專題4.1指數(shù)一、考情分析二、考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))考點(diǎn)二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.考點(diǎn)三指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

三、題型突破(一)根式化簡(jiǎn)例1、（1）、（2019·江蘇·南通一中高一月考）計(jì)算的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同底數(shù)冪運(yùn)算法則完成計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，故選C【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的計(jì)算，難度較易.一般有：，.（2）．（2021·上海高一專題練習(xí)）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知,進(jìn)而根據(jù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選:B.【變式訓(xùn)練1-1】．（2021·上海高一專題練習(xí)）下列各式中成立的一項(xiàng)（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.故選：D.【變式訓(xùn)練1-2】．（2020·浙江杭州·高一期末）根式（式中）的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，先將根式中的部分化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再化整體即可.【詳解】解：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化、指數(shù)的運(yùn)算法則，屬基礎(chǔ)題.(二)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化例2、（1）、（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為（）A． B． C． D．a(chǎn)【答案】A【分析】利用根式運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】依題意.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根式運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.（2）．（2021·江蘇省如東高級(jí)中學(xué)高一月考）已知，，化簡(jiǎn)得（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根式和實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即得解【詳解】由題意：，故選：B【變式訓(xùn)練2-1】．（2020·臺(tái)州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）求值①=___________；②=___________.【答案】【分析】由指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算法則細(xì)心計(jì)算即可得解.【詳解】由題意，；.故答案為：；.【變式訓(xùn)練2-2】．（2021·福建高二月考）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】.故選：C(三)多重根式化簡(jiǎn)例3、（1）（2020·上海高一專題練習(xí)）的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為_(kāi)___________【答案】【分析】本題可通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化得出結(jié)果.【詳解】，故答案為：.（2）．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）將化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化以及指數(shù)的運(yùn)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】＝＝＝＝＝.故選：D【變式訓(xùn)練3-1】．（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）可以化簡(jiǎn)成（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)冪和根式的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：，故選：B．【變式訓(xùn)練3-2】．（2021·上海市西南位育中學(xué)高一期末）已知，則___________.【答案】【分析】利用根式與指數(shù)冪的運(yùn)算可求得的值.【詳解】，則，因此，.故答案為：.【變式訓(xùn)練3-3】．（2020·上海市洋涇中學(xué)高一期中）化簡(jiǎn)______.【答案】【分析】將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：(四)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化例4、（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)求值:（1）；（2）-2-4π0÷.【答案】（1）81；（2）.【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的運(yùn)算，化簡(jiǎn)可得答案；（2）由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式的運(yùn)算，化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】（1）==2-1+8+=2-1+8+89=81.（2）-2-4π0÷=+10-2-4=+10-2-3=+10-6-3=.【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練4-1】．（2020·浙江高一期末）化簡(jiǎn)或求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.（2）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）；（2）原式.(五)利用整體代換思想求值例5、．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，求：（1）；（2）．【答案】（1）18；（2）．【分析】(1)將條件等式平方即可求解；(2)將問(wèn)題平方，然后借助第一問(wèn)的結(jié)果即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，所以；?）由（1）知，因?yàn)?，所以，所以．【變式?xùn)練5-1】．（2020·浙江）已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）3.【分析】（1）將兩邊平方求解.（2）由（1）知，兩邊平方求解.（3）根據(jù)，然后將和的值代入求解.【詳解】（1）將兩邊平方，得，即.（2）由（1）知，兩邊平方得，∴.（3）∵，，而，∴原式.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)運(yùn)算，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練5-2】．（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）已知(a>0)，求下列各式的值:（1）a+a-1；（2）a2+a-2；（3）a2-a-2.【答案】（1）3；（2）7；（3）.【分析】（1）將兩邊平方求解.（2）由（1）知a+a-1=3，再兩邊平方求解.（3）設(shè)y=a2-a-2，兩邊平方，結(jié)合（2）求解.【詳解】（1）將兩邊平方，得a+a-1+2=5，即a+a-1=3.（2）由