文本為Word版本，下載可任意編輯第第頁(yè)反函數(shù)數(shù)學(xué)教案

反函數(shù)數(shù)學(xué)教案1

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解反函數(shù)的概念,初步掌握求反函數(shù)的方法.

2.通過(guò)反函數(shù)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力及抽象概括的能力.

3.通過(guò)反函數(shù)的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生樹立辨證唯物主義的世界觀.

教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn)

重點(diǎn)是反函數(shù)概念的形成與認(rèn)識(shí).

難點(diǎn)是掌握求反函數(shù)的方法.

教學(xué)用具

投影儀

教學(xué)方法

自主學(xué)習(xí)與啟發(fā)結(jié)合法

教學(xué)過(guò)程

一.揭示課題

今天我們將學(xué)習(xí)函數(shù)中一個(gè)重要的概念反函數(shù).

1.4.反函數(shù)(板書)

(一)反函數(shù)的概念(板書)

二.講解新課

教師首先提出這樣一個(gè)問(wèn)題:在函數(shù)中,如果把當(dāng)作因變量,把當(dāng)作自變量,能否構(gòu)成一個(gè)函數(shù)呢?(讓學(xué)生思考后回答,要講明理由)可以根據(jù)函數(shù)的定義在的允許取值范圍內(nèi)的任一值,按照法則都有唯一的與之相對(duì)應(yīng).(還可以讓學(xué)生畫出函數(shù)的圖象,從形的角度解釋“任一對(duì)唯一”)

學(xué)生解釋后教師指出不管從哪個(gè)角度,它都是一個(gè)函數(shù),即有反函數(shù),而且把這個(gè)函數(shù)稱為的反函數(shù).那么這個(gè)反函數(shù)的解析式是什么呢?

由學(xué)生回答出應(yīng)為.教師再提出它作為函數(shù)是沒(méi)有問(wèn)題的,但不太符合我們的表示習(xí)慣,按習(xí)慣用表示自變量,用表示因變量,故它又可以改寫成,改動(dòng)之后帶來(lái)一個(gè)新問(wèn)題:和是同一函數(shù)嗎?

由學(xué)生討論,并說(shuō)明理由,要求學(xué)生能從函數(shù)三要素的角度去認(rèn)識(shí),并給出解釋,讓學(xué)生真正承認(rèn)它們是同一函數(shù).并把叫做的反函數(shù).繼而再提出:有反函數(shù)嗎？是哪個(gè)函數(shù)?

學(xué)生很快會(huì)意識(shí)到是的反函數(shù),教師可再引申為與是互為反函數(shù)的.然后利用問(wèn)題再引申:是不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)呢?如果有,請(qǐng)舉出例子.在教師啟發(fā)下學(xué)生可以舉出象這樣的函數(shù),若將當(dāng)自變量,當(dāng)作因變量,在允許取值范圍內(nèi)一個(gè)可能對(duì)兩個(gè)(可畫圖輔助說(shuō)明,當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)),不能構(gòu)成函數(shù),說(shuō)明此函數(shù)沒(méi)有反函數(shù).

通過(guò)剛才的例子,了解了什么是反函數(shù),把對(duì)的反函數(shù)的研究過(guò)程一般化,概括起來(lái)就可以得到反函數(shù)的定義,但這個(gè)數(shù)學(xué)的抽象概括,要求比較高,因此我們一起閱讀書上相關(guān)的內(nèi)容.

1.反函數(shù)的定義:(板書)(用投影儀打出反函數(shù)的定義)

為了幫助學(xué)生理解,還可以把定義中的換成某個(gè)具體簡(jiǎn)單的函數(shù)如解釋每一步驟,如得,再判斷它是個(gè)函數(shù),最后改寫為.給出定義后,再對(duì)概念作點(diǎn)深入研究.

2.對(duì)概念得理解(板書)

教師先提出問(wèn)題:反函數(shù)的“反”字應(yīng)當(dāng)是相對(duì)原來(lái)給出的函數(shù)而言,指的是兩者的關(guān)系你能否從函數(shù)三要素的角度解釋“反”的含義呢?(仍可以與為例來(lái)說(shuō))

學(xué)生很容易先想到對(duì)應(yīng)法則是“反”過(guò)來(lái)的,把與的位置換位了,教師再追問(wèn)它們的互換還會(huì)帶來(lái)什么變化?啟發(fā)學(xué)生找出另兩個(gè)要素之間的關(guān)系.最后得出結(jié)論:的定義域和值域分別由的值域和定義域決定的.再把結(jié)論從特殊發(fā)展到一般,概括為:反函數(shù)的三要素是由原來(lái)函數(shù)的三要素決定的.給出的函數(shù)確定了,反函數(shù)的三要素就已經(jīng)確定了.簡(jiǎn)記為“三定”.

(1)“三定”(板書)

然后要求學(xué)生把剛才的三定具體化,也就是“反”字的具體體現(xiàn).由學(xué)生一一說(shuō)出反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域,反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則就是把原來(lái)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則中與的位置互換.(用投影儀打出互換過(guò)程)如圖

最后教師進(jìn)一步明確“反”實(shí)際體現(xiàn)為“三反”,“三反”中起決定作用的是與的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范圍也帶走了,引起了另外兩“反”.

(2)“三反”(板書)

此時(shí)教師可把問(wèn)題再次引向深入,提出:如果一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù),應(yīng)怎樣求這個(gè)反函數(shù)呢?下面我給出兩個(gè)函數(shù),請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己對(duì)概念的理解來(lái)求一下它們的反函數(shù).

例1.求的反函數(shù).(板書)

(由學(xué)生說(shuō)求解過(guò)程,有錯(cuò)或不規(guī)范之處,暫時(shí)不追究,待例2解完之后再一起講評(píng))

解:由得,所求反函數(shù)為.(板書)

例2.求,的反函數(shù).(板書)

解:由得,又得,

故所求反函數(shù)為.(板書)

求完后教師請(qǐng)同學(xué)們作評(píng)價(jià),學(xué)生之間可以討論,充分暴露表述中得問(wèn)題,讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn),自行解決.最后找代表發(fā)表意見,指出例2中問(wèn)題,結(jié)果應(yīng)為,.

教師可先明知故問(wèn),與,有什么不同?讓學(xué)生明確指出兩個(gè)函數(shù)定義域分別是和,所以它們是不同的函數(shù).再追問(wèn)從何而來(lái)呢?讓學(xué)生能從三定和三反中找出理由,是從原來(lái)函數(shù)的值域而來(lái).

在此基礎(chǔ)上,教師最后明確要求,由于反函數(shù)的定義域必是原來(lái)函數(shù)的值域,而不是從自身解析式出發(fā)尋求滿足的條件,所以求反函數(shù),就必須先求出原來(lái)函數(shù)的值域.之后由學(xué)生調(diào)整剛才的求解過(guò)程.

解:由得,又得,

又的值域是,

故所求反函數(shù)為,.

(可能有的學(xué)生會(huì)提出例1中為什么不求原來(lái)函數(shù)的值域的問(wèn)題,此時(shí)不妨讓學(xué)生去具體算一算,會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)函數(shù)的值域域求出的函數(shù)解析式中所求定義域時(shí)一致的,所以使得最后結(jié)果沒(méi)有出錯(cuò).但教師必須指出結(jié)論得一致性只是偶然,而不是必然,因此為規(guī)范求解過(guò)程要求大家一定先求原來(lái)函數(shù)的值域,并且在最后所求結(jié)果上注明反函數(shù)的定義域,同時(shí)讓學(xué)生調(diào)整例的表述,將過(guò)程補(bǔ)充完整)

最后讓學(xué)生一起概括求反函數(shù)的步驟.

3.求反函數(shù)的步驟(板書)

(1)反解:

(2)互換

(3)改寫:

對(duì)以上環(huán)節(jié)教師可稍作解釋,然后提出再通過(guò)下面的練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)是否真正理解了.

三.鞏固練習(xí)

練習(xí):求下列函數(shù)的反函數(shù).

(1)(2).(由兩名學(xué)生上黑板寫)

解答過(guò)程略.

教師可針對(duì)學(xué)生解答中出現(xiàn)的問(wèn)題,進(jìn)行講評(píng).(如正負(fù)的選取,值域的計(jì)算,符號(hào)的.使用)

四.小結(jié)

1.對(duì)反函數(shù)概念的認(rèn)識(shí):

2.求反函數(shù)的基本步驟:

五.作業(yè)

課本第68頁(yè)習(xí)題2.4第1題中4,6,8,第2題.

六.板書設(shè)計(jì)

2.4反函數(shù)例1.練習(xí).

一.反函數(shù)的概念(1)(2)

1.定義

2.對(duì)概念的理解例2.

(1)三定(2)三反

3.求反函數(shù)的步驟

(1)反解(2)互換(3)改寫

反函數(shù)數(shù)學(xué)教案2

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解反函數(shù)的概念；

2.使學(xué)生會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)；

3.培養(yǎng)學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)觀察、分析解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)

1.反函數(shù)的概念；

2.反函數(shù)的求法。

教學(xué)難點(diǎn)

反函數(shù)的概念。

教學(xué)方法

師生共同討論

教具裝備

幻燈片2張

第一張：反函數(shù)的定義、記法、習(xí)慣記法。（記作A）；

第二張：本課時(shí)作業(yè)中的預(yù)習(xí)內(nèi)容及提綱。

教學(xué)過(guò)程

（I）講授新課

（檢查預(yù)習(xí)情況）

師：這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)反函數(shù)（板書課題）§2.4.1反函數(shù)的概念。

同學(xué)們已經(jīng)進(jìn)行了預(yù)習(xí)，對(duì)反函數(shù)的概念有了初步的了解，誰(shuí)來(lái)復(fù)述一下反函數(shù)的定義、記法、習(xí)慣記法？

生：（略）

（學(xué)生回答之后，打出幻燈片A）。

師：反函數(shù)的定義著重強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：

（1）根據(jù)y=f(x)中x與y的關(guān)系，用y把x表示出來(lái)，得到x=φ（y）；

（2）對(duì)于y在c中的任一個(gè)值，通過(guò)x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它對(duì)應(yīng)。

師：應(yīng)該注意習(xí)慣記法是由記法改寫過(guò)來(lái)的。

師：由反函數(shù)的定義，同學(xué)們考慮一下，怎樣的映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)呢？

生：一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)。

（學(xué)生作答后，教師板書，若學(xué)生答不來(lái)，教師再予以必要的啟示）。

師：在y=f(x)中與y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x與后者中的x都屬于同一個(gè)集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自變量，y是函數(shù)值；后者y是自變量，x是函數(shù)值。）

在y=f(x)中與y=f–1(x)中的x都是自變量，y都是函數(shù)值，即x、y在兩式中所處的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）

由此，請(qǐng)同學(xué)們談一下，函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)y=f–1(x)兩者之間，定義域、值域存在什么關(guān)系呢？

生：（學(xué)生作答，教師板書）函數(shù)的定義域，值域分別是它的反函數(shù)的值域、定義域。

師：從反函數(shù)的概念可知：函數(shù)y=f(x)與y=f–1(x)互為反函數(shù)。

從反函數(shù)的概念我們還可以知道，求函數(shù)的反函數(shù)的方法步驟為：

（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；

（2）將x=f–1(y)改寫成y=f–1(x)，即對(duì)調(diào)x=f–1(y)中的x、y。

（3）指出反函數(shù)的定義域。

下面請(qǐng)同學(xué)自看例1

（II）課堂練習(xí)課本P68練習(xí)1、2、3、4。

（III）課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反函數(shù)的概念，從中知道了怎樣的映射確定的函數(shù)才