線性系統(tǒng)理論

第二講數(shù)學(xué)基礎(chǔ)柳向斌北京交通大學(xué)先進控制系統(tǒng)研究所地址:九教西401電話:51684105Email:內(nèi)容線性空間和線性變換線性代數(shù)中的幾個結(jié)果Jordan分解線性空間與線性變換

線性空間定義定義幾種運算

設(shè)V是一個非空集合，P是一個數(shù)域。在集合V元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做加法.加法運算:對于V中任意兩個元素x和y，V中都有惟一的元素z與之對應(yīng),z為x與y的和:

z=x+y。在數(shù)域P與集合V的元素之間定義了一種運算,叫做數(shù)量乘法。數(shù)量乘法:對于數(shù)域P中任一數(shù)k與V中的任意一個元素x，在V中都有惟一的元素h與它們對應(yīng)，稱h為k與x的數(shù)量乘積:h=kx加法規(guī)則:①；②；③

在V中有一個元素0，對于V中的任何一個元素都有0+x=x，具有這個性質(zhì)的元素稱為零元素；④對于V中的每一個元素，都有V中的元素y，使得x+y=0，此時稱y為x的負元素。數(shù)量乘法規(guī)則:①；②。線性空間：如果加法與數(shù)量乘法滿足下面的規(guī)則，那么V為數(shù)域P上的線性空間。數(shù)量乘法與加法混合運算規(guī)則:①；②。k,l等表示數(shù)域P中的任意數(shù)；x、y、z、h為集合V中的任意元素。子空間定義：如果V是實數(shù)域R上的線性空間，V1是V一個子集，在V1上的加法和數(shù)乘運算同于V上的運算，若V1也是實數(shù)域R

上的線性空間，則稱V1是V的子空間。直和空間定義：若V是實數(shù)軸R上的線性空間，V1、V2是V的兩個子空間，若對都有惟一的和，滿足

則稱V是V1和V2的直和空間，記為 反之，設(shè)V1、V2同為實數(shù)域R上的線性空間，，，將v1，v2按序排成(v1,v2)，并令

再在V中規(guī)定同于向量的加法和數(shù)乘的運算，這時V仍是實數(shù)域R上的線性空間，它被稱為V1、V2的乘積空間。線性變換定義：設(shè)V1，V2均為實數(shù)域R上的線性空間，T是由V1到V2的一個映射，當(dāng)T滿足

時，稱T為由V1到V2的線性變換或線性算子。V1稱為T的定義域。若令

則TV1也是一個線性空間，它被稱為T的值域空間，記為ImT=TV1。在V1=V2時，稱T為V1上的線性變換。

例子：，核空間定義：設(shè)V為一線性空間，若T是V上的線性變換，構(gòu)造集合

則N是V的一個子空間，稱為線性變換T的核空間，記為N=KerT。定義1

矩陣中列向量的最大無關(guān)組的個數(shù)稱為A的列秩；其行向量的最大無關(guān)組的個數(shù)稱為矩陣A的行秩。定義2矩陣的行秩或列秩稱為矩陣A的秩，記為rank(A)。命題2：對于矩陣而言，有命題1矩陣的行秩與列秩相等。矩陣論中的一些結(jié)果定理設(shè)，則：①矩陣A行降秩的充要條件是存在向量，滿足；②矩陣A列降秩的充要條件是存在向量，滿足。

Vendermonde矩陣與友矩陣

(1)Vendermonde矩陣及其性質(zhì)設(shè)，為一組復(fù)數(shù)，定義P為Vendermonde矩陣。引理1：推論1Vendermonde矩陣可逆的充要條件是，，互異。友矩（伴隨）陣及其性質(zhì)設(shè)，其特征多項式為

定義矩陣為矩陣A的友矩陣(Companionmatrix)。引理2設(shè)矩陣具有互異特征值，則其友矩陣亦以為特征值，且與相對應(yīng)的特征向量：證明由于為矩陣A的特征值，故從而推論2

設(shè)矩陣具有互異特征值，則有其中矩陣P

為,的Vendermonde

矩陣

Cayley-Hamilton定理設(shè)，矩陣A的特征多項式定義為它是關(guān)于上s的n階多項式。Cayley-Hamilton定理設(shè)，D(s)為矩陣A的特征多項式，則D(A)=0。化零多項式命題3設(shè)，則對于一切，均可表為的線性組合。證明：則由Cayley-Hamilton定理可得，Jordan分解—線性變換

其中，P為矩陣A的特征向量矩陣；J為矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。則必存在非奇異矩陣P,使得定理1：設(shè)其特征根為,…,互異，原因：A的特征根互異時，P定理2：設(shè)特征根,…,不互異，但矩陣A仍有n個相互獨立的特征向量，此時上述定理仍成立。例：特征根為屬于的特征向量為屬于的特征向量為P矩陣為：較一般情況下的結(jié)果呢？則必存在非奇異矩陣P，使得定理3：設(shè)其特征根為q重，其它根互異Jordan矩陣J1J2其中，J為矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。P矩陣如下n-q個互異單根q個重根特征向量廣義特征向量例子：將A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。解：1、求A的特征根2、求特征向量對重根-1,…,(重)

,()，則存在最一般情況下的Jordan分解定理設(shè)矩陣，Q可逆，滿足

其中，Q

為矩陣A

的特征向量矩陣；J

為矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。Jordan標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的一般形式為：其特征根為(重),(重)，其中，為矩陣A的特征值；為矩陣A的與相關(guān)聯(lián)的Jordan塊。特征值在矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中，與第i個特征值相關(guān)的Jordan塊共有個，即它們的階數(shù)分別為。定義：為矩陣A的第i個特征值的代數(shù)重數(shù)。直觀地講，一個矩陣的某特征值的代數(shù)重數(shù)即是該矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中與該特征值相關(guān)的所有Jordan

小塊的階數(shù)之和。也即：稱矩陣A的特征值的幾何重數(shù)。直觀地講，一個矩陣的某特征值的幾何重數(shù)即是該矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中與該特征值相關(guān)聯(lián)的Jordan塊的個數(shù)。它說明為的零空間的維數(shù)。而的零空間定義為使成立的非零向量h的集合，這就是幾何重數(shù)的由來。解空間顯然，只有當(dāng)所有特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)，即時，約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型才具有對角規(guī)范性的形式。廣義特征向量：稱一個非零向量是矩陣A的屬于特征根的k級廣義特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)k=1時，廣義等于通常