第八章金融數(shù)學(xué)模型8.1保險(xiǎn)的需求模型8.2資產(chǎn)組合選擇模型8.3資本資產(chǎn)定價(jià)模型8.4企業(yè)負(fù)債的合理確定模型1/10/2023數(shù)學(xué)建模第八章金融數(shù)學(xué)模型8.1保險(xiǎn)的需求模型1/9/2023數(shù)以前總是假定消費(fèi)者或生產(chǎn)者的決策所產(chǎn)生的結(jié)果是肯定而唯一的。然而這一點(diǎn)假設(shè)是非常脫離實(shí)際的。如，農(nóng)場(chǎng)主的產(chǎn)量不僅取決于他投入多少資本、土地和勞動(dòng)，而且取決于今后一年中的氣候狀況，這是農(nóng)場(chǎng)主無(wú)法把握的。在許多情況下，經(jīng)濟(jì)決策人只能預(yù)見(jiàn)到自己的行為會(huì)帶來(lái)那幾種可能結(jié)果，以及每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性。這就是在結(jié)果不確定的情況下經(jīng)濟(jì)人的最優(yōu)決策問(wèn)題。保險(xiǎn)的需求模型

1/10/2023數(shù)學(xué)建模保險(xiǎn)的需求模型

1/9/2023數(shù)學(xué)建模個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度：在現(xiàn)實(shí)中，可以觀察到兩種現(xiàn)象：有些人為了減少未來(lái)收入和財(cái)富的不確定性而到保險(xiǎn)公司投保；而另一些人卻為了增加生活中的不確定性而進(jìn)行賭博?！嘣谑澜绺鞯兀ｋU(xiǎn)公司與跑馬場(chǎng)一樣生意興隆。對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度（風(fēng)險(xiǎn)偏好）：

人的類(lèi)型參加的賭博類(lèi)型是否投保風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者（Riskevader）只參加有利的賭博投保風(fēng)險(xiǎn)中立者(Riskneutral)可能參加公平的賭博肯定參加有利的賭博無(wú)所謂風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者(Risklover)即使不利的賭博也參加不投保1/10/2023數(shù)學(xué)建模個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度：在現(xiàn)實(shí)中，可以觀察到兩種現(xiàn)象：有些人為了如，這種賭博：90%的可能贏1萬(wàn)元，10%的可能輸10元，這種賭博的預(yù)期收益為：1萬(wàn)元×90%+（－10元）×10%=8，999元遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于不參加賭博的預(yù)期收益：零。那么，很少有人會(huì)拒絕這種賭博。公平賭博：指預(yù)期收益為零或勝負(fù)各參半的賭博；如：1萬(wàn)元×50%+（-1萬(wàn)元）×50%=0（元）有利賭博：指預(yù)期收益大于零或贏的可能性超過(guò)一半的賭博?！肮健钡谋ｋU(xiǎn)費(fèi)率正好與損失發(fā)生的概率相等。

1/10/2023數(shù)學(xué)建模如，這種賭博：90%的可能贏1萬(wàn)元，10%的可能輸10元，這預(yù)期效用及其函數(shù)：人們對(duì)不確定情況下的收入或消費(fèi)也應(yīng)當(dāng)有一種偏好順序，如，人們偏好“90%的可能贏1萬(wàn)元，10%的可能輸1千元。”勝過(guò)“60%的可能贏1萬(wàn)元，40%的可能性輸100元?！?0%×（1萬(wàn)元）+10%×（－1000元）=8,900（元）60%×（1萬(wàn)元）+40%×（－100元）=5,960（元）

那么，如何來(lái)排列這種偏好順序呢？最方便的方法就是按“預(yù)期效用”（ExpectedUtility）的大小來(lái)排序。

（

1/10/2023數(shù)學(xué)建模預(yù)期效用及其函數(shù)：人們對(duì)不確定情況下的收入或消費(fèi)也應(yīng)當(dāng)有一種預(yù)期效用：取決于各種情況出現(xiàn)的概率和相應(yīng)的概率下可享用的收入或消費(fèi)的效用。如，若未來(lái)可能出現(xiàn)兩種狀態(tài)，狀態(tài)1和狀態(tài)2，兩種狀態(tài)出現(xiàn)的概率分別為和即只有這兩種可能性。C1和C2分別代表狀態(tài)1和狀態(tài)2下的收入或消費(fèi)，那么預(yù)期效用函數(shù)：EU=。其中U(C1)和U(C2)為一般的效用函數(shù)。預(yù)期效用函數(shù)EU稱(chēng)為“馮·諾伊曼—摩根斯坦效用函數(shù)”（VonNeunaun——MorgensternUtilityFunction），以本世紀(jì)美國(guó)著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼和經(jīng)濟(jì)學(xué)家?jiàn)W·摩根斯坦名字命名的，他們兩人在數(shù)學(xué)博奕論領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)。1/10/2023數(shù)學(xué)建模預(yù)期效用：取決于各種情況出現(xiàn)的概率和相應(yīng)的概率下可享用的收入若消費(fèi)者一般的效用函數(shù)為U=LnC則，預(yù)期效用函數(shù)為：EU=lLnC1+2LnC2若U=C，則預(yù)期效用函數(shù)為：EU=此時(shí)，預(yù)期效用等于期望值。一般地若可能出現(xiàn)n種狀態(tài),每一種壯態(tài)出現(xiàn)的概率為預(yù)期效用函數(shù)為：EU=EU=

1/10/2023數(shù)學(xué)建模若消費(fèi)者一般的效用函數(shù)為U=LnCEU=1/9/2023保險(xiǎn)市場(chǎng)：風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者必定會(huì)參加保險(xiǎn)，但沒(méi)有說(shuō)明他會(huì)投保多少金額，假設(shè)他面臨損失10,000元的風(fēng)險(xiǎn)，那么，他會(huì)向保險(xiǎn)公司投保10,000元的金額，并繳納相應(yīng)的保險(xiǎn)費(fèi)，還是投保15,000元或5,000元金額？這與保險(xiǎn)費(fèi)率的高低以及人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度有關(guān)。假定您現(xiàn)在擁有的財(cái)產(chǎn)為W，您面臨損失L的可能性（如遭竊、失火、生病、住院等），發(fā)生損失的可能性為,保險(xiǎn)費(fèi)率為r，即您需要支付rk來(lái)購(gòu)買(mǎi)一張金額（最高賠償額）為K的保險(xiǎn)單。損失沒(méi)有發(fā)生的情況為第1種狀態(tài)，1狀態(tài)您擁有的財(cái)產(chǎn)為C1C1=W-rK1/10/2023數(shù)學(xué)建模保險(xiǎn)市場(chǎng)：C1=W-rK1/9/2023數(shù)學(xué)建模因?yàn)闊o(wú)論損失發(fā)生與否，保險(xiǎn)費(fèi)是不退回的。損失不幸發(fā)生了，為第2種狀態(tài)，此時(shí)，您能從保險(xiǎn)公司得到金額為K的賠償，您擁有的財(cái)富為C2=W-L-rK+K2狀態(tài)發(fā)生的概率為，1狀態(tài)出現(xiàn)的概率為1-。從保險(xiǎn)公司的角度來(lái)考察，二狀態(tài)出現(xiàn)，保險(xiǎn)公司需支付保險(xiǎn)費(fèi)K；一狀態(tài)出現(xiàn)，保險(xiǎn)公司沒(méi)有任何支出。但無(wú)論那種狀態(tài)出現(xiàn)，保險(xiǎn)公司總能收入保險(xiǎn)費(fèi)rk，假設(shè)沒(méi)有許多人（如10萬(wàn)人）投保，各人之間遭受損失是相互獨(dú)立的，則保險(xiǎn)公司從每個(gè)投保人身上可得的預(yù)期利潤(rùn)：1/10/2023數(shù)學(xué)建模因?yàn)闊o(wú)論損失發(fā)生與否，保險(xiǎn)費(fèi)是不退回的。1/9/2023數(shù)學(xué)即若投保人數(shù)n足夠大，保險(xiǎn)公司的平均利潤(rùn)將接近n從保險(xiǎn)公司來(lái)看，只要收支能平衡，它就愿意經(jīng)營(yíng)這項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，且保險(xiǎn)市場(chǎng)上有許多家保險(xiǎn)公司，且任何廠商均可自由進(jìn)出該行業(yè)，則保險(xiǎn)市場(chǎng)將接近完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，每家保險(xiǎn)公司的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)將被壓低到最低限度----零。即保險(xiǎn)公司由于激烈的競(jìng)爭(zhēng)會(huì)向顧客提供完全“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)率，即等于投保人總體遭受損失的概率，即r=,從而利潤(rùn)p=0。

1/10/2023數(shù)學(xué)建模即若投保人數(shù)n足夠大，保險(xiǎn)公司的平均利潤(rùn)將接近n1/9/這樣的簡(jiǎn)單化假設(shè)并不太離奇，世界上規(guī)模大，經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)廣，跨地區(qū)多的保險(xiǎn)公司所提供的保險(xiǎn)費(fèi)率都十分接近“公平”費(fèi)率，因?yàn)榇蠊靖菀鬃龅椒稚L(fēng)險(xiǎn)，收取“公平”費(fèi)率就足以應(yīng)付賠償支出了。甚至連賭場(chǎng)也是如此，大賭場(chǎng)比小賭場(chǎng)更能提供“公平”（預(yù)期收益接近于零）的賭博機(jī)會(huì)。那么，一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者（riskevader）將如何選擇K的大小？風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的主要特征：在相同的期望值或預(yù)期收益下，風(fēng)險(xiǎn)越小，效用水平越高。而投保人的期望財(cái)富值EC為：1/10/2023數(shù)學(xué)建模這樣的簡(jiǎn)單化假設(shè)并不太離奇，世界上規(guī)模大，經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)廣，跨地區(qū)EC=(1-)C1+C2===W-L（)所以期望值是既定的，與投保金額K的大小無(wú)關(guān)。在這種情況下，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者希望使不確定性降到最低限度。即沒(méi)有任何風(fēng)險(xiǎn)或不確定性，這意味著投保人在任何一種狀態(tài)下，都將擁有相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)，即：C1=C2w-rK=w-L-rK+K得出K=L1/10/2023數(shù)學(xué)建模EC=(1-)C1+C2==結(jié)論：面臨“公平”費(fèi)率的情況下，厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投保人將對(duì)可能遭受的損失進(jìn)行全額保險(xiǎn)。如，若投保人面臨損失10,000元的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)率為1%，則規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的投保人會(huì)支付100元的保險(xiǎn)費(fèi)，購(gòu)買(mǎi)一張最高賠償額為10,000元的保險(xiǎn)單。眾所周知，保險(xiǎn)是風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的主要手段之一，每個(gè)人通過(guò)保險(xiǎn)公司將自己的風(fēng)險(xiǎn)分散到所有相關(guān)投保人身上，從而將自己的風(fēng)險(xiǎn)降到最低限度。所以，別以為是保險(xiǎn)公司真正提供了保險(xiǎn)或賠償了損失。在火災(zāi)保險(xiǎn)的情況下，失火的風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)許多面臨該風(fēng)險(xiǎn)的投保人的分擔(dān)而分散了，是那些出于謹(jǐn)慎投了保而沒(méi)有遭受火災(zāi)的人真正為火災(zāi)提供了保險(xiǎn)，是他們支付的保險(xiǎn)費(fèi)，使得保險(xiǎn)公司能夠在客戶(hù)提出賠償要求時(shí)給予賠償。1/10/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：面臨“公平”費(fèi)率的情況下，厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投保人將對(duì)可能遭受如使上述模型中的保險(xiǎn)市場(chǎng)有效運(yùn)轉(zhuǎn)，需要兩個(gè)前提條件：首先，分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的人必須是相互獨(dú)立的。如，在人壽保險(xiǎn)中，一般情況下，死亡是一種個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)，并不構(gòu)成社會(huì)風(fēng)險(xiǎn)，若A君死亡，他可能死于心臟病、癌癥或車(chē)禍（現(xiàn)代都市三大死亡原因），但他的死亡原因反映的只是他自己的情況，不會(huì)增加或減少B君、C君或其他人死亡的可能性，所以人壽保險(xiǎn)市場(chǎng)可以穩(wěn)步發(fā)展起來(lái)。但若流行病很猖劂，情況就不同，若社會(huì)死亡率為1%指的是某種惡性流行?。ㄈ缁魜y）暴發(fā)流行的可能性為1%，且疾病一旦流行人人都有死亡的危險(xiǎn)，那么這樣的人壽保險(xiǎn)市場(chǎng)將不可能有效運(yùn)轉(zhuǎn)。1/10/2023數(shù)學(xué)建模如使上述模型中的保險(xiǎn)市場(chǎng)有效運(yùn)轉(zhuǎn)，需要兩個(gè)前提條件：1/9/再如，一個(gè)地方性的保險(xiǎn)公司是無(wú)法獨(dú)立承擔(dān)自然災(zāi)害保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的，自然災(zāi)害（如臺(tái)風(fēng)、洪水、地震）不來(lái)則已，一旦發(fā)生，區(qū)域內(nèi)無(wú)一投保人能幸免，保險(xiǎn)公司靠幾個(gè)百分點(diǎn)的保險(xiǎn)收入是無(wú)法進(jìn)行賠償?shù)?。所以風(fēng)險(xiǎn)不是充分獨(dú)立的情況下，保險(xiǎn)或分散風(fēng)險(xiǎn)就不起作用。所以許多中小型保險(xiǎn)公司還會(huì)參加再保險(xiǎn)（Reinsurance）。例如，美國(guó)著名的勞埃德協(xié)會(huì)（Lloyd's）就是一家保險(xiǎn)公司的聯(lián)合組織或保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)公司，風(fēng)險(xiǎn)在成員保險(xiǎn)公司之間進(jìn)一步分散。1/10/2023數(shù)學(xué)建模再如，一個(gè)地方性的保險(xiǎn)公司是無(wú)法獨(dú)立承擔(dān)自然災(zāi)害保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的，其次，保險(xiǎn)市場(chǎng)的有效運(yùn)轉(zhuǎn)要求不存在“敗德行為”（Moralhazard）。敗德行為：投保后的人們做出的種種使不利支付發(fā)生的概率上升或保險(xiǎn)公司賠償金額增加的行為。如，買(mǎi)了住院保險(xiǎn)的人病已痊愈而遲遲不肯出院，買(mǎi)了車(chē)輛盜竊保險(xiǎn)的車(chē)主將沒(méi)上鎖的車(chē)隨處停放，等等。若存在這些行為，那么，保險(xiǎn)公司按原來(lái)狀況下的概率計(jì)算的保險(xiǎn)費(fèi)率將使保險(xiǎn)公司陷于財(cái)務(wù)危機(jī)，這一問(wèn)題屬于“不對(duì)稱(chēng)信息”問(wèn)題。1/10/2023數(shù)學(xué)建模其次，保險(xiǎn)市場(chǎng)的有效運(yùn)轉(zhuǎn)要求不存在“敗德行為”（Moral消費(fèi)者的目標(biāo)是力求效用極大化，所以在選擇投資資產(chǎn)時(shí)，均值---方差效用函數(shù)將成為消費(fèi)者的目標(biāo)函數(shù)。在風(fēng)險(xiǎn)投資市場(chǎng)上，對(duì)均值---方差效用函數(shù)構(gòu)成的約束條件是什么呢？假定在投資市場(chǎng)上，消費(fèi)者可以在兩種資產(chǎn)中進(jìn)行選擇：一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（Risk---freeasset）,這種資產(chǎn)能夠保證投資者得到固定的rf作為投資回報(bào)率或收益率，如，銀行存款為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；另一種為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，這種資產(chǎn)的收益率是事先無(wú)法確定和預(yù)知的，如，股票的收益率取決于股市的走向和相關(guān)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況。資產(chǎn)組合選擇模型

1/10/2023數(shù)學(xué)建模消費(fèi)者的目標(biāo)是力求效用極大化，所以在選擇投資資產(chǎn)時(shí)，：第i種狀態(tài)發(fā)生時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率；：第i種狀態(tài)發(fā)生的概率；：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益或未來(lái)收益的均值；：相應(yīng)收益的標(biāo)準(zhǔn)差。（相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的標(biāo)準(zhǔn)差）若您不是一個(gè)走極端的投資者，您多半會(huì)將財(cái)富同時(shí)分配在兩種資產(chǎn)上，設(shè)投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為X，則，投入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為1-X。這樣一種資產(chǎn)組合（Portfolio）的收益均值1/10/2023數(shù)學(xué)建模：第i種狀態(tài)發(fā)生時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率；1結(jié)論：資產(chǎn)組合的預(yù)期收益是兩種組合資產(chǎn)預(yù)期收益的加權(quán)平均。這一投資組合的方差為：

1/10/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：1/9/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：資產(chǎn)組合收益率的方差為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率方差與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所占比例平方的乘積。

相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為：

在正常情況下，rm應(yīng)該大于rf，因?yàn)樽鳛轱L(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的投資者的要求風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)具有比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)更高的收益率，即rm>rf，所以在資產(chǎn)組合中，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例X越高，預(yù)期收益率越高，但未來(lái)收益的不確定性或風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)相應(yīng)增大。

（

1/10/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：（1/9/2023數(shù)學(xué)建模

資產(chǎn)組合均衡點(diǎn)為無(wú)差異曲線(xiàn)與預(yù)算約束線(xiàn)的切點(diǎn)，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)與收益的邊際替代率等于風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格。均值（）標(biāo)準(zhǔn)差（）

圖：資產(chǎn)組合選擇1/10/2023數(shù)學(xué)建模資產(chǎn)組合均衡點(diǎn)為無(wú)差異曲線(xiàn)與預(yù)算約束線(xiàn)的切點(diǎn)，

橫軸表示資產(chǎn)組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差，縱軸表示均值，若投資者將所有的資產(chǎn)投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即X=1，那么均值---標(biāo)準(zhǔn)差的組合為，即圖中的B點(diǎn)；反之，若投資者將所有的資產(chǎn)投入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即X=0，那么資產(chǎn)組合的均值---標(biāo)準(zhǔn)差為（rf,O），即A點(diǎn)。若0<X<1，投資者改變無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比重，相應(yīng)資產(chǎn)組合的均值---標(biāo)準(zhǔn)差即為圖中AB連線(xiàn)上的一點(diǎn)。A、B兩點(diǎn)決定的直線(xiàn)方程為：1/10/2023數(shù)學(xué)建模橫軸表示資產(chǎn)組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差，縱軸表示均值，若投資者將所

將

以及代入（1）式等號(hào)成立，所以AB線(xiàn)即為所求的預(yù)算約束線(xiàn)。按照均值——方差效用函數(shù)，在圖中可畫(huà)出無(wú)差異曲線(xiàn)U1、U2，每一條無(wú)差異曲線(xiàn)代表效用水平既定時(shí)的各種均值——標(biāo)準(zhǔn)差的可能組合。假設(shè)人們總體上是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，所以標(biāo)準(zhǔn)差代表的風(fēng)險(xiǎn)是一種“負(fù)商品”，且從右下方往左上方向無(wú)差異曲線(xiàn)代表的效用水平越來(lái)越高。1/10/2023數(shù)學(xué)建模代入（1）式等號(hào)成立，標(biāo)準(zhǔn)差的增加是一種“負(fù)商品“，那么標(biāo)準(zhǔn)差的減少即為“正常商品”，或者直觀的說(shuō)，因?yàn)槿藗儏拹猴L(fēng)險(xiǎn)，隨著風(fēng)險(xiǎn)程度（標(biāo)準(zhǔn)差）的提高，人們要求預(yù)期效益更大幅度的提高來(lái)補(bǔ)償標(biāo)準(zhǔn)差單位水平的上升。有了預(yù)算約束線(xiàn)和無(wú)差異曲線(xiàn)，便能找到“最佳”的投資資產(chǎn)組合，即圖中的E點(diǎn)，無(wú)差異曲線(xiàn)的斜率與預(yù)算約束線(xiàn)的斜率相等，這一斜率稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格，（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格：風(fēng)險(xiǎn)與收益在資產(chǎn)選擇中可以此消彼長(zhǎng)的相互關(guān)系，或兩者之間的交換比率）1/10/2023數(shù)學(xué)建模標(biāo)準(zhǔn)差的增加是一種“負(fù)商品“，那么標(biāo)準(zhǔn)差的減少即為“正常商品所以風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格P=從消費(fèi)者理論可知，這一價(jià)格即為無(wú)差異曲線(xiàn)在E點(diǎn)的邊際替代率，即在E點(diǎn)成立下式：即無(wú)差異曲線(xiàn)在E點(diǎn)切線(xiàn)的斜率。MRS=（MarginalRateofSubstitution）1/10/2023數(shù)學(xué)建模所以風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格P=1/9/2023數(shù)學(xué)建模若風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)上有許多投資者，不管各人的無(wú)差異曲線(xiàn)形狀如何，達(dá)到均衡時(shí)每個(gè)投資者風(fēng)險(xiǎn)與收益的邊際替代率都應(yīng)該相等，即，當(dāng)人們可以自由地通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)交換風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，市場(chǎng)上只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格，從這個(gè)角度看，風(fēng)險(xiǎn)與普通商品并無(wú)不同。所以風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)，就是以風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格為依據(jù)的。1/10/2023數(shù)學(xué)建模若風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)上有許多投資者，不管各人的無(wú)差異曲線(xiàn)形

要給某一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)，除了需要知道風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格之外，還需要知道這種資產(chǎn)“含有”多少風(fēng)險(xiǎn)？若風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)上有不止一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，就不能簡(jiǎn)單地用某一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)。例如，假設(shè)有兩個(gè)企業(yè)的股票，A企業(yè)為石油生產(chǎn)企業(yè)，而B(niǎo)企業(yè)為以石油作為主要投入的企業(yè)，未來(lái)兩種股票的價(jià)格都只有兩種可能，取決于未來(lái)的油價(jià)是高是低：資本資產(chǎn)定價(jià)模型1/10/2023數(shù)學(xué)建模資本資產(chǎn)定價(jià)模型1/9/2023數(shù)學(xué)建模油價(jià)高油價(jià)低股票A10元2元股票B2元10元股票A的高價(jià)位總是伴隨著B(niǎo)的低價(jià)位，則稱(chēng)這兩種股票是負(fù)相關(guān)（Negativelycorrelated）。假設(shè)未來(lái)油價(jià)高、低的可能性各占一半，則每種股票的期望值都為6元。若在存在多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供選擇，某一種資產(chǎn)的價(jià)格并不完全取決于本身的風(fēng)險(xiǎn)大小，而是取決于這種資產(chǎn)與別的資產(chǎn)的價(jià)格變化之間的相關(guān)關(guān)系。為了便于衡量某一種資產(chǎn)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)程度，引入了一個(gè)系數(shù)，某種股票的值就是該股票相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)程度，即第i種股票的值為

1/10/2023數(shù)學(xué)建模油價(jià)高=………………（1）

股票的β值收益率

繁榮一般蕭條市場(chǎng)平均104-2Β>1的資產(chǎn)1610-8Β=1的資產(chǎn)104-20<Β<1的資產(chǎn)531Β<0的資產(chǎn)235

1/10/2023數(shù)學(xué)建模=………………（1）

若股票的值為1，則該股票與整個(gè)股市相同，若股市指數(shù)上升10%，它也應(yīng)大致上升10%，若β值大于1，那么，該股票與大市同漲同跌，但幅度要大得多；若0<β<1，則該股票與大市相比漲跌幅度要小一些；若β<0，那么該股票是“逆經(jīng)濟(jì)風(fēng)向”的，其收益率波動(dòng)方向與大市相反。

有了β系數(shù)，便可以分析風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇的均衡，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡時(shí)，所有資產(chǎn)經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)程度調(diào)整后，或去除風(fēng)險(xiǎn)因素后，收益率應(yīng)該相等.。

問(wèn)題的關(guān)鍵在于，如何調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)值？（

1/10/2023數(shù)學(xué)建模

（1/9/2023數(shù)學(xué)建?！唢L(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格P=

某一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)度為βi，而整個(gè)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)度為其標(biāo)準(zhǔn)差σm，所以第i種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)總量應(yīng)為：βiσm（由（1）式可得）。所以第i種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值=風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)總量的乘積，即，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值=所以若有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i和j，其預(yù)期收益為和，β值為和，1/10/2023數(shù)學(xué)建?！唢L(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格P=1/9/2023數(shù)學(xué)建模下式應(yīng)成立：即，兩種資產(chǎn)的預(yù)期收益率經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值調(diào)整后應(yīng)相等，否則，沒(méi)有人會(huì)購(gòu)買(mǎi)調(diào)整后收益率底的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。并且，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)去除風(fēng)險(xiǎn)因素后其收益率應(yīng)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相等，即：

整理后可得：……………..(2)1/10/2023數(shù)學(xué)建模下式應(yīng)成立：1/9/2023數(shù)學(xué)建模（2）式這一般性的結(jié)論，即，任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均衡收益率可以分成兩部分，一部分為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)應(yīng)有的收益率，另一部分為“風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)”（Riskpremium），即按照該資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)大小而定的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值，它表示為了讓人們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)而必須予以的補(bǔ)償。這一結(jié)論稱(chēng)為資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CapitalAssetpricingModel，

“CAPM”），即：這一模型是本世紀(jì)50、60年代一些證券分析家及研究人員提出來(lái)的，如美國(guó)的馬柯維茲（Markowity）最早提出了現(xiàn)代投資組合理論，1/10/2023數(shù)學(xué)建模（2）式這一般性的結(jié)論，即，任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均衡收益率可在其基礎(chǔ)上由夏普（williamF.sharpe）。林特納(Johnlintner)和莫辛（Janmossin）發(fā)展了資本市場(chǎng)理論，建立起資本資產(chǎn)定價(jià)模型。這一結(jié)論可以用圖象表示。橫軸表示β值，縱軸表示預(yù)期收益率，則，所有的均值點(diǎn)都在一條直線(xiàn)上，其縱截距為，斜率為：，這條直線(xiàn)稱(chēng)為“市場(chǎng)線(xiàn)”（Marketline）預(yù)期收益率（ri）

Arm

rf01L:ri=rf+βi(rm-rf)市場(chǎng)線(xiàn)(斜率=rm-rf)β值1/10/2023數(shù)學(xué)建模在其基礎(chǔ)上由夏普（williamF.sharpe）。林特納市場(chǎng)線(xiàn)”代表了市場(chǎng)均衡條件下預(yù)期收益和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之間存在的線(xiàn)性關(guān)系。圖：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)線(xiàn)若某一種資產(chǎn)的預(yù)期收益和β值不在市場(chǎng)線(xiàn)上，如，在市場(chǎng)線(xiàn)L的上方的A點(diǎn)處，以股票為例，假定某種股票當(dāng)期不發(fā)紅利或紅利可以忽略不計(jì)，那么該股票預(yù)期收益率為預(yù)期下期價(jià)格相對(duì)于當(dāng)前價(jià)格的上漲率：即，因?yàn)锳點(diǎn)在市場(chǎng)線(xiàn)L上方，∴1/10/2023數(shù)學(xué)建模市場(chǎng)線(xiàn)”代表了市場(chǎng)均衡條件下預(yù)期收益和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之間存在的線(xiàn)所以購(gòu)買(mǎi)這種股票將是十分有利可圖的，因?yàn)榻?jīng)風(fēng)險(xiǎn)值調(diào)整后，該股票的預(yù)期收益率要高于市場(chǎng)上其他股票，即，該股票的當(dāng)前價(jià)格P0被低估了。一旦人們發(fā)現(xiàn)了這種股票都會(huì)搶著購(gòu)買(mǎi)，于是該股票價(jià)格P0會(huì)被提高，相應(yīng)地，

會(huì)下降，直至A點(diǎn)回到市場(chǎng)線(xiàn)上。眾所周知，在股票市場(chǎng)上，許多專(zhuān)家和投機(jī)者都在尋找位于市場(chǎng)線(xiàn)上方的股票，所以在一個(gè)高效率，或充分信息的市場(chǎng)上，將不會(huì)出現(xiàn)股票價(jià)格被高估或被低估的情況。1/10/2023數(shù)學(xué)建模所以購(gòu)買(mǎi)這種股票將是十分有利可圖的，因?yàn)榻?jīng)風(fēng)險(xiǎn)值調(diào)整后，當(dāng)然，這一模型的前提是人們對(duì)所有資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)都有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，否則，該模型要復(fù)雜得多?！百Y本資產(chǎn)定價(jià)模型”假定投資者可在下列資產(chǎn)中進(jìn)行選擇：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以及幾種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其預(yù)期收益分別為，若投入每一種資產(chǎn)的比例為則組合資產(chǎn)的預(yù)期收益和方差分別為：R=1/10/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)然，這一模型的前提是人們對(duì)所有資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)都有統(tǒng)（為資產(chǎn)i與資產(chǎn)j收益的協(xié)方差（i≠j），或第I種資產(chǎn)收益的方差（i=j））資產(chǎn)組合選擇就是要解決下面的條件極值：1/10/2023數(shù)學(xué)建模（為資產(chǎn)i與資產(chǎn)j收益的協(xié)方差（i≠j），或第此處并不要求＞0，即允許對(duì)任何一種資產(chǎn)買(mǎi)空賣(mài)空。建立拉格朗日函數(shù)：L=

若在幾種可供選擇的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，有一種是互助基金，且這一基金是均值---方差最優(yōu)，即本身就符合（1）式的一階條件，1/10/2023數(shù)學(xué)建模此處并不要求＞0，即允許對(duì)任何一種資產(chǎn)買(mǎi)空賣(mài)空。令這一資產(chǎn)為第種資產(chǎn)，那么的投資方式也是最優(yōu)的。在（1）式中，，從而第i個(gè)一階條件變成：由（1）式得2在（2）式中，當(dāng)i=0時(shí)，由（2）式得：當(dāng)i=e時(shí)，，即資產(chǎn)e的方差由（2）可得，

1/10/2023數(shù)學(xué)建模令這一資產(chǎn)為第種資產(chǎn)，那么

⑷-⑶

將（5）代入（3）

將（5）、（6）代入（2）得：假設(shè)在基金e中，第i種資產(chǎn)所占比例為，則。

1/10/2023數(shù)學(xué)建模⑷-⑶1/9/2023數(shù)學(xué)建模設(shè)有m位投資者，：第K位投資者投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富；：第K位投資者購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的數(shù)量；

：?jiǎn)挝伙L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的價(jià)格。

則……(8)…..(9)1/10/2023數(shù)學(xué)建模設(shè)有m位投資者，：第K位投資者投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的由（9）式，可知，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)總值：；

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的市場(chǎng)總值：。

：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)總值中所占的比重。

所以（7）式可寫(xiě)成：

(10)式中下標(biāo)為m：市場(chǎng)總體，令1/10/2023數(shù)學(xué)建模由（9）式，可知，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)總值：“資本資產(chǎn)定價(jià)模型”為：

值的真正含義：某一種資產(chǎn)i的收益和市場(chǎng)收益的協(xié)方差與市場(chǎng)收益的方差之比。例如，某種股票的

值為1.5,市場(chǎng)平均收益率為10%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為5%。（1）按照CAPM，這種股票的預(yù)期收益應(yīng)達(dá)到多少？（2）若預(yù)計(jì)此種股票未來(lái)的價(jià)格將為100元，目前的市場(chǎng)價(jià)格為多少？CAPM（capitalassetpricingmodel）1/10/2023數(shù)學(xué)建?！百Y本資產(chǎn)定價(jià)模型”為：CAPM（capitalasset

由題意可知：

即，這種股票的預(yù)期收益為12.5%；

(2)由

其中，E（P1）：預(yù)期股票未來(lái)的價(jià)格；P0：股票當(dāng)前價(jià)格。所以由題意可知：E（P1）=100元，Ri=12.5%解：（1）由CAPM理論可得：1/10/2023數(shù)學(xué)建模由題意可知：解：（1）由CAPM理

即，這種股票目前的市場(chǎng)價(jià)格為88.89元。

1/10/2023數(shù)學(xué)建模1/9/2023數(shù)學(xué)建模負(fù)債經(jīng)營(yíng)是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，企業(yè)為謀求經(jīng)濟(jì)效益極大化，實(shí)現(xiàn)規(guī)模經(jīng)營(yíng)而普遍采用的一種經(jīng)營(yíng)方式。企業(yè)負(fù)債有一個(gè)“度”的問(wèn)題，適度的負(fù)債可以給企業(yè)帶來(lái)好處，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展；而過(guò)度的負(fù)債則可能使企業(yè)陷入困境，甚至破產(chǎn)。當(dāng)前，我國(guó)全部獨(dú)立核算的國(guó)有工業(yè)企業(yè)負(fù)債率為75%，而西方國(guó)家企業(yè)負(fù)債率在45%~60%之間，與此相比，我國(guó)工業(yè)企業(yè)負(fù)債率明顯偏高。所以負(fù)債率過(guò)高是影響國(guó)有企業(yè)活動(dòng)的一個(gè)重要因素。企業(yè)負(fù)債率的合理確定模型

1/10/2023數(shù)學(xué)建模負(fù)債經(jīng)營(yíng)是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，企業(yè)為謀求經(jīng)濟(jì)效益極大化，實(shí)現(xiàn)規(guī)模國(guó)家和各級(jí)政府為幫助企業(yè)減輕債務(wù)負(fù)擔(dān)，采取了一系列的政策措施。所以研究企業(yè)負(fù)債率的合理確定模型，在當(dāng)前具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。設(shè)：m：利潤(rùn)總額；m：利息支出；k：所有者權(quán)益；k：負(fù)債總額；k：資產(chǎn)總額；：資產(chǎn)負(fù)債率；R：總資產(chǎn)報(bào)酬率；r：凈資產(chǎn)收益率；i：債務(wù)利息率。由此可得下列方程：1/10/2023數(shù)學(xué)建模國(guó)家和各級(jí)政府為幫助企業(yè)減輕債務(wù)負(fù)擔(dān)，采取了一系列的政策措施由總資產(chǎn)報(bào)酬率公式，即（3）。由(4)1/10/2023數(shù)學(xué)建模由總資產(chǎn)報(bào)酬率公式，即（3）。由(4)1/9/2023數(shù)學(xué)R=

因?yàn)槠髽I(yè)經(jīng)營(yíng)的主要目的是獲得滿(mǎn)意的利潤(rùn)（m），就一個(gè)具體企業(yè)而言，其所有者權(quán)益（）在一時(shí)刻也是一定的，所以企業(yè)所追求的主要目標(biāo)就是獲得滿(mǎn)意的凈資產(chǎn)收益率（r）。

由（6）式可得：凈資產(chǎn)收益率模型r=(R-……(7)

由（7）式可知影響影響企業(yè)凈資產(chǎn)收益率（r）的主要因素有三個(gè)：一是總資產(chǎn)報(bào)酬率（R）；二是資產(chǎn)負(fù)債率（b）；三是債務(wù)利息率（i）（

1/10/2023數(shù)學(xué)建模R=（1/9/2023數(shù)學(xué)建模令R-i=△則R=i+△i=R-△將其代入（7）式得，或r=以上（7）（8）（9）三式是完全等價(jià)的。對(duì)凈資產(chǎn)收益率模型（7）進(jìn)行討論：1/10/2023數(shù)學(xué)建模令R-i=△則R=i+△i=R-△將其代入（當(dāng)△=R-i>0時(shí)，即總資產(chǎn)報(bào)酬率（R）高于債務(wù)利息率（i）,由（8）式可知，當(dāng)△>0，即R>i時(shí)。資產(chǎn)負(fù)債率()越高，則凈資產(chǎn)收益率（r）也越高。如圖1所示 （%）圖1：——β曲線(xiàn)（△>0）1/10/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)△=R-i>0時(shí)，即總資產(chǎn)報(bào)酬率（R）高于債務(wù)利當(dāng)△=R-i<0，即R<i時(shí)，總資產(chǎn)報(bào)酬率（R）低于債務(wù)利息率（i）時(shí)，資產(chǎn)負(fù)債率()越高，則凈資產(chǎn)收益率（r）越低。如圖2所示圖2:——β曲線(xiàn)（△<0）

1/10/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)△=R-i<0，即R<i時(shí)，總資產(chǎn)報(bào)酬率（R）低于債務(wù)利當(dāng)負(fù)債率時(shí)，凈資產(chǎn)收益率r>0,此時(shí)，企業(yè)有利可圖（>0）當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率時(shí)，凈資產(chǎn)收益率r=0，此時(shí)，企業(yè)無(wú)利可圖（=0）；當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率時(shí)，凈資產(chǎn)收益率r<0，此時(shí)，企業(yè)發(fā)生虧損（<0）所以：資產(chǎn)負(fù)債率的盈虧臨界點(diǎn)。由（7）式可知，當(dāng)r=0時(shí)即當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率等于總資產(chǎn)報(bào)酬率（R）與債務(wù)利息率（i）之比時(shí)，企業(yè)正好盈虧平衡，此時(shí)凈資產(chǎn)收益率和利潤(rùn)率為零。1/10/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)負(fù)債率時(shí)，凈資產(chǎn)收益率r>0,此時(shí)當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率低于此點(diǎn)（）時(shí)，企業(yè)盈利；當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率高于此點(diǎn)（）時(shí)，企業(yè)虧損。設(shè)企業(yè)預(yù)期凈資產(chǎn)收益率為r，達(dá)到r時(shí)的資產(chǎn)負(fù)債率為，企業(yè)為獲得預(yù)期凈資產(chǎn)收益率，在短期內(nèi)總資產(chǎn)報(bào)酬率（R）和債務(wù)利息率（i）不變的條件下，其資產(chǎn)負(fù)債率的合理確定，這是一個(gè)資產(chǎn)負(fù)債率決策和控制的問(wèn)題。由（6）式可得資產(chǎn)負(fù)債率模型

……（10）所以達(dá)到預(yù)期凈資產(chǎn)率r時(shí)的資產(chǎn)負(fù)債率為1/10/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率低于此點(diǎn)（）時(shí)，企業(yè)盈利；當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率高于此

……（11）例如：設(shè)某行業(yè)總資產(chǎn)報(bào)酬利率R=問(wèn)（A）企業(yè)擬獲得r=以上的凈資產(chǎn)收益率，該企業(yè)負(fù)債率應(yīng)控制在什么范圍？（B）資產(chǎn)負(fù)債率為多少時(shí)，企業(yè)開(kāi)始出現(xiàn)虧損？解：由題意可知：R=R-i=△i=(10-12)%=-2%<0由（11）可得，=0.02/0.04=0.5,即=50%該行業(yè)欲獲得8%以上的凈資產(chǎn)收益率，其資產(chǎn)負(fù)債率不應(yīng)超過(guò)50%1/10/2023數(shù)學(xué)建模1/9/2023數(shù)學(xué)建模（B）將R=代入盈虧的臨界點(diǎn)計(jì)算公式：即該企業(yè)的資產(chǎn)負(fù)債率為83.33時(shí)，企業(yè)凈資產(chǎn)收益率為0；當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率時(shí)，企業(yè)凈資產(chǎn)收益率r<０，企業(yè)開(kāi)始出現(xiàn)虧損。如圖所示：

1/10/2023數(shù)學(xué)建模（B）將R=代入圖3——β曲線(xiàn)（R=10%、i=12%、△=-2%<0）結(jié)論：1.資產(chǎn)負(fù)債率的高低是相對(duì)的，它隨著總資產(chǎn)報(bào)酬率R、債務(wù)利息率i、和預(yù)期凈資產(chǎn)收益率r*的改變而改變。（由（11）式可知）2.企業(yè)經(jīng)營(yíng)的主要目的是提高凈資產(chǎn)收益率r，它受總資產(chǎn)報(bào)酬率R、債務(wù)利息率i和資產(chǎn)負(fù)債1/10/2023數(shù)學(xué)建模圖3——β曲線(xiàn)（R=10%、i=12%、△=-2%<0）1/率不是目的，只是改善企業(yè)凈資產(chǎn)收益率的一種手段，所以不能就負(fù)債論負(fù)債；3.通過(guò)資產(chǎn)重組提高國(guó)有資產(chǎn)配置效率是提高資產(chǎn)運(yùn)營(yíng)效率和效益-----總資產(chǎn)報(bào)酬率，從而是使國(guó)有企業(yè)擺脫目前困境的根本途徑。1/10/2023數(shù)學(xué)建模率不是目的，只是改善企業(yè)凈資產(chǎn)收益率的一種手段，所以不能就負(fù)第八章金融數(shù)學(xué)模型8.1保險(xiǎn)的需求模型8.2資產(chǎn)組合選擇模型8.3資本資產(chǎn)定價(jià)模型8.4企業(yè)負(fù)債的合理確定模型1/10/2023數(shù)學(xué)建模第八章金融數(shù)學(xué)模型8.1保險(xiǎn)的需求模型1/9/2023數(shù)以前總是假定消費(fèi)者或生產(chǎn)者的決策所產(chǎn)生的結(jié)果是肯定而唯一的。然而這一點(diǎn)假設(shè)是非常脫離實(shí)際的。如，農(nóng)場(chǎng)主的產(chǎn)量不僅取決于他投入多少資本、土地和勞動(dòng)，而且取決于今后一年中的氣候狀況，這是農(nóng)場(chǎng)主無(wú)法把握的。在許多情況下，經(jīng)濟(jì)決策人只能預(yù)見(jiàn)到自己的行為會(huì)帶來(lái)那幾種可能結(jié)果，以及每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性。這就是在結(jié)果不確定的情況下經(jīng)濟(jì)人的最優(yōu)決策問(wèn)題。保險(xiǎn)的需求模型

1/10/2023數(shù)學(xué)建模保險(xiǎn)的需求模型

1/9/2023數(shù)學(xué)建模個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度：在現(xiàn)實(shí)中，可以觀察到兩種現(xiàn)象：有些人為了減少未來(lái)收入和財(cái)富的不確定性而到保險(xiǎn)公司投保；而另一些人卻為了增加生活中的不確定性而進(jìn)行賭博。∴在世界各地，保險(xiǎn)公司與跑馬場(chǎng)一樣生意興隆。對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度（風(fēng)險(xiǎn)偏好）：

人的類(lèi)型參加的賭博類(lèi)型是否投保風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者（Riskevader）只參加有利的賭博投保風(fēng)險(xiǎn)中立者(Riskneutral)可能參加公平的賭博肯定參加有利的賭博無(wú)所謂風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者(Risklover)即使不利的賭博也參加不投保1/10/2023數(shù)學(xué)建模個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度：在現(xiàn)實(shí)中，可以觀察到兩種現(xiàn)象：有些人為了如，這種賭博：90%的可能贏1萬(wàn)元，10%的可能輸10元，這種賭博的預(yù)期收益為：1萬(wàn)元×90%+（－10元）×10%=8，999元遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于不參加賭博的預(yù)期收益：零。那么，很少有人會(huì)拒絕這種賭博。公平賭博：指預(yù)期收益為零或勝負(fù)各參半的賭博；如：1萬(wàn)元×50%+（-1萬(wàn)元）×50%=0（元）有利賭博：指預(yù)期收益大于零或贏的可能性超過(guò)一半的賭博。“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)率正好與損失發(fā)生的概率相等。

1/10/2023數(shù)學(xué)建模如，這種賭博：90%的可能贏1萬(wàn)元，10%的可能輸10元，這預(yù)期效用及其函數(shù)：人們對(duì)不確定情況下的收入或消費(fèi)也應(yīng)當(dāng)有一種偏好順序，如，人們偏好“90%的可能贏1萬(wàn)元，10%的可能輸1千元。”勝過(guò)“60%的可能贏1萬(wàn)元，40%的可能性輸100元。”90%×（1萬(wàn)元）+10%×（－1000元）=8,900（元）60%×（1萬(wàn)元）+40%×（－100元）=5,960（元）

那么，如何來(lái)排列這種偏好順序呢？最方便的方法就是按“預(yù)期效用”（ExpectedUtility）的大小來(lái)排序。

（

1/10/2023數(shù)學(xué)建模預(yù)期效用及其函數(shù)：人們對(duì)不確定情況下的收入或消費(fèi)也應(yīng)當(dāng)有一種預(yù)期效用：取決于各種情況出現(xiàn)的概率和相應(yīng)的概率下可享用的收入或消費(fèi)的效用。如，若未來(lái)可能出現(xiàn)兩種狀態(tài)，狀態(tài)1和狀態(tài)2，兩種狀態(tài)出現(xiàn)的概率分別為和即只有這兩種可能性。C1和C2分別代表狀態(tài)1和狀態(tài)2下的收入或消費(fèi)，那么預(yù)期效用函數(shù)：EU=。其中U(C1)和U(C2)為一般的效用函數(shù)。預(yù)期效用函數(shù)EU稱(chēng)為“馮·諾伊曼—摩根斯坦效用函數(shù)”（VonNeunaun——MorgensternUtilityFunction），以本世紀(jì)美國(guó)著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼和經(jīng)濟(jì)學(xué)家?jiàn)W·摩根斯坦名字命名的，他們兩人在數(shù)學(xué)博奕論領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)。1/10/2023數(shù)學(xué)建模預(yù)期效用：取決于各種情況出現(xiàn)的概率和相應(yīng)的概率下可享用的收入若消費(fèi)者一般的效用函數(shù)為U=LnC則，預(yù)期效用函數(shù)為：EU=lLnC1+2LnC2若U=C，則預(yù)期效用函數(shù)為：EU=此時(shí)，預(yù)期效用等于期望值。一般地若可能出現(xiàn)n種狀態(tài),每一種壯態(tài)出現(xiàn)的概率為預(yù)期效用函數(shù)為：EU=EU=

1/10/2023數(shù)學(xué)建模若消費(fèi)者一般的效用函數(shù)為U=LnCEU=1/9/2023保險(xiǎn)市場(chǎng)：風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者必定會(huì)參加保險(xiǎn)，但沒(méi)有說(shuō)明他會(huì)投保多少金額，假設(shè)他面臨損失10,000元的風(fēng)險(xiǎn)，那么，他會(huì)向保險(xiǎn)公司投保10,000元的金額，并繳納相應(yīng)的保險(xiǎn)費(fèi)，還是投保15,000元或5,000元金額？這與保險(xiǎn)費(fèi)率的高低以及人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度有關(guān)。假定您現(xiàn)在擁有的財(cái)產(chǎn)為W，您面臨損失L的可能性（如遭竊、失火、生病、住院等），發(fā)生損失的可能性為,保險(xiǎn)費(fèi)率為r，即您需要支付rk來(lái)購(gòu)買(mǎi)一張金額（最高賠償額）為K的保險(xiǎn)單。損失沒(méi)有發(fā)生的情況為第1種狀態(tài)，1狀態(tài)您擁有的財(cái)產(chǎn)為C1C1=W-rK1/10/2023數(shù)學(xué)建模保險(xiǎn)市場(chǎng)：C1=W-rK1/9/2023數(shù)學(xué)建模因?yàn)闊o(wú)論損失發(fā)生與否，保險(xiǎn)費(fèi)是不退回的。損失不幸發(fā)生了，為第2種狀態(tài)，此時(shí)，您能從保險(xiǎn)公司得到金額為K的賠償，您擁有的財(cái)富為C2=W-L-rK+K2狀態(tài)發(fā)生的概率為，1狀態(tài)出現(xiàn)的概率為1-。從保險(xiǎn)公司的角度來(lái)考察，二狀態(tài)出現(xiàn)，保險(xiǎn)公司需支付保險(xiǎn)費(fèi)K；一狀態(tài)出現(xiàn)，保險(xiǎn)公司沒(méi)有任何支出。但無(wú)論那種狀態(tài)出現(xiàn)，保險(xiǎn)公司總能收入保險(xiǎn)費(fèi)rk，假設(shè)沒(méi)有許多人（如10萬(wàn)人）投保，各人之間遭受損失是相互獨(dú)立的，則保險(xiǎn)公司從每個(gè)投保人身上可得的預(yù)期利潤(rùn)：1/10/2023數(shù)學(xué)建模因?yàn)闊o(wú)論損失發(fā)生與否，保險(xiǎn)費(fèi)是不退回的。1/9/2023數(shù)學(xué)即若投保人數(shù)n足夠大，保險(xiǎn)公司的平均利潤(rùn)將接近n從保險(xiǎn)公司來(lái)看，只要收支能平衡，它就愿意經(jīng)營(yíng)這項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，且保險(xiǎn)市場(chǎng)上有許多家保險(xiǎn)公司，且任何廠商均可自由進(jìn)出該行業(yè)，則保險(xiǎn)市場(chǎng)將接近完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，每家保險(xiǎn)公司的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)將被壓低到最低限度----零。即保險(xiǎn)公司由于激烈的競(jìng)爭(zhēng)會(huì)向顧客提供完全“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)率，即等于投保人總體遭受損失的概率，即r=,從而利潤(rùn)p=0。

1/10/2023數(shù)學(xué)建模即若投保人數(shù)n足夠大，保險(xiǎn)公司的平均利潤(rùn)將接近n1/9/這樣的簡(jiǎn)單化假設(shè)并不太離奇，世界上規(guī)模大，經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)廣，跨地區(qū)多的保險(xiǎn)公司所提供的保險(xiǎn)費(fèi)率都十分接近“公平”費(fèi)率，因?yàn)榇蠊靖菀鬃龅椒稚L(fēng)險(xiǎn)，收取“公平”費(fèi)率就足以應(yīng)付賠償支出了。甚至連賭場(chǎng)也是如此，大賭場(chǎng)比小賭場(chǎng)更能提供“公平”（預(yù)期收益接近于零）的賭博機(jī)會(huì)。那么，一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者（riskevader）將如何選擇K的大??？風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的主要特征：在相同的期望值或預(yù)期收益下，風(fēng)險(xiǎn)越小，效用水平越高。而投保人的期望財(cái)富值EC為：1/10/2023數(shù)學(xué)建模這樣的簡(jiǎn)單化假設(shè)并不太離奇，世界上規(guī)模大，經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)廣，跨地區(qū)EC=(1-)C1+C2===W-L（)所以期望值是既定的，與投保金額K的大小無(wú)關(guān)。在這種情況下，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者希望使不確定性降到最低限度。即沒(méi)有任何風(fēng)險(xiǎn)或不確定性，這意味著投保人在任何一種狀態(tài)下，都將擁有相同數(shù)量的財(cái)產(chǎn)，即：C1=C2w-rK=w-L-rK+K得出K=L1/10/2023數(shù)學(xué)建模EC=(1-)C1+C2==結(jié)論：面臨“公平”費(fèi)率的情況下，厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投保人將對(duì)可能遭受的損失進(jìn)行全額保險(xiǎn)。如，若投保人面臨損失10,000元的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)率為1%，則規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的投保人會(huì)支付100元的保險(xiǎn)費(fèi)，購(gòu)買(mǎi)一張最高賠償額為10,000元的保險(xiǎn)單。眾所周知，保險(xiǎn)是風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的主要手段之一，每個(gè)人通過(guò)保險(xiǎn)公司將自己的風(fēng)險(xiǎn)分散到所有相關(guān)投保人身上，從而將自己的風(fēng)險(xiǎn)降到最低限度。所以，別以為是保險(xiǎn)公司真正提供了保險(xiǎn)或賠償了損失。在火災(zāi)保險(xiǎn)的情況下，失火的風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)許多面臨該風(fēng)險(xiǎn)的投保人的分擔(dān)而分散了，是那些出于謹(jǐn)慎投了保而沒(méi)有遭受火災(zāi)的人真正為火災(zāi)提供了保險(xiǎn)，是他們支付的保險(xiǎn)費(fèi)，使得保險(xiǎn)公司能夠在客戶(hù)提出賠償要求時(shí)給予賠償。1/10/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：面臨“公平”費(fèi)率的情況下，厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投保人將對(duì)可能遭受如使上述模型中的保險(xiǎn)市場(chǎng)有效運(yùn)轉(zhuǎn)，需要兩個(gè)前提條件：首先，分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的人必須是相互獨(dú)立的。如，在人壽保險(xiǎn)中，一般情況下，死亡是一種個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)，并不構(gòu)成社會(huì)風(fēng)險(xiǎn)，若A君死亡，他可能死于心臟病、癌癥或車(chē)禍（現(xiàn)代都市三大死亡原因），但他的死亡原因反映的只是他自己的情況，不會(huì)增加或減少B君、C君或其他人死亡的可能性，所以人壽保險(xiǎn)市場(chǎng)可以穩(wěn)步發(fā)展起來(lái)。但若流行病很猖劂，情況就不同，若社會(huì)死亡率為1%指的是某種惡性流行?。ㄈ缁魜y）暴發(fā)流行的可能性為1%，且疾病一旦流行人人都有死亡的危險(xiǎn)，那么這樣的人壽保險(xiǎn)市場(chǎng)將不可能有效運(yùn)轉(zhuǎn)。1/10/2023數(shù)學(xué)建模如使上述模型中的保險(xiǎn)市場(chǎng)有效運(yùn)轉(zhuǎn)，需要兩個(gè)前提條件：1/9/再如，一個(gè)地方性的保險(xiǎn)公司是無(wú)法獨(dú)立承擔(dān)自然災(zāi)害保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的，自然災(zāi)害（如臺(tái)風(fēng)、洪水、地震）不來(lái)則已，一旦發(fā)生，區(qū)域內(nèi)無(wú)一投保人能幸免，保險(xiǎn)公司靠幾個(gè)百分點(diǎn)的保險(xiǎn)收入是無(wú)法進(jìn)行賠償?shù)?。所以風(fēng)險(xiǎn)不是充分獨(dú)立的情況下，保險(xiǎn)或分散風(fēng)險(xiǎn)就不起作用。所以許多中小型保險(xiǎn)公司還會(huì)參加再保險(xiǎn)（Reinsurance）。例如，美國(guó)著名的勞埃德協(xié)會(huì)（Lloyd's）就是一家保險(xiǎn)公司的聯(lián)合組織或保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)公司，風(fēng)險(xiǎn)在成員保險(xiǎn)公司之間進(jìn)一步分散。1/10/2023數(shù)學(xué)建模再如，一個(gè)地方性的保險(xiǎn)公司是無(wú)法獨(dú)立承擔(dān)自然災(zāi)害保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的，其次，保險(xiǎn)市場(chǎng)的有效運(yùn)轉(zhuǎn)要求不存在“敗德行為”（Moralhazard）。敗德行為：投保后的人們做出的種種使不利支付發(fā)生的概率上升或保險(xiǎn)公司賠償金額增加的行為。如，買(mǎi)了住院保險(xiǎn)的人病已痊愈而遲遲不肯出院，買(mǎi)了車(chē)輛盜竊保險(xiǎn)的車(chē)主將沒(méi)上鎖的車(chē)隨處停放，等等。若存在這些行為，那么，保險(xiǎn)公司按原來(lái)狀況下的概率計(jì)算的保險(xiǎn)費(fèi)率將使保險(xiǎn)公司陷于財(cái)務(wù)危機(jī)，這一問(wèn)題屬于“不對(duì)稱(chēng)信息”問(wèn)題。1/10/2023數(shù)學(xué)建模其次，保險(xiǎn)市場(chǎng)的有效運(yùn)轉(zhuǎn)要求不存在“敗德行為”（Moral消費(fèi)者的目標(biāo)是力求效用極大化，所以在選擇投資資產(chǎn)時(shí)，均值---方差效用函數(shù)將成為消費(fèi)者的目標(biāo)函數(shù)。在風(fēng)險(xiǎn)投資市場(chǎng)上，對(duì)均值---方差效用函數(shù)構(gòu)成的約束條件是什么呢？假定在投資市場(chǎng)上，消費(fèi)者可以在兩種資產(chǎn)中進(jìn)行選擇：一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（Risk---freeasset）,這種資產(chǎn)能夠保證投資者得到固定的rf作為投資回報(bào)率或收益率，如，銀行存款為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；另一種為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，這種資產(chǎn)的收益率是事先無(wú)法確定和預(yù)知的，如，股票的收益率取決于股市的走向和相關(guān)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況。資產(chǎn)組合選擇模型

1/10/2023數(shù)學(xué)建模消費(fèi)者的目標(biāo)是力求效用極大化，所以在選擇投資資產(chǎn)時(shí)，：第i種狀態(tài)發(fā)生時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率；：第i種狀態(tài)發(fā)生的概率；：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益或未來(lái)收益的均值；：相應(yīng)收益的標(biāo)準(zhǔn)差。（相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的標(biāo)準(zhǔn)差）若您不是一個(gè)走極端的投資者，您多半會(huì)將財(cái)富同時(shí)分配在兩種資產(chǎn)上，設(shè)投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為X，則，投入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為1-X。這樣一種資產(chǎn)組合（Portfolio）的收益均值1/10/2023數(shù)學(xué)建模：第i種狀態(tài)發(fā)生時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率；1結(jié)論：資產(chǎn)組合的預(yù)期收益是兩種組合資產(chǎn)預(yù)期收益的加權(quán)平均。這一投資組合的方差為：

1/10/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：1/9/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：資產(chǎn)組合收益率的方差為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率方差與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所占比例平方的乘積。

相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為：

在正常情況下，rm應(yīng)該大于rf，因?yàn)樽鳛轱L(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的投資者的要求風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)具有比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)更高的收益率，即rm>rf，所以在資產(chǎn)組合中，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例X越高，預(yù)期收益率越高，但未來(lái)收益的不確定性或風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)相應(yīng)增大。

（

1/10/2023數(shù)學(xué)建模結(jié)論：（1/9/2023數(shù)學(xué)建模

資產(chǎn)組合均衡點(diǎn)為無(wú)差異曲線(xiàn)與預(yù)算約束線(xiàn)的切點(diǎn)，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)與收益的邊際替代率等于風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格。均值（）標(biāo)準(zhǔn)差（）

圖：資產(chǎn)組合選擇1/10/2023數(shù)學(xué)建模資產(chǎn)組合均衡點(diǎn)為無(wú)差異曲線(xiàn)與預(yù)算約束線(xiàn)的切點(diǎn)，

橫軸表示資產(chǎn)組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差，縱軸表示均值，若投資者將所有的資產(chǎn)投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即X=1，那么均值---標(biāo)準(zhǔn)差的組合為，即圖中的B點(diǎn)；反之，若投資者將所有的資產(chǎn)投入無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即X=0，那么資產(chǎn)組合的均值---標(biāo)準(zhǔn)差為（rf,O），即A點(diǎn)。若0<X<1，投資者改變無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比重，相應(yīng)資產(chǎn)組合的均值---標(biāo)準(zhǔn)差即為圖中AB連線(xiàn)上的一點(diǎn)。A、B兩點(diǎn)決定的直線(xiàn)方程為：1/10/2023數(shù)學(xué)建模橫軸表示資產(chǎn)組合收益的標(biāo)準(zhǔn)差，縱軸表示均值，若投資者將所

將

以及代入（1）式等號(hào)成立，所以AB線(xiàn)即為所求的預(yù)算約束線(xiàn)。按照均值——方差效用函數(shù)，在圖中可畫(huà)出無(wú)差異曲線(xiàn)U1、U2，每一條無(wú)差異曲線(xiàn)代表效用水平既定時(shí)的各種均值——標(biāo)準(zhǔn)差的可能組合。假設(shè)人們總體上是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，所以標(biāo)準(zhǔn)差代表的風(fēng)險(xiǎn)是一種“負(fù)商品”，且從右下方往左上方向無(wú)差異曲線(xiàn)代表的效用水平越來(lái)越高。1/10/2023數(shù)學(xué)建模代入（1）式等號(hào)成立，標(biāo)準(zhǔn)差的增加是一種“負(fù)商品“，那么標(biāo)準(zhǔn)差的減少即為“正常商品”，或者直觀的說(shuō)，因?yàn)槿藗儏拹猴L(fēng)險(xiǎn)，隨著風(fēng)險(xiǎn)程度（標(biāo)準(zhǔn)差）的提高，人們要求預(yù)期效益更大幅度的提高來(lái)補(bǔ)償標(biāo)準(zhǔn)差單位水平的上升。有了預(yù)算約束線(xiàn)和無(wú)差異曲線(xiàn)，便能找到“最佳”的投資資產(chǎn)組合，即圖中的E點(diǎn)，無(wú)差異曲線(xiàn)的斜率與預(yù)算約束線(xiàn)的斜率相等，這一斜率稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格，（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格：風(fēng)險(xiǎn)與收益在資產(chǎn)選擇中可以此消彼長(zhǎng)的相互關(guān)系，或兩者之間的交換比率）1/10/2023數(shù)學(xué)建模標(biāo)準(zhǔn)差的增加是一種“負(fù)商品“，那么標(biāo)準(zhǔn)差的減少即為“正常商品所以風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格P=從消費(fèi)者理論可知，這一價(jià)格即為無(wú)差異曲線(xiàn)在E點(diǎn)的邊際替代率，即在E點(diǎn)成立下式：即無(wú)差異曲線(xiàn)在E點(diǎn)切線(xiàn)的斜率。MRS=（MarginalRateofSubstitution）1/10/2023數(shù)學(xué)建模所以風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格P=1/9/2023數(shù)學(xué)建模若風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)上有許多投資者，不管各人的無(wú)差異曲線(xiàn)形狀如何，達(dá)到均衡時(shí)每個(gè)投資者風(fēng)險(xiǎn)與收益的邊際替代率都應(yīng)該相等，即，當(dāng)人們可以自由地通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)交換風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，市場(chǎng)上只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格，從這個(gè)角度看，風(fēng)險(xiǎn)與普通商品并無(wú)不同。所以風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)，就是以風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格為依據(jù)的。1/10/2023數(shù)學(xué)建模若風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)上有許多投資者，不管各人的無(wú)差異曲線(xiàn)形

要給某一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)，除了需要知道風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格之外，還需要知道這種資產(chǎn)“含有”多少風(fēng)險(xiǎn)？若風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)上有不止一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，就不能簡(jiǎn)單地用某一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)。例如，假設(shè)有兩個(gè)企業(yè)的股票，A企業(yè)為石油生產(chǎn)企業(yè)，而B(niǎo)企業(yè)為以石油作為主要投入的企業(yè)，未來(lái)兩種股票的價(jià)格都只有兩種可能，取決于未來(lái)的油價(jià)是高是低：資本資產(chǎn)定價(jià)模型1/10/2023數(shù)學(xué)建模資本資產(chǎn)定價(jià)模型1/9/2023數(shù)學(xué)建模油價(jià)高油價(jià)低股票A10元2元股票B2元10元股票A的高價(jià)位總是伴隨著B(niǎo)的低價(jià)位，則稱(chēng)這兩種股票是負(fù)相關(guān)（Negativelycorrelated）。假設(shè)未來(lái)油價(jià)高、低的可能性各占一半，則每種股票的期望值都為6元。若在存在多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供選擇，某一種資產(chǎn)的價(jià)格并不完全取決于本身的風(fēng)險(xiǎn)大小，而是取決于這種資產(chǎn)與別的資產(chǎn)的價(jià)格變化之間的相關(guān)關(guān)系。為了便于衡量某一種資產(chǎn)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)程度，引入了一個(gè)系數(shù)，某種股票的值就是該股票相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)程度，即第i種股票的值為

1/10/2023數(shù)學(xué)建模油價(jià)高=………………（1）

股票的β值收益率

繁榮一般蕭條市場(chǎng)平均104-2Β>1的資產(chǎn)1610-8Β=1的資產(chǎn)104-20<Β<1的資產(chǎn)531Β<0的資產(chǎn)235

1/10/2023數(shù)學(xué)建模=………………（1）

若股票的值為1，則該股票與整個(gè)股市相同，若股市指數(shù)上升10%，它也應(yīng)大致上升10%，若β值大于1，那么，該股票與大市同漲同跌，但幅度要大得多；若0<β<1，則該股票與大市相比漲跌幅度要小一些；若β<0，那么該股票是“逆經(jīng)濟(jì)風(fēng)向”的，其收益率波動(dòng)方向與大市相反。

有了β系數(shù)，便可以分析風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)選擇的均衡，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡時(shí)，所有資產(chǎn)經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)程度調(diào)整后，或去除風(fēng)險(xiǎn)因素后，收益率應(yīng)該相等.。

問(wèn)題的關(guān)鍵在于，如何調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)值？（

1/10/2023數(shù)學(xué)建模

（1/9/2023數(shù)學(xué)建模∵風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格P=

某一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)度為βi，而整個(gè)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)度為其標(biāo)準(zhǔn)差σm，所以第i種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)總量應(yīng)為：βiσm（由（1）式可得）。所以第i種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值=風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)總量的乘積，即，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值=所以若有兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i和j，其預(yù)期收益為和，β值為和，1/10/2023數(shù)學(xué)建模∵風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格P=1/9/2023數(shù)學(xué)建模下式應(yīng)成立：即，兩種資產(chǎn)的預(yù)期收益率經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值調(diào)整后應(yīng)相等，否則，沒(méi)有人會(huì)購(gòu)買(mǎi)調(diào)整后收益率底的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。并且，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)去除風(fēng)險(xiǎn)因素后其收益率應(yīng)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相等，即：

整理后可得：……………..(2)1/10/2023數(shù)學(xué)建模下式應(yīng)成立：1/9/2023數(shù)學(xué)建模（2）式這一般性的結(jié)論，即，任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均衡收益率可以分成兩部分，一部分為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)應(yīng)有的收益率，另一部分為“風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)”（Riskpremium），即按照該資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)大小而定的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整值，它表示為了讓人們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)而必須予以的補(bǔ)償。這一結(jié)論稱(chēng)為資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CapitalAssetpricingModel，

“CAPM”），即：這一模型是本世紀(jì)50、60年代一些證券分析家及研究人員提出來(lái)的，如美國(guó)的馬柯維茲（Markowity）最早提出了現(xiàn)代投資組合理論，1/10/2023數(shù)學(xué)建模（2）式這一般性的結(jié)論，即，任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均衡收益率可在其基礎(chǔ)上由夏普（williamF.sharpe）。林特納(Johnlintner)和莫辛（Janmossin）發(fā)展了資本市場(chǎng)理論，建立起資本資產(chǎn)定價(jià)模型。這一結(jié)論可以用圖象表示。橫軸表示β值，縱軸表示預(yù)期收益率，則，所有的均值點(diǎn)都在一條直線(xiàn)上，其縱截距為，斜率為：，這條直線(xiàn)稱(chēng)為“市場(chǎng)線(xiàn)”（Marketline）預(yù)期收益率（ri）

Arm

rf01L:ri=rf+βi(rm-rf)市場(chǎng)線(xiàn)(斜率=rm-rf)β值1/10/2023數(shù)學(xué)建模在其基礎(chǔ)上由夏普（williamF.sharpe）。林特納市場(chǎng)線(xiàn)”代表了市場(chǎng)均衡條件下預(yù)期收益和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之間存在的線(xiàn)性關(guān)系。圖：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)線(xiàn)若某一種資產(chǎn)的預(yù)期收益和β值不在市場(chǎng)線(xiàn)上，如，在市場(chǎng)線(xiàn)L的上方的A點(diǎn)處，以股票為例，假定某種股票當(dāng)期不發(fā)紅利或紅利可以忽略不計(jì)，那么該股票預(yù)期收益率為預(yù)期下期價(jià)格相對(duì)于當(dāng)前價(jià)格的上漲率：即，因?yàn)锳點(diǎn)在市場(chǎng)線(xiàn)L上方，∴1/10/2023數(shù)學(xué)建模市場(chǎng)線(xiàn)”代表了市場(chǎng)均衡條件下預(yù)期收益和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)之間存在的線(xiàn)所以購(gòu)買(mǎi)這種股票將是十分有利可圖的，因?yàn)榻?jīng)風(fēng)險(xiǎn)值調(diào)整后，該股票的預(yù)期收益率要高于市場(chǎng)上其他股票，即，該股票的當(dāng)前價(jià)格P0被低估了。一旦人們發(fā)現(xiàn)了這種股票都會(huì)搶著購(gòu)買(mǎi)，于是該股票價(jià)格P0會(huì)被提高，相應(yīng)地，

會(huì)下降，直至A點(diǎn)回到市場(chǎng)線(xiàn)上。眾所周知，在股票市場(chǎng)上，許多專(zhuān)家和投機(jī)者都在尋找位于市場(chǎng)線(xiàn)上方的股票，所以在一個(gè)高效率，或充分信息的市場(chǎng)上，將不會(huì)出現(xiàn)股票價(jià)格被高估或被低估的情況。1/10/2023數(shù)學(xué)建模所以購(gòu)買(mǎi)這種股票將是十分有利可圖的，因?yàn)榻?jīng)風(fēng)險(xiǎn)值調(diào)整后，當(dāng)然，這一模型的前提是人們對(duì)所有資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)都有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，否則，該模型要復(fù)雜得多?！百Y本資產(chǎn)定價(jià)模型”假定投資者可在下列資產(chǎn)中進(jìn)行選擇：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以及幾種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其預(yù)期收益分別為，若投入每一種資產(chǎn)的比例為則組合資產(chǎn)的預(yù)期收益和方差分別為：R=1/10/2023數(shù)學(xué)建模當(dāng)然，這一模型的前提是人們對(duì)所有資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)都有統(tǒng)（為資產(chǎn)i與資產(chǎn)j收益的協(xié)方差（i≠j），或第I種資產(chǎn)收益的方差（i=j））資產(chǎn)組合選擇就是要解決下面的條件極值：1/10/2023數(shù)學(xué)建模（為資產(chǎn)i與資產(chǎn)j收益的協(xié)方差（i≠j），或第此處并不要求＞0，即允許對(duì)任何一種資產(chǎn)買(mǎi)空賣(mài)空。建立拉格朗日函數(shù)：L=

若在幾種可供選擇的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，有一種是互助基金，且這一基金是均值---方差最優(yōu)，即本身就符合（1）式的一階條件，1/10/2023數(shù)學(xué)建模此處并不要求＞0，即允許對(duì)任何一種資產(chǎn)買(mǎi)空賣(mài)空。令這一資產(chǎn)為第種資產(chǎn)，那么的投資方式也是最優(yōu)的。在（1）式中，，從而第i個(gè)一階條件變成：由（1）式得2在（2）式中，當(dāng)i=0時(shí)，由（2）式得：當(dāng)i=e時(shí)，，即資產(chǎn)e的方差由（2）可得，

1/10/2023數(shù)學(xué)建模令這一資產(chǎn)為第種資產(chǎn)，那么

⑷-⑶

將（5）代入（3）

將（5）、（6）代入（2）得：假設(shè)在基金e中，第i種資產(chǎn)所占比例為，則。

1/10/2023數(shù)學(xué)建模⑷-⑶1/9/2023數(shù)學(xué)建模設(shè)有m位投資者，：第K位投資者投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富；：第K位投資者購(gòu)買(mǎi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的數(shù)量；

：?jiǎn)挝伙L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的價(jià)格。

則……(8)…..(9)1/10/2023數(shù)學(xué)建模設(shè)有m位投資者，：第K位投資者投入風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的由（9）式，可知，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)總值：；

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的市場(chǎng)總值：。

：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)總值中所占的比重。

所以（7）式可寫(xiě)成：

(10)式中下標(biāo)為m：市場(chǎng)總體，令1/10/2023數(shù)學(xué)建模由（9）式，可知，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)總值：“資本資產(chǎn)定價(jià)模型”為：

值的真正含義：某一種資產(chǎn)i的收益和市場(chǎng)收益的協(xié)方差與市場(chǎng)收益的方差之比。例如，某種股票的

值為1.5,市場(chǎng)平均收益率為10%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為5%。（1）按照CAPM，這種股票的預(yù)期收益應(yīng)達(dá)到多少？（2）若預(yù)計(jì)此種股票未來(lái)的價(jià)格將為100元，目前的市場(chǎng)價(jià)格為多少？CAPM（capitalassetpricingmodel）1/10/2023數(shù)學(xué)建?！百Y本資產(chǎn)定價(jià)模型”為：CAPM（capitalasset

由題意可知：

即，這種股票的預(yù)期收益為12.5%；

(2)由

其中，E（P1）：預(yù)期股票未來(lái)的價(jià)格；P0：股票當(dāng)前價(jià)格。所以由題意可知：E（P1）=100元，Ri=12.5%解：（1）由CAPM理論可得：1/10/2023數(shù)學(xué)建模由題意可知：解：（1）由CAPM理