。假設在時刻，流體微元是矩形。其在時刻的位置和形狀如下圖。AB和AC分別旋轉的角位移是。

分析用圖考慮xy平面內的二維流動。取流場中的一個角速度定義邊AB、AC的角速度為：定義流體微團角速度為邊AB和AC角速度的平均，并記為，則有：三維空間流體微團的角速度：角速度定義邊AB、AC的角速度為：旋度旋度：定義為旋轉角速度的兩倍，記為。1）如果在流動中處處成立，流動稱為有旋流動。這表明流體微團在流動過程中具有一定的旋轉角速度。2）如果在流場中處處成立，流動稱為無旋流動。這表明流體微團沒有角速度，在空間作純粹的平移運動。3）二維無旋流動條件：旋度旋度：定義為旋轉角速度的兩倍，記為。角變形率角變形率：設AB和AC之間的夾角為。在時間內，發(fā)生變化。角變形率定義為：笛卡爾坐標系下角變形率表達式：角變形率角變形率：設AB和AC之間的夾角為。在時間2.5.3流函數(shù)、速度位流函數(shù)對于二維不可壓流，連續(xù)方程為：所以是某個函數(shù)的全微分：又故有函數(shù)稱為流函數(shù)，為一條流線。2.5.3流函數(shù)、速度位流函數(shù)速度位對無旋流動：如果是個標量函數(shù)，那么：對比上面兩方程，有：于是對于無旋流動，存在一個標量函數(shù)，使得的梯度等于速度，稱為速度位。根據(jù)梯度和速度位定義有：速度位流函數(shù)和速度位的區(qū)別：1）流場速度可通過對在速度方向微分得到；而對在速度的法向求導得到速度。2）速度位是在無旋條件下定義的。而流函數(shù)不管流動有旋還是無旋，都存在。3）速度位適用于三維流動，流函數(shù)只在二維情形存在。流函數(shù)和速度位的區(qū)別：流函數(shù)和速度位的關系：取速度位的梯度和流函數(shù)的梯度的點積，有：所以等位線和流線正交流函數(shù)和速度位的關系：§2.6旋渦運動§

2.6.1渦線，渦管以及旋渦強度

§

2.6.2速度環(huán)量、斯托克斯定理§

2.6.3海姆霍茲旋渦定理§2.6旋渦運動§2.6.1渦線，渦管以及旋渦強度§

2.6.1渦線，渦管以及旋渦強度渦線：是充滿旋渦流場中的一系列的曲線，在任意瞬時該曲線上微團的旋轉角速度向量（旋轉軸線方向按右手定則）都和曲線相切，右如圖所示。渦線方程：

§2.6.1渦線，渦管以及旋渦強度渦線：是充滿旋渦流場中的渦管：某瞬時，在旋渦場中任取一條非渦線的光滑封閉曲線（曲線不得與同一條渦線相交于兩點），過該曲線的每一點作渦線，這些渦線形成得管狀曲面稱為渦管，見右圖。渦管：某瞬時，在旋渦場中任取一條非渦線的光滑封閉曲線（曲線不渦量：通過渦管任一截面得到的渦通量，定義為：渦管的側表面是渦面。在這個渦面上流體微團的角速度矢量與渦面的法向矢量相垂直。這表明渦通量不能穿越渦管表面。渦管截面大小和所取的圍線的大小有關，因此渦管可大可小，甚至無限小，渦線是橫截面積趨向于零的渦管。渦量：通過渦管任一截面得到的渦通量，定義為：旋渦強度，或稱渦量強度：設在渦管上取一截面，截面面積為，則定義為上式就是旋渦強度，旋度則是渦管截面趨向于零時的旋渦強度。旋渦強度，或稱渦量強度：設在渦管上取一截面，截面面積為，§

2.6.2速度環(huán)量、斯托克斯定理速度環(huán)量：如果積分路徑為一封閉曲線，則速度線積分的值定義為速度環(huán)量，即：

速度環(huán)量取逆時針積分方向為正?！?.6.2速度環(huán)量、斯托克斯定理速度環(huán)量：如果積分路徑斯托克斯定理：斯托克斯定理表明：沿空間任一封閉曲線L上的環(huán)量，等于貫穿以此曲線所成的任意曲面上的渦強。斯托克斯定理：誘導速度：由旋渦存在而產(chǎn)生得速度畢奧-薩瓦公式：確定誘導速度的大小。該公式指出,在不可壓流動中，強度是、長為的渦線對周圍流場所產(chǎn)生得誘導速度為：誘導速度：由旋渦存在而產(chǎn)生得速度§

2.6.3海姆霍茲旋渦定理流場中的旋渦是由流體粘性產(chǎn)生的。旋渦產(chǎn)生以后的效應，可以用理想流體的觀點來研究旋渦問題。理想流體里渦線或渦管有如下三條定理。定理一:在同一瞬間沿渦線或渦管的旋度強度不變。定理二:渦線不能在流體中中斷；只能在流體邊界上中斷或形成閉合圈。定理三:在理想流中，渦的強度不隨時間變化，既不會增強，也不會削弱或者消失。

§2.6.3海姆霍茲旋渦定理流場中的旋渦是

§2.1連續(xù)方程

§2.2動量方程

§2.3能量方程

§2.4方程的基本解法

§2.5微團運動分析

§2.6旋渦運動第二章

流體運動的基本方程和基本規(guī)律§2.1連續(xù)方程§2.2動量方程§2.3§2.1連續(xù)方程§

2.1.1連續(xù)方程的物理意義§

2.1.2連續(xù)方程的積分形式§

2.1.3連續(xù)方程的微分形式§

2.1.4連續(xù)方程的物質導數(shù)形式§2.1連續(xù)方程§2.1.1連續(xù)方程的物理意義§連續(xù)方程描述的是流體力學中的質量守恒規(guī)律：流出控制體的質量流量等于控制體內質量隨時間的減少率。§

2.1.1連續(xù)方程的物理意義連續(xù)方程描述的是流體力學中的質量守恒規(guī)律：流出控制體的§

2.1.2連續(xù)方程的積分形式§2.1.2連續(xù)方程的積分形式§

2.1.3連續(xù)方程的微分形式根據(jù)散度定量以及控制體選取的任意性可得連續(xù)方程的微分形式為：§2.1.3連續(xù)方程的微分形式根據(jù)散度定量以及控制§

2.1.4連續(xù)方程的物質導數(shù)形式§2.1.4連續(xù)方程的物質導數(shù)形式§2.2動量方程§

2.2.1動量方程的物理意義§

2.2.2動量方程的積分形式§

2.2.3動量方程的微分形式§

2.2.4動量方程的物質導數(shù)形式§2.2動量方程§2.2.1動量方程的物理意義§動量方程描述的是動量守恒規(guī)律：控制體動量隨時間的變化率等于作用在控制體上的力。

§

2.2.1動量方程的物理意義動量方程描述的是動量守恒規(guī)律：控制體動量§

2.2.2動量方程的積分形式等號左邊項分別為定常情況的控制體的動量流量和非定常情況下的動力增加率，等號右邊項分別為壓力、徹體力和粘性力?！?.2.2動量方程的積分形式等號左邊項分§

2.2.3動量方程的微分形式§2.2.3動量方程的微分形式§

2.2.4動量方程的物質導數(shù)形式§2.2.4動量方程的物質導數(shù)形式§2.3能量方程§

2.3.1能量方程的引入§

2.3.2能量方程的物理意義§

2.3.3能量方程的積分形式§

2.3.4能量方程的微分形式§

2.3.5能量方程的物質導數(shù)形式§

2.3.6方程組封閉的條件§2.3能量方程§2.3.1能量方程的引入§2.對不可壓流動，密度是常數(shù)。流場的主要變量是壓強和速度。連續(xù)方程和動量方程都是關于和方程。因此，對定常的不可壓流，連續(xù)方程和動量方程已經(jīng)封閉。對可壓流動，密度也是一個變量。為了使該系統(tǒng)封閉，還需要一個基本方程，即本節(jié)的能量方程?！?/p>

2.3.1能量方程的引入對不可壓流動，密度是常數(shù)。流場的主要變量是壓強和速度能量方程描述的是能量守恒規(guī)律：根據(jù)熱力學第一定律，控制體內能的增加等于外界環(huán)境傳給控制體的熱能以及外界環(huán)境對控制體做功的和。為簡化推導形式，這里取控制體為單位質量，為單位質量的內能，對于一個靜止系統(tǒng)有：§

2.3.2能量方程的物理意義能量方程描述的是能量守恒規(guī)律：根據(jù)熱力學第一定律，控制體

等號左邊分別為非定常情況總能變化率以及定常情況下的能量流量；等號右邊分別為熱能傳輸率，粘性熱能傳輸率，壓力、徹體力和粘性應力做功功率。§

2.3.3能量方程的積分形式§2.3.3能量方程的積分形式

這里的表示粘性項在方程中的適當形式?！?/p>

2.3.4能量方程的微分形式§2.3.4能量方程的微分形式§

2.3.5能量方程的物質導數(shù)形式§2.3.5能量方程的物質導數(shù)形式在能量方程中，引入了另外一個未知的流場變量?，F(xiàn)在有三個方程，即連續(xù)方程，動量方程和能量方程，但它們包含了四個獨立的變量：。引入如下兩個方程可以使系統(tǒng)封閉：§

2.3.6方程組封閉的條件在能量方程中，引入了另外一個未知的流場變量?，F(xiàn)在有§2.4方程的基本解法§

2.4.1方程的解析解§

2.4.2方程的數(shù)值解—CFD§2.4方程的基本解法§2.4.1方程的解析解§方程的解析解空氣動力學中的三大控制方程，都是高度非線性偏微分方程或積分方程，目前為止還沒有解析解。但是針對某些應用空氣動力學問題，可以對控制方程進行一定程度的簡化和近似，從而得到簡化方程的解析解。

理論空氣動力學的發(fā)展過程就是在應用過程中對所有的控制方程進行適當簡化，并獲得其解析解的過程?！?/p>

2.4.1方程的解析解方程的解析解§2.4.1方程的解析解解析解的優(yōu)點：求解解析解的過程可以使我們更加的熟悉這些氣動問題的物理本質。封閉形式的解直觀的告訴我們哪些變量對流動的影響非常重要，而且可以知道這些變量增大或者減小時，會對流場產(chǎn)生什么樣的影響。最后，這些封閉形式的解為快速計算提供了簡單的工具。這在設計的初始階段尤為重要。

解析解的優(yōu)點：計算流體力學（CFD)是用代數(shù)離散的方式代替方程中的積分或者微分，最終求解出給定空間和時間離散點上的流場變量值的一種方法。CFD的優(yōu)點：不做任何幾何近似，也可以處理完全非線形的連續(xù)方程，動量方程和能量方程。正因為如此，許多以前不能求解的空氣動力學的復雜流動，都可以用CFD的方法來解決。

§

2.4.2方程的數(shù)值解－CFD計算流體力學（CFD)是用代數(shù)離散的方式代替方程中的積分或者§2.5微團運動分析§

2.5.1跡線、流線§

2.5.2角速度、旋度和角變形率

§

2.5.3流函數(shù)、速度位§2.5微團運動分析§2.5.1跡線、流線§2.跡線：流體微團在流場中的運動軌跡?！?/p>

2.5.1跡線、流線跡線：流體微團在流場中的運動軌跡?！?.5.1跡線、流線流線：流場中的一條曲線，線上各點的切向和該點的速度方向相同。如果流動是非定常的，由于速度矢量的大小和方向隨時間變化而變化，所以不同時刻的流線形式也不相同。流線：流場中的一條曲線，線上各點的切向和該點的速度方向相同。一般地說，流線和跡線是不重合。對定常流,流場中給定點的速度矢量的大小和方向都是不隨時間變化。因此經(jīng)過流場中同一點的不同微元，其跡線相同；還有，跡線和流線也重合。因此在定常流動中，流線和跡線是沒有任何區(qū)別；他們是相同的空間曲線一般地說，流線和跡線是不重合。對定常流,流場中給定點的速度矢如何求流線方程如上頁圖中表示的流線是空間曲線,用表示。設是流線上的一個微段。點2處的速度和平行。因此，由矢量叉乘的定義得流線方程為：笛卡爾坐標系下流線方程的微分形式：如何求流線方程如上頁圖中表示的流線是空間曲線,用在三維空間，在流場中取一條不為流線的封閉曲線，經(jīng)過曲線上每一點作流線，所有這些流線集合構成的管狀曲面被稱為流管，如右圖。由于流管由流線組成，因此流體不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬時，流場中的流管類似真實的固體管壁。流管在三維空間，在流場中取一條不為流線的封閉曲線，經(jīng)過曲線上每一§

2.5.2角速度、旋度和角變形率流場中的流體微團,當它沿著流線做平移運動的同時，還可能旋轉、變形運動。

微團旋轉和變形量取決于速度場，本節(jié)的目的就是用速度場量化分析微元的旋轉和變形運動。

§2.5.2角速度、旋度和角變形率流場中的流分析用圖考慮xy平面內的二維流動。取流場中的一個微元體。假設在時刻，流體微元是矩形。其在時刻的位置和形狀如下圖。AB和AC分別旋轉的角位移是。

分析用圖考慮xy平面內的二維流動。取流場中的一個角速度定義邊AB、AC的角速度為：定義流體微團角速度為邊AB和AC角速度的平均，并記為，則有：三維空間流體微團的角速度：角速度定義邊AB、AC的角速度為：旋度旋度：定義為旋轉角速度的兩倍，記為。1）如果在流動中處處成立，流動稱為有旋流動。這表明流體微團在流動過程中具有一定的旋轉角速度。2）如果在流場中處處成立，流動稱為無旋流動。這表明流體微團沒有角速度，在空間作純粹的平移運動。3）二維無旋流動條件：旋度旋度：定義為旋轉角速度的兩倍，記為。角變形率角變形率：設AB和AC之間的夾角為。在時間內，發(fā)生變化。角變形率定義為：笛卡爾坐標系下角變形率表達式：角變形率角變形率：設AB和AC之間的夾角為。在時間2.5.3流函數(shù)、速度位流函數(shù)對于二維不可壓流，連續(xù)方程為：所以是某個函數(shù)的全微分：又故有函數(shù)稱為流函數(shù)，為一條流線。2.5.3流函數(shù)、速度位流函數(shù)速度位對無旋流動：如果是個標量函數(shù)，那么：對比上面兩方程，有：于是對于無旋流動，存在一個標量函數(shù)，使得的梯度等于速度，稱為速度位。根據(jù)梯度和速度位定義有：速度位流函數(shù)和速度位的區(qū)別：1）流場速度可通過對在速度方向微分得到；而對在速度的法向求導得到速度。2）速度位是在無旋條件下定義的。而流函數(shù)不管流動有旋還是無旋，都存在。3）速度位適用于三維流動，流函數(shù)只在二維情形存在。流函數(shù)和速度位的區(qū)別：流函數(shù)和速度位的關系：取速度位的梯度和流函數(shù)的梯度的點積，有：所以等位線和流線正交流函數(shù)和速度位的關系：