機械模態(tài)分析理論基礎(chǔ)假設(shè)：系統(tǒng)是線性、定常與穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)線性：描述系統(tǒng)振動的微分方程為線性方程，其響應(yīng)對激勵具有疊加性;定常：振動系統(tǒng)的動態(tài)特性（如質(zhì)量、阻尼、剛度等）不隨時間變化，即具有頻率保持性;如系統(tǒng)受簡諧激勵-響應(yīng)的頻率必定與激勵一致。穩(wěn)定：系統(tǒng)對有限激勵必將產(chǎn)生一個有限響應(yīng)，即系統(tǒng)滿足傅氏變換和拉氏變換的條件。振動系統(tǒng)分類： 空間角度：離散（有限自由度）系統(tǒng)和連續(xù)（無限自由度）系統(tǒng) 時間角度：連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)連續(xù)模擬信號--離散數(shù)字信號研究步驟：（1）建立結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)模型（以質(zhì)量、阻尼、剛度為參數(shù)的關(guān)于位移的振動微分方程）（2）研究其特征值問題，求得特征值和特征矢量，得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)模型（模態(tài)頻率、模態(tài)矢量、模態(tài)阻尼比、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼、模態(tài)剛度等參數(shù)）。正則化，解耦。（3）通過研究受迫動力響應(yīng)問題，可得到系統(tǒng)的非參數(shù)模型（頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)）。頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)是試驗?zāi)B(tài)分析系統(tǒng)識別模態(tài)參數(shù)的基礎(chǔ)。根據(jù)阻尼模型的不同，分為： 無阻尼系統(tǒng)、比例阻尼系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)、粘性阻尼系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)的振動粘性阻尼系統(tǒng)的振動微分方程：自由振動：正則形式：其中：：衰減系數(shù)（衰減指數(shù)）；：無阻尼固有頻率（固有頻率）引入阻尼比（無量綱阻尼系數(shù)）：運動微分方程可寫成： 特解為：，為方程的特征值，因此： 為使系統(tǒng)有非零解，很顯然： 因此可得到的解為： 式中：成為阻尼固有頻率。當：>1（），過阻尼，系統(tǒng)不產(chǎn)生振動；當：=1（），過阻尼，系統(tǒng)不產(chǎn)生振動；當：<1（），過阻尼，系統(tǒng)不產(chǎn)生振動?？梢?，特征值實部代表系統(tǒng)的衰減系數(shù)；虛部代表系統(tǒng)的阻尼固有頻率。在振動理論中，特征值稱為復(fù)頻率。方程的通解（自由振動響應(yīng)）為：其中，A和取決于系統(tǒng)的初始條件。當t=0時，。 傳遞函數(shù)、頻響函數(shù)對于簡諧激勵：，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：h(t)單位脈沖外力下的響應(yīng)函數(shù)(簡稱為脈沖響應(yīng)函數(shù))，時域內(nèi)反映系統(tǒng)的動態(tài)特性： H(ω)機械導(dǎo)納，反映系統(tǒng)對不同頻率的激勵的傳遞放大特性，反映系統(tǒng)易受振動。頻域內(nèi)反映系統(tǒng)的動態(tài)特性 對于單自由度粘性阻尼振動系統(tǒng)，通過拉氏變換和傅氏變換可得到： 所以，位移頻響函數(shù)為： 速度頻響函數(shù)為：加速度頻響函數(shù)為：頻響函數(shù)的倒數(shù)成為阻抗。單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（簡稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)）：振動系統(tǒng)中單位脈沖力作用下的自由響應(yīng)。單位脈沖力是指：脈沖量為1，作用時間無限短的瞬時力：質(zhì)點受到單位脈沖力作用后獲得的動量為：，則自由振動的初始條件就為：可得到系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)：就是脈沖響應(yīng)函數(shù)。很容易證明頻響函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)是一對傅氏變換對： 簡諧激勵結(jié)構(gòu)在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是同頻率的簡諧振動。但有相位差。工程中，應(yīng)變常常是非常重要的，而且易于測量。應(yīng)變片體積小、質(zhì)量小、成分低，對試驗結(jié)構(gòu)影響很小。而且由應(yīng)變可計算得到應(yīng)力，工程中常常通過測量得到應(yīng)變模態(tài)。周期性激勵周期性激勵可通過傅立葉級數(shù)展開成各階諧波的疊加。響應(yīng)也是由對應(yīng)激勵的各階諧波頻率成分組成。瞬態(tài)激勵激勵和響應(yīng)都是非周期信號。但是對于絕對可積的函數(shù)，可應(yīng)用傅立葉變換得到激勵和響應(yīng)的頻率域函數(shù)：因此，隨機激勵為非確定性的激勵，無法用一個明確的函數(shù)來描述，不絕對可積，不能對激勵和響應(yīng)進行傅立葉變換，只能用概率統(tǒng)計的方法來處理。在時間域：相關(guān)函數(shù)在頻率域：功率譜密度函數(shù)很顯然，無法描述輸入和輸出的統(tǒng)計特性。做進一步推導(dǎo)：1）2）相干函數(shù)可以檢驗系統(tǒng)的非線性程度，如測量對象在某處聯(lián)接存在松動等非線性情況，系統(tǒng)非線性等。當輸入和輸出存在噪聲，也會使相干函數(shù)下降。輸入存在噪聲，會使估計的頻響函數(shù)偏?。惠敵龃嬖谠肼?，會使估計的頻響函數(shù)偏大；還可用下面一些估計方法：（3）模態(tài)試驗技術(shù) 1）工作模態(tài)：相同激勵，同時測量響應(yīng)。（未考慮激勵，無法量化） 2）自由模態(tài)：測量激勵和響應(yīng)。（單點激勵法、多點激勵法） 試驗系統(tǒng)：激勵裝置和激勵傳感器響應(yīng)傳感器分析處理 激勵方法：錘擊法作動器、激振器（正弦激勵、正弦掃描激勵、階躍松弛激勵、隨機激勵、白噪聲激勵）4、模態(tài)參數(shù)識別 （1）單自由度系統(tǒng)對于粘性阻尼系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為： 其中，頻率比實際金屬結(jié)構(gòu)，常常不完全能用粘性阻尼來描述衰減特性，實際結(jié)構(gòu)的阻尼主要來源于金屬材料本身的內(nèi)部摩擦（內(nèi)耗）及各部件連接界面（如螺釘、襯墊）相對滑移（干摩擦）。它們消耗的能量與振幅的平方成正比。其阻尼成為結(jié)構(gòu)阻尼。結(jié)構(gòu)阻尼產(chǎn)生的阻尼力：其中，：結(jié)構(gòu)阻尼比（損耗因子），引入結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)：。結(jié)構(gòu)阻尼力的大小與位移成正比，方向與速度相反的一種阻尼力。因此具有結(jié)構(gòu)阻尼特性的單自由度振動系統(tǒng)運動微分方程為： 是一個圓的方程。通過試驗可求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)，利用上述頻響函數(shù)的特征可以識別系統(tǒng)的特征參數(shù)：固有頻率、阻尼特性、模態(tài)振型等。（2）多自由度系統(tǒng)實際結(jié)構(gòu)一個連續(xù)體，是復(fù)雜無限自由度系統(tǒng)。絕大多數(shù)振動結(jié)構(gòu)可離散成為有限個自由度的多自由度系統(tǒng)。對于一個有n個自由度的振動系統(tǒng)，需用n個獨立的物理坐標來描述其物理參數(shù)模型。在線性范圍內(nèi)，物理坐標系的自由振動響應(yīng)為n個主振動的線性疊加。每個主振動都是一種特定形態(tài)的自由振動，振動頻率即為系統(tǒng)的主頻率（固有頻率），振動形態(tài)即為系統(tǒng)的主振型（模態(tài)或固有振型）。多自由度系統(tǒng)的慣性、彈性和阻尼都是耦合的，剛度和阻尼矩陣是非對角化的矩陣，很難求解！微分方程解耦（矩陣對角化）！求特征值和特征向量，在結(jié)構(gòu)中就是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化到模態(tài)坐標，使系統(tǒng)解耦。F:激勵向量；X:響應(yīng)向量。M、C、K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。拉氏變換：用替代s，進入傅氏域內(nèi)處理：對于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的任何一點的響應(yīng)均可以表示成各階模態(tài)響應(yīng)的線性組合：式中：為r階模態(tài)坐標；為l測點的r階模態(tài)振型系數(shù)。對于N個測點，各階振型系數(shù)可組成列向量，稱為r階模態(tài)振型。各階模態(tài)向量組成模態(tài)矩陣：物理意義：各階模態(tài)對響應(yīng)的貢獻量。，為模態(tài)坐標。對于無阻尼自由振動系統(tǒng)對于r階模態(tài)： 左乘，得到：對于s階模態(tài)： 右乘，得到：兩式相減，可以得到： 當r<>s時， 當r=s時， 令：， 分別稱為模態(tài)剛度和模態(tài)質(zhì)量。我們再引入比例阻尼和對應(yīng)的模態(tài)阻尼，因此有：用模態(tài)坐標替代物理坐標后，可見，剛度、質(zhì)量、阻尼矩陣都已經(jīng)對角化了，即解耦了。對應(yīng)r階有：模態(tài)試驗時，我們測得p點激勵，l點響應(yīng)： 模態(tài)力為： 由上面可得： 所以，l點和p點間的頻響函數(shù)： 令，為等效模態(tài)剛度 其中，為r階模態(tài)頻率比；為r階模態(tài)阻尼比。注意：上述討論適合無阻尼、比例阻尼，剛度矩陣和阻尼矩陣是對稱的，稱為實模態(tài)矩陣。對于小阻尼系統(tǒng)也還是適用的。而對于大阻尼系統(tǒng)，需要采用復(fù)模態(tài)來進行分析。6、模態(tài)參數(shù)識別的方法（1）頻域模態(tài)參數(shù)識別法：單模態(tài)識別法、多模態(tài)識別法 1）最小二乘導(dǎo)納圓擬合法（單模態(tài)） 2）差分法（單模態(tài)） 3）非線性加權(quán)最小二乘法（多模態(tài)） 4）直接偏導(dǎo)數(shù)法（多模態(tài)） 5）Levy法（多模態(tài)） 6）正交多項式擬合法 7）分區(qū)模態(tài)綜合法（2）時域模態(tài)參數(shù)識別法 1）隨機減量法 2）ITD法 3）最小二乘復(fù)指數(shù)法（LSCE） 4）ARMA時序分析法結(jié)構(gòu)動力修改 模態(tài)分析的目的是了解系統(tǒng)的動態(tài)特性。在已知結(jié)構(gòu)動態(tài)特性參數(shù)后，我們應(yīng)該尋求改進系統(tǒng)動態(tài)特性的方法。有兩種情況：由于制造和設(shè)計原因，不得不對現(xiàn)有結(jié)構(gòu)進行局部修改。如：共振？局部疲勞破壞？振動噪聲大異常等?是否可以根據(jù)目前系統(tǒng)來尋求結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，改進系統(tǒng)的動態(tài)特性！由于原結(jié)構(gòu)動態(tài)特性不理想，需要修改。如：要在系統(tǒng)中加/減一個附件？是否可以根據(jù)目前系統(tǒng)推知和預(yù)測修改后系統(tǒng)的模態(tài)特性參數(shù)！靈敏度分析對于結(jié)構(gòu)動態(tài)特性靈敏度分析，從靈敏度的基本概念出發(fā)：一階微分靈敏度：一階差分靈敏度：結(jié)構(gòu)動特性靈敏度是指：特征參數(shù)（特征值、特征向量）對結(jié)構(gòu)參數(shù)（質(zhì)量、剛度、阻尼）的改變率。也就是單位結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化產(chǎn)生的特征參數(shù)變化量。對于無阻尼模態(tài)系統(tǒng)：上式對參數(shù)pm求導(dǎo)：兩邊同乘以，簡化后可以得到：其中，pm可以是mij質(zhì)量或kij剛度物理參數(shù)。，i<>j*質(zhì)量增加使固有頻率降低！，i<>j*增加對地剛度，使固有頻率增加！從固有頻率的靈敏度計算公式可以得到：對某階固有頻率，該階模態(tài)振型中變形較大的部位是敏感部位，改變這些部位的物理參數(shù)，將獲得較大的固有頻率的改變。某部位的質(zhì)量或剛度的改變，對不同階模態(tài)的固有頻率的影響程度是不同的。質(zhì)量的改變對高階固有頻率的影響較大；剛度改變對低階固有頻率的影響較大。同樣可推導(dǎo)得到特征向量的靈敏度：

結(jié)論：某階模態(tài)向量振型靈敏度是各階模態(tài)矢量的線性組合。所以，需要有完備的模態(tài)振型。一般，越接近該階模態(tài)的權(quán)重越大。修改質(zhì)量對高階模態(tài)振型的影響大，修改剛度對低階模態(tài)振型的影響大。無論何種靈敏度，當修改振型較大部位的質(zhì)量、剛度時，對該階振型影響大都比較大。對于復(fù)模態(tài)： 結(jié)構(gòu)動力修改1）“正問題”:當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)做修改時，根據(jù)其改變量、、，求修改后的系統(tǒng)動力特性、。2）“反問題”：通過某些結(jié)構(gòu)參數(shù)的改變，使系統(tǒng)的動力特性參數(shù)，如固有頻率、模態(tài)振型滿足預(yù)定的要求，或避開（或落入）某個范圍。已知、，求、、。FEM:有限元模態(tài)（理論模態(tài),FiniteElementMethod）EMA：試驗?zāi)B(tài)分析（ExperimentalModalAnalysis） 通常認為：FEM計算結(jié)果存在誤差，而EMA的結(jié)果是準確的。然而，做FEM計算比做EMA要簡單得多，特別是在修改結(jié)構(gòu)時，能夠方便地預(yù)測修改后結(jié)構(gòu)的各種動態(tài)特性。為了有效地利用FEM這一強有力的工具，可以使用EMA結(jié)果對FEM模型進行修正，以得到準確的FEM模型，即所謂的綜合建模問題。實際上是調(diào)整模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使之更加合理，更加接近實際，更加接近試驗?zāi)B(tài)的結(jié)果。 一般，F(xiàn)EM模型的自由度要比EMA模型自由度要多得多。一般遵循能量等效原則，采取自由度縮減或物理參數(shù)矩陣的縮聚。EMA試驗?zāi)B(tài)分析為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)動力修改解決方案：特征靈敏度法：通過靈敏度分析，已經(jīng)得到了固有頻率和模態(tài)振型相對于質(zhì)量、剛度、阻尼的靈敏度。運用多元函數(shù)的泰勒級數(shù)展開，當修改量為小量時，并忽略二階以上的小量。靈敏度法僅適合結(jié)構(gòu)小量修改，當修改量比較大時，可采用分成若干步，每步為小量的修改方法，提高修改得到的精度。矩陣攝動法當系統(tǒng)有物理參數(shù)的變化、、后：做模態(tài)坐標變換：解方程，求特征值和特征向量。因此修改后系統(tǒng)的固有頻率為，特征向量為模態(tài)測試系統(tǒng)測試系統(tǒng)負責將被測物理量采集下來，轉(zhuǎn)換成某種信號，經(jīng)過前置放大器和微積分變換，變成可供分析儀器使用的電壓信號。對于試驗?zāi)B(tài)分析測試系統(tǒng)中，傳感器主要有響應(yīng)振動量（位移、速度、加速度）測量傳感器，激勵力傳感器。從力學(xué)原理上，振動傳感器又可分為絕對式傳感器和相對式傳感器。絕對式傳感器測量振動物體的絕對運動，這時需將振動傳感器基座固定在振動體待測點上。絕對式振動傳感器的主要力學(xué)組件是一個慣性質(zhì)量塊和支承彈簧，質(zhì)量塊經(jīng)彈簧與傳感器基座相連，在一定頻率范圍內(nèi)，質(zhì)量塊相對基座的運動（位移、速度和加速度）與作為基礎(chǔ)的振動物體的振動（位移、速度、加速度）成正比，傳感器敏感組件再把質(zhì)量塊與基座的相對運動轉(zhuǎn)變?yōu)榕c之成正比的電信號，從而實現(xiàn)絕對式振動測量。相對式傳感器測量振動體待測點與固定基準的相對運動，這時，由傳感器敏感組件直接將此相對運動（即振動體的運動）轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?。相對式傳感器又可分為接觸式和非接觸式兩種。實際上，有時（如振動體在空間宏觀移動）很難建立一個測量的固定基準，另外，從現(xiàn)場振動測量的便利條件和應(yīng)用方便而言，使用得最多的是絕對式傳感器。但在某些場合，無法或不允許將傳感器直接固定在試件上（如旋轉(zhuǎn)軸、輕小結(jié)構(gòu)件等），必須采用相對式傳感器。從電學(xué)原理上，根據(jù)所采用的將力學(xué)量轉(zhuǎn)變?yōu)殡妼W(xué)量的傳感器敏感組件的性質(zhì)，振動傳感器又可分為電感型、電動型、電渦流型、壓電型等。振動傳感器的技術(shù)性能主要有：頻率特性：包括幅頻特性和相頻特性。靈敏度：電信號輸出與被測振動輸入之比。動態(tài)范圍：可測量的最大振動量與最小振動量之比。幅值線性度：理論上在測量頻率范圍內(nèi)傳感器靈敏度應(yīng)為常數(shù)，即輸出信號與被測振動成正比。實際上傳感器只在一定幅值范圍保持線性特性，偏離比例常數(shù)的范圍稱為非線性，在規(guī)定線性度內(nèi)可測幅值范圍稱為線性范圍。橫向靈敏度：實際傳感器除了感受測量主軸方向的振動，對于垂直于主軸方向的橫向振動也會產(chǎn)生輸出信號。橫向靈敏度通常用主軸靈敏度的百分比來表示。從使用觀點看，橫向靈敏度越小越好，一般要求小于3%～5%。目前使用較多的相對式位移傳感器為電渦流傳感器，它的特點是結(jié)構(gòu)簡單，靈敏度高，線性好，頻率范圍寬（0～10kHz），抗干擾性強，因此廣泛應(yīng)用于非接觸式振動位移測量，尤其是大量應(yīng)用大型旋轉(zhuǎn)機械上監(jiān)測軸系的徑向振動和軸向振動。速度傳感器應(yīng)用較廣的是電動式速度傳感器，它又分為相對式和絕對式。這種傳感器的靈敏度比較高，特別是在幾百Hz以下的頻率范圍內(nèi)，它的輸出電壓較大。此外，它的線圈阻抗較低，因而對與它相配的測量儀器的輸入阻抗、連接電線的長度及質(zhì)量要求都較低。通過電子線路的微分或積分可獲得振動的加速度值和位移值。用于測量振動加速度最多的是壓電式加速度傳感器，又稱加速度傳感器或加速度計。加速度計是一種壓電換能器，它能把振動或沖擊的加速度轉(zhuǎn)換成與之成正比的電壓（或電荷）。加速度計具有體積小、重量輕、頻響寬、耐高溫、穩(wěn)定性好及無須參考位置等優(yōu)點，由于它的脈沖響應(yīng)優(yōu)異，更適合于沖擊的測量。加速度計的頻率響應(yīng)曲線壓電材料是鋯鈦酸鉛加速度計靈敏度每年約降低1-5%，因此，為保持測量精度最好每年校準一次。重量比較輕的加速度計，工作頻率高，最大可測加速度值大，但靈敏度低。反之，比較重的加速度計，靈敏度高，但工作頻率低，最大可測加速度值小。力傳感器： 壓電式力傳感器：利用壓電效應(yīng)，將壓力變化轉(zhuǎn)化成電荷量的變化，再經(jīng)過電荷放大器轉(zhuǎn)化成電壓信號。 壓電式加速度傳感器：結(jié)構(gòu)型式：中心壓縮型、三角剪切型屬于接觸式傳感器，應(yīng)盡量與試驗結(jié)構(gòu)固定連接好。正確地將加速度計安裝到被測振動物體上是很重要的。要求加速度計和被測物體之間的安裝表面平直光滑，機械連接越緊密牢固，其使用的上限頻率越高。我們可以用螺栓、磁性夾頭、膠粘等方法來安裝測試時應(yīng)將電纜線固定，以防止由于電纜屏蔽層和絕緣材料間的磨擦產(chǎn)生電荷而在指示儀表輸入端引起噪聲。加速度計安裝方法 壓電式傳感器的原理模態(tài)試驗：測量激勵和響應(yīng)，得到頻響函數(shù)，通過模態(tài)參數(shù)識別得到固有頻率和模態(tài)振型。激勵方法：激振器信號發(fā)生器—功率放大——>激振器，產(chǎn)生作用力到結(jié)構(gòu)上！——》加速度傳感器，測量結(jié)構(gòu)的響應(yīng)——》電荷放大器——》A/D采集——》信號分析、模態(tài)分析處理處理軟件一般采用電動力式激振器：磁鐵1、鐵芯2、頂桿5、芯桿6、線圈7、環(huán)形氣隙4、彈簧8、外殼9、磁極3等組成沖擊法沖擊錘是PCB和辛辛那提1972年聯(lián)合發(fā)明的，1983年獲得美國工業(yè)發(fā)明IR-100獎。組成：錘體1、力傳感器2、錘帽3、錘柄4、附加質(zhì)量5錘帽在沖擊試驗過程中直接與試驗對象接觸。一般有鋼、鋁、尼龍、橡膠等不同硬度的材料制造而成。輸入能量：與錘的質(zhì)量有關(guān)，一般質(zhì)量越大，相同沖擊速度下，沖擊能量大。頻帶寬度可增大。錘擊法模態(tài)試驗需要注意的幾個問題：鑒別實驗結(jié)構(gòu)的非線性程度。用不同力度激勵，測量兩點頻率響應(yīng)函數(shù)，如果相差不大，說明結(jié)構(gòu)的非線性現(xiàn)象不嚴重。選擇合適的沖擊錘力脈沖的寬度不宜太小，應(yīng)至少采集到力脈沖波形的4個有效數(shù)據(jù)點。盡可能提高激勵能量，以提高信噪比。選擇合適的激勵點盡量不要布置在模態(tài)節(jié)點位置。應(yīng)盡量布置在剛度較大的部位敲擊間隔時間每次激發(fā)的速度盡量相同每次激發(fā)要確保前次激發(fā)的響應(yīng)已經(jīng)變?yōu)榱?。防止信號過載：傳感器、電荷放大器、信號采集器都有可能出現(xiàn)過載。力傳感器和錘帽的影響。自由模態(tài)，構(gòu)件的懸吊要注意。構(gòu)件變形，附加剛度、附加約束等。模態(tài)分析在實際工程中應(yīng)用