《用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系（2）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．能理解二面角大小與兩個(gè)面法向量夾角之間的關(guān)系．2．能理解二面角的向量法的形成過(guò)程．3．能用向量方法求二面角的大小．4．通過(guò)二面角求解問(wèn)題，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：能用向量語(yǔ)言表述二面角的平面角．難點(diǎn)：能用向量方法求二面角以及相關(guān)應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、新課導(dǎo)入問(wèn)題導(dǎo)入：在學(xué)習(xí)新的一課之前，我們一起來(lái)思考這樣的一個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)平面有幾種位置關(guān)系？學(xué)生思考、回答追問(wèn)1：兩個(gè)平面相交形成四個(gè)二面角，二面角的范圍？答：0追問(wèn)2：如何衡量這兩個(gè)平面所形成二面角的大小？答：二面角的平面角師小結(jié)：引入本節(jié)課題，繼續(xù)來(lái)研究?jī)蓚€(gè)平面所形成的角.出示課題：用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系（2）．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題思考，讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，思考立體幾何中兩個(gè)平面的位置關(guān)系.教師展示實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生思考回答，通過(guò)教師小結(jié)繼續(xù)研究?jī)蓚€(gè)平面所形成的角，順利進(jìn)入本節(jié)課內(nèi)容．二、新知探究思考：如下圖所示，過(guò)二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)P作⊥α于點(diǎn)A，作PB⊥β于點(diǎn)B，則PA（或AP）是平面的一個(gè)法向量，PB分析：設(shè)平面PAB交直線(xiàn)l于點(diǎn)O，連接AO,BO，不難證明：l⊥PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.因?yàn)樵谒倪呅谓Y(jié)論：一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α-l-βθ=<ncos設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)方面：（1）兩個(gè)平面所成角的定義；（2）兩個(gè)平面所成角的取值范圍；（3）二面角的平面角與兩個(gè)平面的法向量的關(guān)系對(duì)兩個(gè)平面所成的角進(jìn)行研究，在探究中引導(dǎo)學(xué)生一步步思考，在思考中獲得知識(shí)，形成知識(shí)點(diǎn)以及對(duì)知識(shí)點(diǎn)在實(shí)踐中的運(yùn)用．三、應(yīng)用舉例例1如下圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A'B解：由AA'⊥平面ABCD，可知n因?yàn)锳'0，0，1，C1，1，0，D（0，1，0），所以n即y所以取n2cos<由上圖可知，二面角A'-DC-A例2．如下圖已知二面角α-l-β的平面角為2π3，點(diǎn)B，C在棱l解：因?yàn)锳B⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角為2πAD所以AD=2小結(jié)：用空間向量求平面α與平面β的夾角θ的步驟與方法：化為向量問(wèn)題化為向量問(wèn)題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問(wèn)題①轉(zhuǎn)化為求平面α與平面β的法向量n1，n②計(jì)算cos（n③平面α與平面β夾角θ的余弦值cosθ=cos設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩個(gè)例子對(duì)用線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)線(xiàn)線(xiàn)角和線(xiàn)面角實(shí)際問(wèn)題的思考，學(xué)生在實(shí)踐中加強(qiáng)練習(xí)，懂得運(yùn)用方法進(jìn)行問(wèn)題解決，嘗試自主實(shí)踐，進(jìn)行遷移應(yīng)用．四、課堂練習(xí)1.如圖所示，在正方體ABCD-A2.四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=π3參考答案：1.12解析：如下圖所示，建立直角坐標(biāo)系，平面ABD1的一個(gè)法向量為DA1=（0，1，1），平面CBD1的一個(gè)法向量為DC1=（1，0，1），2.eq\f(\r(10),5)解析：建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則點(diǎn)A3，0，0，B0，1，0，P0，0，32，C（-3，0，0）.因?yàn)镻A⊥PM，同時(shí)利用已知條件可知BC⊥PM，所以向量PA與向量BC所成的角就是二面角A-PM-C的大小，PA=3，0，-32，BC=（-3，-1，0）.解得cos<PA，BC>=-155，sin五、課堂小結(jié)1．兩個(gè)平面夾角的定義：空間中，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角，二面角可以用二面角的平面角來(lái)度量2．兩個(gè)平面夾角的向量求法：.化為向量問(wèn)題化為向量問(wèn)題進(jìn)行向