第2課時(shí)參數(shù)方程第十三章

§13.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程N(yùn)EIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類(lèi)深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)PARTONE(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以______________從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么

就是曲線的參數(shù)方程.1.參數(shù)方程和普通方程的互化知識(shí)梳理ZHISHISHULI通過(guò)消去參數(shù)2.常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線_________________________圓__________(θ為參數(shù))x2＋y2＝r2橢圓_______________________拋物線y2＝2px(p>0)(1)t的幾何意義是什么？提示t表示在直線上過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)與直線上的任一點(diǎn)P(x，y)構(gòu)成的有向線段P0P的數(shù)量.(2)如何利用t的幾何意義求直線上任意兩點(diǎn)P1，P2的距離？【概念方法微思考】2.圓的參數(shù)方程中參數(shù)θ的幾何意義是什么？提示θ的幾何意義為該圓的圓心角.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)基礎(chǔ)自測(cè)JICHUZICE123456×√√題組二教材改編1234562.[P25例3]曲線

(θ為參數(shù))的對(duì)稱(chēng)中心A.在直線y＝2x上

B.在直線y＝－2x上

C.在直線y＝x－1上

D.在直線y＝x＋1上√所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對(duì)稱(chēng)中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上.123456解直線l的普通方程為x－y－a＝0，∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(guò)(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3.解將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.123456題組三易錯(cuò)自糾123456得(x＋2)2＋y2＝1，表示圓心為(－2,0)，半徑為1的圓.123456即圓心到直線的距離d≤r，1234566.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；123456解曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2cosθ，化為ρ2＝2ρcosθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.123456(2)設(shè)點(diǎn)P(m,0)，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|·|PB|＝1，求實(shí)數(shù)m的值.由Δ>0，解得－1<m<3.設(shè)t1，t2為方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴t1t2＝m2－2m.∵|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2－2m＝±1，2題型分類(lèi)深度剖析PARTTWO題型一參數(shù)方程與普通方程的互化1.(2018·開(kāi)封調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；自主演練解曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.(2)將曲線C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

，再將所得到的曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C1，求曲線C1上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值.再將所得曲線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)曲線C1上任一點(diǎn)P(cosθ，2sinθ)，2.在《圓錐曲線論》中，阿波羅尼奧斯第一次從一個(gè)對(duì)頂圓錐(直或斜)得到所有的圓錐曲線，并命名了橢圓(ellipse)、雙曲線(hyperboler)和拋物線(parabola)，在這本晦澀難懂的書(shū)中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿(mǎn)足

＝λ(λ>0且λ≠1)，P點(diǎn)的軌跡是圓.”這個(gè)圓我們稱(chēng)之為“阿波羅尼奧斯圓”.已知點(diǎn)M與長(zhǎng)度為3的線段OA兩端點(diǎn)的距離之比為

，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出M點(diǎn)的軌跡方程并化為參數(shù)方程.解由題意，以O(shè)A所在直線為x軸，過(guò)O點(diǎn)作OA的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，則O(0,0)，A(3,0).化簡(jiǎn)得(x＋1)2＋y2＝4，所以點(diǎn)M的軌跡是以(－1,0)為圓心，2為半徑的圓.消去參數(shù)的方法一般有三種(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù).(2)利用三角恒等式消去參數(shù).(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.思維升華題型二參數(shù)方程的應(yīng)用師生共研當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率.解將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.

①因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0.故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.(1)解決直線與橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系來(lái)解決.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2017·全國(guó)Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).(1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0.解直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，綜上，a＝8或a＝－16.題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用師生共研例2

(2017·全國(guó)Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為

(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為

(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.(1)寫(xiě)出C的普通方程；解消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去k得x2－y2＝4(y≠0).所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0).(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－

＝0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.解C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì)，靈活地利用坐標(biāo)法可以更簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題.例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解就是一種常見(jiàn)的解題方法，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2018·湖北八校聯(lián)考)已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝

，C2的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).①將曲線C1與C2的方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；消去參數(shù)t，得C2的普通方程為x＋y＝4.②若C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.(2)已知直線l：

(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.①將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；解ρ＝2cosθ變形為ρ2＝2ρcosθ.(ⅰ)將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入(ⅰ)式即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0.(ⅱ)②設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5，

)，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|MA|·|MB|的值.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE基礎(chǔ)保分練1234561.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

(θ為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程；所以直線l的方程為x＋2y－2＝0.123456(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn))作直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若P恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得(cos2θ1＋4sin2θ1)t2＋(2cosθ1＋4sinθ1)t－2＝0，1234562.在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－3，若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求圓C的一個(gè)參數(shù)方程；解因?yàn)棣?＝4ρ(cosθ＋sinθ)－3，所以x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5為圓C的直角坐標(biāo)方程，123456(2)在平面直角坐標(biāo)系中，P(x，y)是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，試求x＋2y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo).所以x＋2y的最大值為11，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3,4).1234563.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：

(θ為參數(shù))，直線l過(guò)定點(diǎn)(－2,2)，且斜率為

.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的參數(shù)方程；123456123456(2)點(diǎn)P在曲線C上，當(dāng)θ∈時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的最小距離并求點(diǎn)P的坐標(biāo).1234564.(2018·河南鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是

(θ為參數(shù))，以射線Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－ρsinθ－

＝0.(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，將直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；123456因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ，(2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長(zhǎng).123456123456123456得曲線C的普通方程為x2＋y2＋2y－3＝0.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知傾斜角為α的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,1).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

＝

.(1)寫(xiě)出曲線C的普通方程；123456技