1.3向量的乘積運(yùn)算

(VectorProduction)與數(shù)量的乘積不同的是,向量的乘積運(yùn)算有向量的內(nèi)積、向量的外積、三向量的混合積等多種形式.在學(xué)習(xí)中要注意它們與數(shù)量乘積運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系,以及向量的幾種乘積運(yùn)算之間的關(guān)系.1.3.1向量的內(nèi)積(InnerProductofVector)1)向量?jī)?nèi)積的定義在物理學(xué)中,一個(gè)物體在常力F作用下沿直線移動(dòng)的位移為S,則力F所做的功1.3向量的乘積運(yùn)算

(VectorProduct1其中

為F與S的夾角.這里的功W是由向量F和S按上式確

定的一個(gè)數(shù)量.在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)也會(huì)遇到這樣的情況.定義兩個(gè)向量a和b的模與它們夾角余弦的乘積,稱為向量a和b的內(nèi)積(也稱數(shù)量積、點(diǎn)積、數(shù)積等),記作a·b或ab,即注意：兩向量的內(nèi)積是一個(gè)數(shù)量.其中為F與S的夾角.這里的功W是由向量F和S按上式確22)向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)

由內(nèi)積的定義可以得到以下結(jié)論：

(1)(內(nèi)積的幾何意義)

,特別地,若e為單位向量,則

；

(2)(模長(zhǎng)公式)

；這是因?yàn)閵A角

,所以

(3)(向量垂直條件)兩個(gè)非零向量a,b相互垂直的充要條件是

.這是因?yàn)槿绻?/p>

,由于

,

,所以

,從而

即

;反之,如果

,那么

,于是有

由此推出

2)向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)3兩個(gè)向量的內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律

；根據(jù)定義有而，且所以

.(2)分配律

；因?yàn)楫?dāng)時(shí),上式顯然成立;當(dāng)時(shí),有由射影性質(zhì),可知所以(3)數(shù)乘結(jié)合律這是因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí),上式顯然成立;當(dāng)時(shí),按射影性質(zhì),可得

兩個(gè)向量的內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：4

根據(jù)向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算規(guī)律,可以得出如下結(jié)論：向量的內(nèi)

積運(yùn)算,可以像代數(shù)多項(xiàng)式一樣展開(kāi).

要注意向量的內(nèi)積不滿足消去律,即

a·b＝a·c,a≠0不能得出b＝c,

特別地,a·b＝0不能得出a＝0或b＝0.

此外,向量的內(nèi)積不存在結(jié)合律,即a·b·c無(wú)意義.

例1(1)(a+b)(a-b)=a·a-a·b+a·b-b·b=a2-b2;

(2)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2a·b+b2;

(3)(2a+b-c)(3a-2b+2c)

=6a2-4a·b+4a·c+3a·b-2b2+2b·c-3c·a+2c·b-2c2

=6a2-2b2-2c2-a·b+a·c+4b·c.根據(jù)向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算規(guī)律,可以得出如下結(jié)53)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算下面在直角坐標(biāo)系下,推導(dǎo)兩個(gè)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示式.設(shè)

,根據(jù)內(nèi)積的運(yùn)算規(guī)律可得

這就是兩個(gè)向量的內(nèi)積的坐標(biāo)表示式.即兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.根據(jù)內(nèi)積的定義,可以給出兩個(gè)非零向量的夾角公式：

cosθ=由此公式可以看出,兩個(gè)向量垂直的充要條件是.

3)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算64)向量?jī)?nèi)積的基本應(yīng)用由上面的討論可知,向量的內(nèi)積有以下三個(gè)方面的基本應(yīng)用：求長(zhǎng)度(模長(zhǎng)公式、距離公式);求角度(夾角公式);證明垂直問(wèn)題(垂直條件).例2證明平行四邊形對(duì)角線的平方和等于它各邊的平方和.證明如圖,在平行四邊形OABC中,設(shè)兩邊,對(duì)角線,則,于是

所以 即 4)向量?jī)?nèi)積的基本應(yīng)用7例3試確定λ的值,使a=(λ,-3,2)與b=(1,2,-λ)相互垂直.解

例4已知,求證是直角三角形,并求∠B.證明如圖,,,，(1)因?yàn)樗浴?即是直角三角形.(2)因?yàn)樗浴螧.例3試確定λ的值,使a=(λ,-3,2)與b=(81.3.2向量的外積

(ExteriorProductofVector)1)向量外積的定義

物理學(xué)中,在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí),不但要考慮物體所受

到的力,還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩.設(shè)O為一根杠桿的支點(diǎn),如果有一個(gè)力F作用于這杠桿的點(diǎn)A處,

(如圖),r和F

的夾角為θ,那么力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量m,它的模而向量m的方向垂直于r和F確定的平面,

而且遵循右手規(guī)則,即由轉(zhuǎn)至?xí)r拇指的指向.從這種由兩個(gè)已知向量按照上面的規(guī)則來(lái)確定另一個(gè)向量的情況中可以抽象出兩個(gè)向量的外積的概念.

1.3.2向量的外積

(Exterior9

定義兩向量a和b的外積(也稱向量積、叉積、矢量積等)

是一個(gè)向量,記作

.(1)

的模：

，

；(2)

的方向：與a,b都垂直,并且按a,b,

的順序構(gòu)

成右手系(如圖).定義兩向量a和b的外積(也稱向量積、叉積10

2)向量外積的性質(zhì)

由兩向量的外積定義可得：(1)aa=0；因?yàn)閵A角

,所以

.

(2)(向量共線條件)兩個(gè)非零向量a∥b的充要條件是ab=0；

因?yàn)槿绻鸻b=0,由于

,

,故必有

,于是

或

,即a∥b;反之,如果a∥b,那么

或

于是

,從而

即ab=0.

(3)(外積的幾何意義)兩向量a,b的外積ab的模的幾何意義是:|ab|等于以a,b為邊的平行四邊形的面積,即

.2)向量外積的性質(zhì)11

兩向量的外積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)反交換律

；按右手規(guī)則從b轉(zhuǎn)向a定出的方向恰好與按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b定出的方向相反.它表明交換律對(duì)外積不成立.(2)分配律

；(3)數(shù)乘結(jié)合律

.這兩個(gè)規(guī)律的證明從略,讀者自證.特別地,有兩向量的外積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：12

根據(jù)向量外積的運(yùn)算規(guī)律,亦可得到如下結(jié)論：向量的外積運(yùn)算,也可以像代數(shù)多項(xiàng)式一樣展開(kāi),但要注意乘積因子的次序.向量的外積也不滿足消去律,即

推不出,

特別地,不能得到a＝0或b＝0.

此外,向量的外積不滿足結(jié)合律,即

.

例5(1)(a-b)×(a+b)=a×a+a×b-b×a-b×b=2(a×b);(2)(3a+2b)×(a-2b+c)=3a×a-6a×b+3a×c+2b×a-4b×b+2b×c=-8a×b+3a×c+2b×c.

根據(jù)向量外積的運(yùn)算規(guī)律,亦可得到如下結(jié)論：13

3)向量外積的坐標(biāo)運(yùn)算

下面在直角坐標(biāo)系下,推導(dǎo)兩向量的外積的坐標(biāo)表示式.設(shè)根據(jù)外積的運(yùn)算規(guī)律可得利用三階行列式,得 3)向量外積的坐標(biāo)運(yùn)算14

4)向量外積的基本應(yīng)用

由上面的討論可知,向量的外積有以下三個(gè)方面的基本應(yīng)用：

求面積(平行四邊形面積：=|a×b|,三角形面積：);

求垂直向量(已知a,b求與a,b都垂直的向量：);

證明平行問(wèn)題(平行條件：a

b).

例6已知,求,及其同向單位向量.

解

4)向量外積的基本應(yīng)用15

例7已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),試求(1)的面積；(2)中AB邊上的高.

解(1)如圖，的面積=ABCD的面積=.故

16

所以的面積.

(2)因?yàn)?/p>

中AB邊上的高CH即□ABCD的AB邊上的高,

所以

又因?yàn)?/p>

,

所以

.所以的面積171.3.3

三向量的混合積

(ScalarTripleProduct)

兩個(gè)向量a,b的外積

仍是一個(gè)向量,這個(gè)向量還可以與第

三個(gè)向量c再作內(nèi)積或外積.作內(nèi)積的結(jié)果得到的是一個(gè)數(shù)量

,即本節(jié)即將要討論的三向量的混合積.作外積的結(jié)果仍是一個(gè)向量

,這就是下一節(jié)要討論的二重外積.1)向量混合積的定義

定義

已知空間三向量a,b,c,如果先作向量a和b的外積

,再作所得向量與第三向量c的內(nèi)積

,這樣得到的數(shù)量稱為三向量a,b,c的混合積,記作(a,b,c)或(abc).

1.3.3三向量的混合積

(Scalar18

事實(shí)上,按外積的定義,是一個(gè)向量,它的模在數(shù)值上等于以向量a和b為邊所作平行四邊形的面積,它的方向垂直于這個(gè)平行四邊形的平面.當(dāng)a,b,c,組成右手系時(shí),向量與向量c

朝著這平面的同側(cè)(如圖);當(dāng)a,b,c,組成左手系時(shí),向量與向量c朝著這平面的異側(cè).所以,如設(shè)與c的夾角為,那么當(dāng)

a,b,c組成右手系時(shí),為銳角;當(dāng)a,b,c,組成左手系時(shí),為鈍角;由于,所以當(dāng)a,b,c組成右手系時(shí),(a,b,c)為正;當(dāng)a,b,c,組成左手系時(shí),(a,b,c)為負(fù).事實(shí)上,按外積的定義,19

2)混合積的性質(zhì)

由于以向量a,b,c為棱的平行六面體的底的面積在數(shù)值上等于,它的高h(yuǎn)等于向量c在向量上的射影的絕對(duì)值,即

所以平行六面體的體積為.

因此,由以上描述可以得到,三向量的混合積具有下述幾何意義：(1)(幾何意義)不共面的三向量a,b,c的混合積的絕對(duì)值等于

以a,b,c為棱的平行六面體的體積V,即.

并且當(dāng)a,b,c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a,b,c構(gòu)成左手系時(shí)

混合積是負(fù)數(shù).因此,混合積也稱有向體積.

(2)(共面條件)三向量a,b,c共面的充要條件是(a,b,c)=0.特別

地,

,

.2)混合積的性質(zhì)20混合積具有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①因子輪換,其值不變：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b).

②對(duì)調(diào)兩個(gè),其值變號(hào)：(a,b,c)=-(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b).

推論：(a,b,c)=

(a×b)·c=a·(b×c).

例8三個(gè)向量a,b,c滿足a×b+b×c+c×a=0,證明a,b,c共面.

證明等式兩端與a作內(nèi)積得

(a,a,b)+(a,b,c)+(a,c,a)=0.

但是(a,a,b)=0,(a,c,a)=0,所以(a,b,c)=0.故a,b,c共面.

例9設(shè)a,b,c為三個(gè)不共面向量,求關(guān)于a,b,c的分解式.

解因?yàn)閍,b,c不共面,設(shè)：d=xa+yb+zc下面確定系數(shù)x,y,z的值,等式兩端分別與b×c作內(nèi)積得(d,b,c)=x(a,b,c)+y(b,b,c)+z(c,b,c).

混合積具有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①因子輪換,其值不變：(a21

由于a,b,c不共面,故(a,b,c)≠0,由上式解得

x=(d,b,c)/(a,b,c);同理可得:y=(a,d,c)/(a,b,c);z=(a,b,d)/(a,b,c).(克萊姆法則)

3)混合積的坐標(biāo)運(yùn)算下面在直角坐標(biāo)系下,討論三向量混合積的坐標(biāo)表示式.設(shè)因?yàn)?/p>

再根據(jù)向量的內(nèi)積的坐標(biāo)表示式,得由于a,b,c不共面,故(a,b,c)≠0,由上224)混合積的應(yīng)用由上面的討論可知,向量的混合積有以下兩個(gè)方面的基本應(yīng)用：求體積(平行六面體:

,四面體:

);證明共面問(wèn)題(共面條件:

).

例10求以三向量

為棱的平行六面體體積V.

解

由混合積的幾何意義得：4)混合積的應(yīng)用23

例11求頂點(diǎn)為A(3,1,2),B(0,1,3),C(2,3,-1),D(4,3,2)的四面體體積和從點(diǎn)D所引的高的長(zhǎng).

解

(1)

,

(2)

例11求頂點(diǎn)為A(3,1,2),B(0,1,324*1.3.4二重外積

(Double

ExteriorProduct)1)二重外積的定義定義

給定三個(gè)空間向量,先作其中兩個(gè)向量的外積,再作所得向量與第三個(gè)向量的外積,所得的結(jié)果仍然是一個(gè)向量,這個(gè)向量就稱為所給三個(gè)向量的二重外積(又稱為二重向量積、二重叉積或二重矢積).例如就是三個(gè)向量a,b,c的一個(gè)二重外積.2)二重外積的性質(zhì)首先可以確定：是和a,b共面且垂直于c的向量.根據(jù)向量外積的定義,即知與向量c垂直,并且與垂直,而a,b也與垂直,所以和a,b共面.

*1.3.4二重外積

(DoubleExt25二重外積的上述幾何關(guān)系可以概括為下面的定理：定理1對(duì)于所給的三個(gè)向量a,b,c有（1）證明如果a,b,c中有一為零向量,或a與b共線,或c與a,b都垂直,那么(1)兩邊都為零向量,定理顯然成立.現(xiàn)在設(shè)a,b,c為三個(gè)非零向量,且a與b不共線,為了證明這時(shí)(1)也成立,先證明(1)中當(dāng)c=a時(shí)成立,即有(2)由于共面,而a與b不共線,從而可設(shè)上式兩邊先后與a,b作內(nèi)積得二重外積的上述幾何關(guān)系可以概括為下面的定理：26

又因?yàn)樗?/p>

.由此得

,將

代回即得(2).

下面證明(1)成立.因?yàn)槿蛄縜,b,不共面,所以對(duì)于空間的任意向量c,總有,從而有利用(2)式可得

27即(1)成立,定理證畢.必須指出,在一般情況下這是因?yàn)?3)比較(1)和(3)可知,和在一般情況下是兩個(gè)不同的向量,因此二重外積不滿足結(jié)合律.即(1)成立,定理證畢.28

公式(1)和(3)有共同的易于記憶的規(guī)律：三向量的二重外積等于中間的向量與其余兩向量的內(nèi)積的乘積減去括號(hào)中另一個(gè)向量與其余向量的內(nèi)積的乘積.

利用公式(1)可以證明拉格朗日(Lagrange)恒等式:由上節(jié)中混合積的運(yùn)算性質(zhì)的推論(a,b,c)=

=a·(b×c)和(1)式可得即得證.拉格朗日恒等式的一個(gè)特殊情況是公式(1)和(3)有共同的易于記憶的規(guī)律：三向29

例12試證

證明因?yàn)?/p>

三式相加得

例13

證明

證

(1)設(shè),于是例12試證30

(2)End(2)End311.3向量的乘積運(yùn)算

(VectorProduction)與數(shù)量的乘積不同的是,向量的乘積運(yùn)算有向量的內(nèi)積、向量的外積、三向量的混合積等多種形式.在學(xué)習(xí)中要注意它們與數(shù)量乘積運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系,以及向量的幾種乘積運(yùn)算之間的關(guān)系.1.3.1向量的內(nèi)積(InnerProductofVector)1)向量?jī)?nèi)積的定義在物理學(xué)中,一個(gè)物體在常力F作用下沿直線移動(dòng)的位移為S,則力F所做的功1.3向量的乘積運(yùn)算

(VectorProduct32其中

為F與S的夾角.這里的功W是由向量F和S按上式確

定的一個(gè)數(shù)量.在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)也會(huì)遇到這樣的情況.定義兩個(gè)向量a和b的模與它們夾角余弦的乘積,稱為向量a和b的內(nèi)積(也稱數(shù)量積、點(diǎn)積、數(shù)積等),記作a·b或ab,即注意：兩向量的內(nèi)積是一個(gè)數(shù)量.其中為F與S的夾角.這里的功W是由向量F和S按上式確332)向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)

由內(nèi)積的定義可以得到以下結(jié)論：

(1)(內(nèi)積的幾何意義)

,特別地,若e為單位向量,則

；

(2)(模長(zhǎng)公式)

；這是因?yàn)閵A角

,所以

(3)(向量垂直條件)兩個(gè)非零向量a,b相互垂直的充要條件是

.這是因?yàn)槿绻?/p>

,由于

,

,所以

,從而

即

;反之,如果

,那么

,于是有

由此推出

2)向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)34兩個(gè)向量的內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律

；根據(jù)定義有而，且所以

.(2)分配律

；因?yàn)楫?dāng)時(shí),上式顯然成立;當(dāng)時(shí),有由射影性質(zhì),可知所以(3)數(shù)乘結(jié)合律這是因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí),上式顯然成立;當(dāng)時(shí),按射影性質(zhì),可得

兩個(gè)向量的內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：35

根據(jù)向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算規(guī)律,可以得出如下結(jié)論：向量的內(nèi)

積運(yùn)算,可以像代數(shù)多項(xiàng)式一樣展開(kāi).

要注意向量的內(nèi)積不滿足消去律,即

a·b＝a·c,a≠0不能得出b＝c,

特別地,a·b＝0不能得出a＝0或b＝0.

此外,向量的內(nèi)積不存在結(jié)合律,即a·b·c無(wú)意義.

例1(1)(a+b)(a-b)=a·a-a·b+a·b-b·b=a2-b2;

(2)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2a·b+b2;

(3)(2a+b-c)(3a-2b+2c)

=6a2-4a·b+4a·c+3a·b-2b2+2b·c-3c·a+2c·b-2c2

=6a2-2b2-2c2-a·b+a·c+4b·c.根據(jù)向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算規(guī)律,可以得出如下結(jié)363)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算下面在直角坐標(biāo)系下,推導(dǎo)兩個(gè)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示式.設(shè)

,根據(jù)內(nèi)積的運(yùn)算規(guī)律可得

這就是兩個(gè)向量的內(nèi)積的坐標(biāo)表示式.即兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.根據(jù)內(nèi)積的定義,可以給出兩個(gè)非零向量的夾角公式：

cosθ=由此公式可以看出,兩個(gè)向量垂直的充要條件是.

3)向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算374)向量?jī)?nèi)積的基本應(yīng)用由上面的討論可知,向量的內(nèi)積有以下三個(gè)方面的基本應(yīng)用：求長(zhǎng)度(模長(zhǎng)公式、距離公式);求角度(夾角公式);證明垂直問(wèn)題(垂直條件).例2證明平行四邊形對(duì)角線的平方和等于它各邊的平方和.證明如圖,在平行四邊形OABC中,設(shè)兩邊,對(duì)角線,則,于是

所以 即 4)向量?jī)?nèi)積的基本應(yīng)用38例3試確定λ的值,使a=(λ,-3,2)與b=(1,2,-λ)相互垂直.解

例4已知,求證是直角三角形,并求∠B.證明如圖,,,，(1)因?yàn)樗浴?即是直角三角形.(2)因?yàn)樗浴螧.例3試確定λ的值,使a=(λ,-3,2)與b=(391.3.2向量的外積

(ExteriorProductofVector)1)向量外積的定義

物理學(xué)中,在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí),不但要考慮物體所受

到的力,還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩.設(shè)O為一根杠桿的支點(diǎn),如果有一個(gè)力F作用于這杠桿的點(diǎn)A處,

(如圖),r和F

的夾角為θ,那么力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量m,它的模而向量m的方向垂直于r和F確定的平面,

而且遵循右手規(guī)則,即由轉(zhuǎn)至?xí)r拇指的指向.從這種由兩個(gè)已知向量按照上面的規(guī)則來(lái)確定另一個(gè)向量的情況中可以抽象出兩個(gè)向量的外積的概念.

1.3.2向量的外積

(Exterior40

定義兩向量a和b的外積(也稱向量積、叉積、矢量積等)

是一個(gè)向量,記作

.(1)

的模：

，

；(2)

的方向：與a,b都垂直,并且按a,b,

的順序構(gòu)

成右手系(如圖).定義兩向量a和b的外積(也稱向量積、叉積41

2)向量外積的性質(zhì)

由兩向量的外積定義可得：(1)aa=0；因?yàn)閵A角

,所以

.

(2)(向量共線條件)兩個(gè)非零向量a∥b的充要條件是ab=0；

因?yàn)槿绻鸻b=0,由于

,

,故必有

,于是

或

,即a∥b;反之,如果a∥b,那么

或

于是

,從而

即ab=0.

(3)(外積的幾何意義)兩向量a,b的外積ab的模的幾何意義是:|ab|等于以a,b為邊的平行四邊形的面積,即

.2)向量外積的性質(zhì)42

兩向量的外積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)反交換律

；按右手規(guī)則從b轉(zhuǎn)向a定出的方向恰好與按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b定出的方向相反.它表明交換律對(duì)外積不成立.(2)分配律

；(3)數(shù)乘結(jié)合律

.這兩個(gè)規(guī)律的證明從略,讀者自證.特別地,有兩向量的外積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：43

根據(jù)向量外積的運(yùn)算規(guī)律,亦可得到如下結(jié)論：向量的外積運(yùn)算,也可以像代數(shù)多項(xiàng)式一樣展開(kāi),但要注意乘積因子的次序.向量的外積也不滿足消去律,即

推不出,

特別地,不能得到a＝0或b＝0.

此外,向量的外積不滿足結(jié)合律,即

.

例5(1)(a-b)×(a+b)=a×a+a×b-b×a-b×b=2(a×b);(2)(3a+2b)×(a-2b+c)=3a×a-6a×b+3a×c+2b×a-4b×b+2b×c=-8a×b+3a×c+2b×c.

根據(jù)向量外積的運(yùn)算規(guī)律,亦可得到如下結(jié)論：44

3)向量外積的坐標(biāo)運(yùn)算

下面在直角坐標(biāo)系下,推導(dǎo)兩向量的外積的坐標(biāo)表示式.設(shè)根據(jù)外積的運(yùn)算規(guī)律可得利用三階行列式,得 3)向量外積的坐標(biāo)運(yùn)算45

4)向量外積的基本應(yīng)用

由上面的討論可知,向量的外積有以下三個(gè)方面的基本應(yīng)用：

求面積(平行四邊形面積：=|a×b|,三角形面積：);

求垂直向量(已知a,b求與a,b都垂直的向量：);

證明平行問(wèn)題(平行條件：a

b).

例6已知,求,及其同向單位向量.

解

4)向量外積的基本應(yīng)用46

例7已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),試求(1)的面積；(2)中AB邊上的高.

解(1)如圖，的面積=ABCD的面積=.故

47

所以的面積.

(2)因?yàn)?/p>

中AB邊上的高CH即□ABCD的AB邊上的高,

所以

又因?yàn)?/p>

,

所以

.所以的面積481.3.3

三向量的混合積

(ScalarTripleProduct)

兩個(gè)向量a,b的外積

仍是一個(gè)向量,這個(gè)向量還可以與第

三個(gè)向量c再作內(nèi)積或外積.作內(nèi)積的結(jié)果得到的是一個(gè)數(shù)量

,即本節(jié)即將要討論的三向量的混合積.作外積的結(jié)果仍是一個(gè)向量

,這就是下一節(jié)要討論的二重外積.1)向量混合積的定義

定義

已知空間三向量a,b,c,如果先作向量a和b的外積

,再作所得向量與第三向量c的內(nèi)積

,這樣得到的數(shù)量稱為三向量a,b,c的混合積,記作(a,b,c)或(abc).

1.3.3三向量的混合積

(Scalar49

事實(shí)上,按外積的定義,是一個(gè)向量,它的模在數(shù)值上等于以向量a和b為邊所作平行四邊形的面積,它的方向垂直于這個(gè)平行四邊形的平面.當(dāng)a,b,c,組成右手系時(shí),向量與向量c

朝著這平面的同側(cè)(如圖);當(dāng)a,b,c,組成左手系時(shí),向量與向量c朝著這平面的異側(cè).所以,如設(shè)與c的夾角為,那么當(dāng)

a,b,c組成右手系時(shí),為銳角;當(dāng)a,b,c,組成左手系時(shí),為鈍角;由于,所以當(dāng)a,b,c組成右手系時(shí),(a,b,c)為正;當(dāng)a,b,c,組成左手系時(shí),(a,b,c)為負(fù).事實(shí)上,按外積的定義,50

2)混合積的性質(zhì)

由于以向量a,b,c為棱的平行六面體的底的面積在數(shù)值上等于,它的高h(yuǎn)等于向量c在向量上的射影的絕對(duì)值,即

所以平行六面體的體積為.

因此,由以上描述可以得到,三向量的混合積具有下述幾何意義：(1)(幾何意義)不共面的三向量a,b,c的混合積的絕對(duì)值等于

以a,b,c為棱的平行六面體的體積V,即.

并且當(dāng)a,b,c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a,b,c構(gòu)成左手系時(shí)

混合積是負(fù)數(shù).因此,混合積也稱有向體積.

(2)(共面條件)三向量a,b,c共面的充要條件是(a,b,c)=0.特別

地,

,

.2)混合積的性質(zhì)51混合積具有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①因子輪換,其值不變：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b).

②對(duì)調(diào)兩個(gè),其值變號(hào)：(a,b,c)=-(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b).

推論：(a,b,c)=

(a×b)·c=a·(b×c).

例8三個(gè)向量a,b,c滿足a×b+b×c+c×a=0,證明a,b,c共面.

證明等式兩端與a作內(nèi)積得

(a,a,b)+(a,b,c)+(a,c,a)=0.

但是(a,a,b)=0,(a,c,a)=0,所以(a,b,c)=0.故a,b,c共面.

例9設(shè)a,b,c為三個(gè)不共面向量,求關(guān)于a,b,c的分解式.

解因?yàn)閍,b,c不共面,設(shè)：d=xa+yb+zc下面確定系數(shù)x,y,z的值,等式兩端分別與b×c作內(nèi)積得(d,b,c)=x(a,b,c)+y(b,b,c)+z(c,b,c).

混合積具有下面的運(yùn)算性質(zhì)：①因子輪換,其值不變：(a52

由于a,b,c不共面,故(a,b,c)≠0,由上式解得

x=(d,b,c)/(a,b,c);同理可得:y=(a,d,c)/(a,b,c);z=(a,b,d)/(a,b,c).(克萊姆法則)

3)混合積的坐標(biāo)運(yùn)算下面在直角坐標(biāo)系下,討論三向量混合積的坐標(biāo)表示式.設(shè)因?yàn)?/p>

再根據(jù)向量的內(nèi)積的坐標(biāo)表示式,得由于a,b,c不共面,故(a,b,c)≠0,由上534)混合積的應(yīng)用由上面的討論可知,向量的混合積有以下兩個(gè)方面的基本應(yīng)用：求體積(平行六面體:

,四面體:

);證明共面問(wèn)題(共面條件:

).

例10求以三向量

為棱的平行六面體體積V.

解

由混合積的幾何意