函數(shù)的奇偶性【考點(diǎn)綜述】函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，正確掌握函數(shù)奇偶性的判斷、運(yùn)用奇偶性來判斷函數(shù)的單調(diào)性和作用，是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容．一些數(shù)學(xué)選擇題、填空題、計(jì)算題都會(huì)經(jīng)常遇到函數(shù)的奇偶性問題，如何快速、巧妙地判斷函數(shù)的奇偶性顯得尤為重要．【解題方法思維導(dǎo)圖預(yù)覽】

【解題方法】解題方法模板一：基本方法判定函數(shù)的奇偶性使用情景：函數(shù)表達(dá)式比較簡單，定義域也容易求解．解題模板：第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；第二步若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；第三步得出結(jié)論．例1判定下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）．（3）；（4）；【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；（4）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．解析】解題模板選擇：本題中所給的函數(shù)解析式比較簡單，故選取解題方法模板一基本方法判定函數(shù)的奇偶性進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：（1）第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)的定義域要求真數(shù)大于0，即，解得，函數(shù)的定義域．函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，第二步若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；，第三步得出結(jié)論．所以函數(shù)為奇函數(shù)．（2）第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；由題意可得，所以且，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，第二步若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；又，第三步得出結(jié)論．所以函數(shù)為偶函數(shù)．（3）第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；由得x2＝1，即x＝±1．因此函數(shù)的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對稱．第二步若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0，第三步得出結(jié)論．所以f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（4）第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)f（x）的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，第二步若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．【典型例題】1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，注意定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可得到所求結(jié)論．【詳解】C．定義域?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為非奇非偶函數(shù)；D．，，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為非奇非偶函數(shù)；B．，是正比例函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為奇函數(shù)；A．的定義域?yàn)?，，滿足，該函數(shù)為偶函數(shù)；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，運(yùn)用定義法解題，還涉及奇偶函數(shù)的性質(zhì)，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)函數(shù),的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】由題可得，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義依次判斷即可.【詳解】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，對于A，，故是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，，故是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，，故是奇函數(shù)，故C正確；對于D，，故是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】【詳解】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且即函?shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，對稱性，偶函數(shù)定義進(jìn)行判斷.【詳解】對于A,函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B,函數(shù)為減函數(shù)，不具備對稱性，不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C,，則函數(shù)是偶函數(shù)，滿足條件，故C正確；對于D,由得得，函數(shù)的定義為，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的判斷，首先需要考慮對稱軸是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再根據(jù)圖象是否關(guān)于軸對稱或利用定義判斷.5.設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.解題方法模板二：利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式使用情景：已知函數(shù)在給定的某個(gè)區(qū)間上的解析式，求其在對稱區(qū)間(或?qū)ΨQ區(qū)間的子區(qū)間)上的解析式．解題模板：第一步首先設(shè)出所求區(qū)間的自變量；第二步運(yùn)用已知條件將其轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間滿足的的取值范圍；第三步利用已知解析式確定所求區(qū)間相應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式．例2已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求出函數(shù)的解析式．【答案】【解析】解題模板選擇：本題中給出了函數(shù)在上的單調(diào)性，考查函數(shù)在對稱區(qū)間的子區(qū)間上函數(shù)的解析式，故選取解題方法模板二利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：第一步，首先設(shè)出所求區(qū)間的自變量x．設(shè)x<0，則－x>0，第二步，運(yùn)用已知條件將其轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間滿足的x的取值范圍：所以f(－x)=－x(1－x)，第三步，利用已知解析式確定所求區(qū)間相應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式：又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以－f（x）=f(－x)=－x(1－x)，即f（x）=x(1－x)，所以函數(shù)的解析式為．【名師點(diǎn)睛】（1）已知函數(shù)的奇偶性求解析式的題目，一般是求哪個(gè)區(qū)間，則設(shè)未知數(shù)在哪個(gè)區(qū)間，然后化為已知區(qū)間求解；（2）本題是求函數(shù)在R上的解析式，一定不要忘記時(shí)，函數(shù)的值．【典型例題】6.已知函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)時(shí)，，求得，再利用函數(shù)在R上為奇函數(shù)求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在R上為奇函數(shù)所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式問題，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3.則f(x)在R上的表達(dá)式為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得；結(jié)合的解析式，即可求得時(shí)的解析式.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且定義域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的解析式，屬基礎(chǔ)題.8.函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，________．【答案】【解析】【分析】令，則，代入到已知的解析式得到的解析式，再根據(jù)函數(shù)在上為奇函數(shù)，則，求得的解析式.【詳解】令，則，∴，又函數(shù)在上為奇函數(shù)，則，即，得，故當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.9.若函數(shù)定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，_________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，，再利用奇函數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用奇偶性求對稱區(qū)間的解析式，考查學(xué)生的邏輯推理能力，另外需注意函數(shù)定義域中是否包含0；難度一般.10.若在上的表達(dá)式為，且為奇函數(shù)，則時(shí)，等于_____.【答案】【解析】【分析】先設(shè)，則，根據(jù)時(shí)，，代入即可求解.【詳解】設(shè)，則，因時(shí)，，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式，屬于基礎(chǔ)題.解題方法模板三：分段函數(shù)的奇偶性使用情景：所給函數(shù)的解析式為分段函數(shù)，需要判定函數(shù)的奇偶性解題模板：解題模板A：利用傳統(tǒng)的方法分類討論確定函數(shù)的奇偶性第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；第二步若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；第三步得出結(jié)論．解題模板B：第一步確定函數(shù)的定義域第二步寫出形式的分段函數(shù)第三步確定函數(shù)的奇偶性例3判斷函數(shù)的奇偶性【答案】奇函數(shù)【解析】解題模板選擇：本題中所需判定奇偶性的函數(shù)解析式是一個(gè)分段函數(shù)的形式，故選取解題方法模板三分段函數(shù)的奇偶性進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：解題模板A：利用傳統(tǒng)的方法分類討論確定函數(shù)的奇偶性第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；第二步若是，則確定與的關(guān)系；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f（x）=x2+3x－4，f(－x)=－(－x)2+3(－x)+4=－(x2+3x－4)=－f（x）．當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f（x）=－x2+3x+4，f(－x)=(－x)2+3(－x)－4=－(x2+3x+4)=－f（x）綜上，f(－x)=－f（x）第三步得出結(jié)論．所以，f（x）為奇函數(shù)．解題模板B：第一步確定函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；第二步寫出形式的分段函數(shù)，即，即，第三步確定函數(shù)的奇偶性所以f(－x)=－f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．11.已知奇函數(shù)則不等式的解集為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)確定a的值,利用的解析式,建立關(guān)于x的不等式組,從而解決問題.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且,所以,所以,所以不等式等價(jià)于或,所以,所以不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)及奇函數(shù)的性質(zhì),考查考生的運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.解含函數(shù)的不等式的解法：一是利用的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；二是首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式,然后轉(zhuǎn)化為具體的不等式（組）,此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).12.若函數(shù)是奇函數(shù)，則a＋b＝______．【答案】1【解析】【分析】利用奇函數(shù)所質(zhì)，可得f（0）＝0，從而可求出a的值，再由可求出b的值，進(jìn)而可求出a＋b的值【詳解】∵f（x）為奇函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，f（0）＝0．∴a＝0，f（1）＝1－1＝0．∴f(－1)＝0．又∵f(－1)＝－1＋b，∴b＝1．∴a＋b＝1．故答案為1．【點(diǎn)睛】此題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題13.已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a＝________．【答案】1【解析】【分析】先求得，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，解得.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.14.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于或兩個(gè)方程根的個(gè)數(shù)和為4，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)的圖象如圖所示，因?yàn)?，即或，要使方程?個(gè)不同實(shí)根，只需或或或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根的個(gè)數(shù)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道有一定難度的壓軸填空題．15.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為_____.【答案】.【解析】【分析】由已知函數(shù)解析式，結(jié)合奇函數(shù)的定義可知，代入即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且所以，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性，結(jié)合分段函數(shù)的分段條件是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.解題方法模板四：用求商法判斷函數(shù)的奇偶性使用情景：f(－x)與f（x）的關(guān)系不容易確定的函數(shù)奇偶性的判定．解題模板：第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；第二步若是，則利用比值關(guān)系或來判斷；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；第三步得出結(jié)論．例4判斷函數(shù)的奇偶性，【答案】奇函數(shù)【解析】解題模板選擇：本題中函數(shù)的解析式比較復(fù)雜，不易確定與的關(guān)系，故選取解題方法模板四用求商法判斷函數(shù)的奇偶性進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：第一步確定函數(shù)的定義域，判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)有意義，則，故，函數(shù)定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，第二步若是，則利用比值關(guān)系或來判斷；若不是，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；注意到：，第三步得出結(jié)論．即f(－x)=－f（x），故函數(shù)是奇函數(shù)．解題方法模板五：根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律判定使用情景：函數(shù)解析式比較復(fù)雜，由若干基本函數(shù)經(jīng)過運(yùn)算之后的函數(shù)判定奇偶性．解題模板：第一步確定所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；第二步結(jié)合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論確定所給函數(shù)的奇偶性．常見的結(jié)論包括：（1）幾個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；幾個(gè)偶函數(shù)的代數(shù)和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的代數(shù)和是非奇非偶函數(shù)．（2）奇函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，偶函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積或商是奇函數(shù)．常見基本函數(shù)的奇偶性：（1）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，當(dāng)b=0時(shí)，是奇函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)，是非奇非偶函數(shù)．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，當(dāng)b=0時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，是非奇非偶函數(shù)．（3）反比例函數(shù)是奇函數(shù)．（4）指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)是非奇非偶函數(shù)（5）對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1，x>0)是非奇非偶函數(shù)．（6）三角函數(shù)y=sinx(x∈R)是奇函數(shù)，y=cosx(x∈R)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．（7）常值函數(shù)f（x）=a，當(dāng)a≠0時(shí)，是偶函數(shù)，當(dāng)a=0時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．例5判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)．【解析】解題模板選擇：本題中所給函數(shù)的解析式是幾個(gè)具有奇偶性的基本函數(shù)的加減乘除的組合，故選取解題方法模板五根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律判定進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：（1）第一步確定所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；所給的函數(shù)是3個(gè)冪函數(shù)之和；第二步結(jié)合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論確定所給函數(shù)的奇偶性．由于函數(shù)均為奇函數(shù)，故函數(shù)是奇函數(shù)．（2）第一步確定所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；所給的函數(shù)是兩個(gè)基本函數(shù)之積；第二步結(jié)合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論確定所給函數(shù)的奇偶性．由于函數(shù)均是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)．（3）第一步確定所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；所給的函數(shù)是兩個(gè)基本函數(shù)之和第二步結(jié)合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論確定所給函數(shù)的奇偶性．由于函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．【名師點(diǎn)睛】常見函數(shù)的奇偶性一定要熟練掌握，才能做到快速地判斷出些函數(shù)的奇偶性，從而對解題會(huì)有很大幫助．解題方法模板六：判定抽象函數(shù)奇偶性使用情景：所給的函數(shù)沒有解析式，需要利用所給的條件判定函數(shù)的奇偶性．解題模板：第一步確定函數(shù)的定義域，猜想函數(shù)模型，從而確定函數(shù)的奇偶性方向；一般的函數(shù)模型包括：若f(mn)=f（m）f（n），可認(rèn)為函數(shù)為冪函數(shù)f（x）=xa(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；若f(mn)=f（m）+f（n），可認(rèn)為函數(shù)為對數(shù)函數(shù)f（x）=logax(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；若f(m+n)=f（m）f（n），可認(rèn)為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)f（x）=ax(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；若f(m+n)=f（m）+f（n），可認(rèn)為函數(shù)為正比例函數(shù)f（x）=kx；若，可認(rèn)為函數(shù)為正切函數(shù)f（x）=tanx；若，可認(rèn)為是余弦函數(shù)．第二步利用所猜想的函數(shù)模型，使用賦值法結(jié)合所給的條件得出與的關(guān)系；第三步得出結(jié)論．例6已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意，，有，試確定函數(shù)的奇偶性．【答案】奇函數(shù)．【解析】解題模板選擇：本題中所給的函數(shù)為抽象函數(shù)，故選取解題方法模板六判定抽象函數(shù)的奇偶性進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：第一步確定函數(shù)的定義域，猜想函數(shù)模型，從而確定函數(shù)的奇偶性方向；函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)得出，利用所給的關(guān)系式猜想函數(shù)為正比例函數(shù)，故結(jié)論目標(biāo)為證明函數(shù)為奇函數(shù)．第二步利用所猜想的函數(shù)模型，使用賦值法結(jié)合所給的條件得出與的關(guān)系；令，，，令，，．第三步得出結(jié)論．則函數(shù)是奇函數(shù)．【典型例題】16.設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對任意，恒有.（1）求的值；（2）求證：為奇函數(shù)；（3）若函數(shù)是上的增函數(shù)，已知,且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3）【解析】【分析】（1）通過令，即可得到的值；（2）先判斷定義域，然后考慮令，根據(jù)題設(shè)條件得到，即可完成證明；（3）利用條件將變形為兩個(gè)函數(shù)值之間的大小關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】（1）令，所以，所以；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，令，所以，所以，所以是奇函數(shù)；（3）令，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的求值、奇偶性證明以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，難度一般.抽象函數(shù)在求值或者證明時(shí)，一般選用“令值”的方式，將抽象的等式關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟮闹祷蛘叽C明的問題.17.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，在上恒成立，且對任意，，都有．?）求的值，并證明為奇函數(shù)；（2）若時(shí)，，且，證明為上的增函數(shù)，并解不等式．【答案】（1）1，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得，通