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顯然,按定義計(jì)算定積分非常困難,§2

牛頓－萊布尼茨公式須尋找新的途徑計(jì)算定積分.在本節(jié)中,介紹牛頓－萊布尼茨公式,從而建立了定積分與不定積分之間的聯(lián)系,大大簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算.返回若質(zhì)點(diǎn)以速度

v=

v(t)作變速直線運(yùn)動(dòng),由定積分注意到路程函數(shù)

s(t)是速度函數(shù)v(t)的原函數(shù),定義,質(zhì)點(diǎn)從時(shí)該a到b所經(jīng)過的路程為.另一方面,質(zhì)點(diǎn)從某時(shí)刻

a

到時(shí)刻

b所經(jīng)過的路于是程記為

s(b)-

s(a),則

因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來了,這就是下面的牛頓—萊布尼茨公式.定理9.1(牛頓—萊布尼茨公式)函數(shù)f在[a,b]上滿足條件:(i)f在[a,b]上連續(xù),(ii)f在[a,b]上有原函數(shù)F,則(1)f在[a,b]上可積;證因f在[a,b]上一致連續(xù),則任取又F在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,于是注1以后將證明,若f在[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]注2條件(i)不是必要條件,以后將舉例說明,存在例2解上必有原函數(shù)F(x).因此條件(ii)是多余的.函數(shù)

f

在[a,b]上有間斷點(diǎn),但f在[a,b]上仍可積.例3解例4解用牛頓—萊布尼茨公式還可以求一些和式的極限.例5

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