第九章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二重積分的概念與性質(zhì)第九章解法:

類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4)“取極限”令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.判斷積分的正負(fù)號(hào).解:分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù)

但不好估計(jì).舍去此項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.估計(jì)下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)D是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.計(jì)算解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對(duì)稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

P782，4，5P951(1),8第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)備用題1.估計(jì)的值,其中D為解:被積函數(shù)D的面積的最大值的最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.判斷的正負(fù).解：當(dāng)時(shí)，故又當(dāng)時(shí)，于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二重積分的計(jì)算法第九章一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x積分不行,說(shuō)明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)則特別,對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問(wèn)的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過(guò)變換T,在xoy面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同理得當(dāng)h,k充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

計(jì)算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.

試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.交換積分順序提示:積分域如圖機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P951(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);

11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);

15(1),(4);

*19(1);

*20(2)

第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解：原式備用題1.給定改變積分的次序.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.計(jì)算其中D為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三重積分第九章一、三重積分的概念

類似二重積分解決問(wèn)題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí),因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中為由例3.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性,所求立體體積為yoz面對(duì)稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說(shuō)明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.

將用三次積分表示,其中由所提示:思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)計(jì)算提示:利用對(duì)稱性原式=奇函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對(duì)稱性用球坐標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P1061(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題1.

計(jì)算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計(jì)算較繁!采用“三次積分”較好.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束所圍,故可思考:若被積函數(shù)為f(y)時(shí),如何計(jì)算簡(jiǎn)便?表為解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.計(jì)算其中解:利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束重積分的應(yīng)用第九章1.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問(wèn)題的方法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在xoy面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影為則出的面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.(見書P109)方法1利用球坐標(biāo)方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束將分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同理可得則得形心坐標(biāo)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x軸的

靜矩—對(duì)y軸的

靜矩機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為

h的均質(zhì)鋼液,解:利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似可得:對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)xoy面上的平面薄片D,它對(duì)原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解:由對(duì)稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:利用對(duì)稱性知引力分量點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束為球的質(zhì)量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P96

7，10,17P116

1，3，6,11,13,14習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí),設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問(wèn)高度為130cm的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題提示:記雪堆體積為V,側(cè)面積為S,則(用極坐標(biāo))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由題意知令得(小時(shí))因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100小時(shí).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*第五節(jié)一、被積函數(shù)含參變量的積分二、積分限含參變量的積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束含參變量的積分第九章一、被積函數(shù)含參變量的積分上的連續(xù)函數(shù),則積分確定了一個(gè)定義在[a,b]上的函數(shù),記作x稱為參變量,上式稱為含參變量的積分.含參積分的性質(zhì)定理1.(連續(xù)性)

上連續(xù),則由①確定的含參積分在[a,b]上連續(xù).—連續(xù)性,可積性,可微性:①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:在閉區(qū)域R上連續(xù),所以一致連續(xù),即只要就有就有這說(shuō)明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可交換的.同理可證,續(xù),則含參變量的積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由連續(xù)性定理易得下述可積性定理:定理2.(可積性)上連續(xù),同樣,推論:在定理2的條件下,累次積分可交換求積順序,即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.(可微性)都在證:令函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因上式左邊的變上限積分可導(dǎo),因此右邊且有此定理說(shuō)明,被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時(shí),求導(dǎo)與求積運(yùn)算是可以交換順序的.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.解:由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.解:考慮含參變量t的積分所確定的函數(shù)顯然,由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故因此得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、積分限含參變量的積分在實(shí)際問(wèn)題中,常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則也是參變量x的函數(shù),其定義域?yàn)閇a,b].利用前面的定理可推出這種含參積分的性質(zhì).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4.(連續(xù)性)上連續(xù),則函數(shù)證:令則由于被積函數(shù)在矩形域上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù)定理5.(可微性)都在中的可微函數(shù),則證:令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變限積分求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.分小時(shí),函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且證:令

在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),由定理5可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即同理于是作業(yè)

(*習(xí)題9-5)P1231(2),(3);2(2),(4);3;4(1);5(1)習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束習(xí)題課一、重積分計(jì)算的基本方法二、重積分計(jì)算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九章重積分的計(jì)算及應(yīng)用一、重積分計(jì)算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:面、線、點(diǎn))3.掌握確定積分限的方法——累次積分法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束練習(xí)計(jì)算積分其中D由所圍成.

P1242(3);6;7(1),(3)補(bǔ)充題:解答提示:(接下頁(yè))

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2(3).計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:利用極坐標(biāo)原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P1246.

把積分化為三次積分,其中由曲面提示:積分域?yàn)樵郊捌矫嫠鶉傻拈]區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P1247(1).計(jì)算積分其中是兩個(gè)球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計(jì)算方便.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P1247(3).計(jì)算三重積分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用柱坐標(biāo)原式繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P124補(bǔ)充題.計(jì)算積分其中D由所圍成.提示:如圖所示連續(xù),所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性1.交換積分順序的方法2.利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)練習(xí)題4.利用重積分換元公式P1231(總習(xí)題九);P124