第十章微分方程與差分方程10.1微分方程的基本概念10.2一階微分方程10.3一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合應(yīng)用10.4可降階的二階微分方程10.5二階常系數(shù)線性微分方程10.6差分與差分方程的概念、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)10.7一階常系數(shù)線性差分方程10.8二階常系數(shù)線性差分方程10.9差分方程的簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用1第二節(jié)一階微分方程1、可分離變量的微分方程2、齊次方程3、一階線性微分方程2可分離變量的微分方程的解法分離變量?jī)蛇叿e分，得則如果

注：方程的通解,必須予以補(bǔ)上。在分離變量時(shí)，解可能它不包含在3解:

當(dāng)y≠0時(shí)分離變量得另外y=0也是原微分方程的解，因此通解為(b為任意常數(shù)).4例

求方程的特解.滿足初始條件

解

分離變量,得

兩邊積分，得于是原方程的通解為又將初始條件故滿足初始條件的特解為代入通解中,得

第二節(jié)一階微分方程1、可分離變量的微分方程2、齊次方程3、一階線性微分方程6二、齊次微分方程形如的方程叫做齊次微分方程.例如，都是齊次微分方程.7令解法:代入原方程得可分離變量的方程兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.分離變量:8如果

有實(shí)根

那末

（i=1，2，…，k）也為方程的解。9例

求解方程

解

將方程改寫為

令得

（1）若分離變量，得積分得（1）的通解即(c是任意常數(shù))(2)此外，方程(1)還有解

10代回原來(lái)的變量，得原方程的通解為及解

。11第二節(jié)一階微分方程1、可分離變量的微分方程2、齊次方程3、一階線性微分方程12如果方程

及

的一次有理整式，

則稱其為n階線性微分方程.的左端為13一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若若稱為非齊次線性微分方程

.稱為齊次線性微分方程

;考察下列方程是否線性方程？線性的;非線性的.14齊次方程的通解為分離變量積分猜想：非齊次微分方程的解應(yīng)該具有形式15通解代入原式解出常數(shù)變易法16例5

解方程

解1:

先解即積分得即用常數(shù)變易法把c換成u(x)，即令則代入非齊次方程得u′=(x+1)1/2解得故原方程通解為17例5

解方程

解2:

公式法由通解公式得18解：例19第二節(jié)一階微分方程1、可分離變量的微分方程2、齊次方程3、一階線性微分方程4、一階微分方程的平衡解及其穩(wěn)定性20

《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》———牛頓（1687）在本書(shū)中，牛頓提出萬(wàn)有引力定律，然后用數(shù)學(xué)的形式——常微分方程——推出了開(kāi)普勒定律，完成了日心地動(dòng)說(shuō)的力學(xué)解釋，也同時(shí)開(kāi)始了以常微分方程為對(duì)象的動(dòng)力系統(tǒng)的研究.21分析：令f(x)=0，解得x=x0是該微分方程的解.定義：若f(x0)=0，則x=x0是其平衡解.

其圖象為一條水平直線.例7：例8：它們的平衡解分別是22例7：（1）它的平衡解是l=a.（2）此初值問(wèn)題的特解是？解：由分離變量法得方程的通解為特解為穩(wěn)定的平衡解定義p38323例8：它的平衡解是b=10.不穩(wěn)定的平衡解定義p383初始值的極微小的擾動(dòng)而會(huì)造成系統(tǒng)巨大變化.蝴蝶效應(yīng)thebutterflyeffect24例

lorenz方程（1963）蝴蝶效應(yīng)是氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出來(lái)的。氣象學(xué)家洛倫茲（lorenz）在美國(guó)天氣預(yù)報(bào)中心工作，進(jìn)行數(shù)值天氣預(yù)報(bào)。為了預(yù)報(bào)天氣，他用計(jì)算機(jī)求解仿真地球大氣的方程組，意圖是利用計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算來(lái)提高長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性。1963年的一次試驗(yàn)中，為了更細(xì)致地考察結(jié)果，他把一個(gè)中間解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。因?yàn)楫?dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度比較慢，所以他在計(jì)算的時(shí)候離開(kāi)了一會(huì)。而當(dāng)他穿過(guò)大廳，到咖啡館喝了杯咖啡以后回來(lái)再看時(shí)竟大吃一驚：本來(lái)很小的差異，計(jì)算結(jié)果卻偏離了十萬(wàn)八千里！后來(lái)洛倫茲在華盛頓的美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)的一次講演中提出：一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)翅膀，有可能會(huì)在美國(guó)的德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。他的演講和結(jié)論給人們留下了極其深刻的印象。從此以后，所謂“蝴蝶效應(yīng)”之說(shuō)就不脛而走，名聲遠(yuǎn)揚(yáng)了?！昂?yīng)”之所以令人著迷、令人激動(dòng)、發(fā)人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩，更在于其深刻的科學(xué)內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學(xué)魅力。25一只蝴蝶在紐約中央公園的小黃花上扇動(dòng)了一下翅膀，于是東京掀起風(fēng)暴電閃雷鳴……也許人的一生就會(huì)被當(dāng)年一點(diǎn)點(diǎn)不經(jīng)意間細(xì)枝末節(jié)改變，從此走上不同岔口不能回頭……微分方程中說(shuō)這叫蝴蝶效應(yīng)，你相信嗎？26作業(yè)p3841，2（偶數(shù)），3（奇數(shù)），4（偶數(shù)），6，727第三節(jié)一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合應(yīng)用一、需求量（供給量）與價(jià)格的關(guān)系二、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量三、成本分析四、公司的凈資產(chǎn)分析28例1解（1）由需求的價(jià)格彈性公式得分離變量解微分方程得29解（1）由需求的價(jià)格彈性公式得分離變量解微分方程得例1（2）（3）30例

已知需求價(jià)格彈性為

-1/q2,且當(dāng)q=0時(shí),p=100.試求價(jià)格p與需求q的函數(shù)關(guān)系p=f(q).解

由需求價(jià)格彈性的定義,有

這是變量可分離的方程,移項(xiàng)化簡(jiǎn)，得兩邊積分,得即又將初始條件q=0時(shí),p=100代入上式,得c1=100

故需求函數(shù)為例3

某林區(qū)實(shí)行封山養(yǎng)林，現(xiàn)有木材10萬(wàn)立方米，如果在每一時(shí)刻t木材的變化率與當(dāng)時(shí)木材數(shù)成正比(比例常數(shù)為k>0)。假設(shè)10年時(shí)這林區(qū)的木材為20萬(wàn)立方米。若規(guī)定，該林區(qū)的木材量達(dá)到40萬(wàn)立方米時(shí)才可砍伐，問(wèn)至少多少年后才能砍伐。二、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量，預(yù)測(cè)商品的銷售量解

若時(shí)間t以年為單位，假設(shè)任一時(shí)刻t木材的數(shù)量為p(t)萬(wàn)立方米，由題意可知微分方程（1）的通解為將條件（2）帶入得特解為要使p=40，則t=20.故至少20年后才能砍伐.指數(shù)增長(zhǎng)與指數(shù)衰減方程32n(t)~時(shí)刻

t的人口數(shù)量基本假設(shè)

:

人口凈增長(zhǎng)率r（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）

是常數(shù)。馬爾薩斯人口模型英國(guó)人口學(xué)家malthus(1766-1834）于1798年提出.隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng).33解:

當(dāng)y≠0時(shí)分離變量得另外y=0也是原微分方程的解，因此通解為(b為任意常數(shù)).34三、成本分析

例5

某商場(chǎng)的銷售成本y和存儲(chǔ)費(fèi)用s均是時(shí)間t的函數(shù)，隨時(shí)間t的增長(zhǎng)，銷售成本的變化率等于存儲(chǔ)費(fèi)用的倒數(shù)與常數(shù)5的和，而存儲(chǔ)費(fèi)用的變化率為存儲(chǔ)費(fèi)用的（-1/3）倍.

若當(dāng)t=0時(shí)，銷售成本y=0，存儲(chǔ)費(fèi)用s=10，試求銷售成本與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系及存儲(chǔ)費(fèi)用與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。解：由已知解（5）得故存儲(chǔ)費(fèi)用與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是：將s代入（4）式得故銷售成本與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是：35一個(gè)公司的資產(chǎn)運(yùn)營(yíng)可以被看作有兩個(gè)方面的作用。一方面，它的資產(chǎn)可以象銀行存款一樣獲得利息（盈?。?，另一方面還要用于發(fā)放職工工資。用w0表示該公司的初始資產(chǎn)，若用w表示t時(shí)某公司的凈資產(chǎn)，則四、公司的凈資產(chǎn)分析凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率=

利息盈?。ㄔ鲩L(zhǎng)）的速率－工資支付速率36例6

某公司t年凈資產(chǎn)有w（t）（單位：百萬(wàn)元），并且資產(chǎn)以每年5%的速度增長(zhǎng),同時(shí)該公司每年要以200百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.（1）給出描述凈資產(chǎn)w（t）的微分方程；（2）假設(shè)初始凈資產(chǎn)為w0，求解方程；（3）當(dāng)w0=3000，4000，5000三種情況下w（t）的變化特點(diǎn)。解（1）根據(jù)：

凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率

=

利息盈?。ㄔ鲩L(zhǎng)）的速率－工資支付速率這就是該公司的凈資產(chǎn)w所滿足的微分方程。37例6

某公司t年凈資產(chǎn)有w（t）（單位：百萬(wàn)元），并且資產(chǎn)以每年5%的速度增長(zhǎng),同時(shí)該公司每年要以200百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.（1）給出描述凈資產(chǎn)w（t）的微分方程；（2）假設(shè)初始凈資產(chǎn)為w0，求解方程；（3）當(dāng)w0=3000，4000，5000三種情況下w（t）的變化特點(diǎn)。解（1）（2）分離變量所以，該公司凈資產(chǎn)表達(dá)式為：38例6

某公司t年凈資產(chǎn)有w（t）（單位：百萬(wàn)元），并且資產(chǎn)以每年5%的速度增長(zhǎng),同時(shí)該公司每年要以200百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.（1）給出描述凈資產(chǎn)w（t）的微分方程；（2）假設(shè)初始凈資產(chǎn)為w0，求解方程；（3）當(dāng)w0=3000，4000，5000三種情況下w（t）的變化特點(diǎn)。解（1）（2）（3）若w0=4000，則w=4000為平衡解.公司凈資產(chǎn)將不斷增長(zhǎng)公司凈資產(chǎn)將不斷減少39p391—5

某養(yǎng)魚(yú)池最多養(yǎng)1000條魚(yú)，魚(yú)數(shù)y是時(shí)間t的函數(shù)，且魚(yú)數(shù)變化率與y和1000-y的乘積成正比(比例常數(shù)為k>0).

現(xiàn)知養(yǎng)魚(yú)100條，3個(gè)月后變成250條，求函數(shù)y(t)以及6個(gè)月后魚(yú)池里有多少魚(yú).練習(xí)大作業(yè)

某商品的供給函數(shù)需求函數(shù)其中p(t)表示時(shí)刻t時(shí)該商品的價(jià)格(p(0)=8).試把市場(chǎng)均衡價(jià)格表示成關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，并說(shuō)明其實(shí)際意義.40p391—5

某養(yǎng)魚(yú)池最多養(yǎng)1000條魚(yú)，魚(yú)數(shù)y是時(shí)間t的函數(shù)，且魚(yú)數(shù)變化率與y和1000-y的乘積成正比(比例常數(shù)為k>0).

現(xiàn)知養(yǎng)魚(yú)100條，3個(gè)月后變成250條，求函數(shù)y(t)以及6個(gè)月后魚(yú)池里有多少魚(yú)。解若時(shí)間t以月為單位，由題意可知（1）先解（1）式：41p391——5

某養(yǎng)魚(yú)池最多養(yǎng)1000條魚(yú)，魚(yú)數(shù)y是時(shí)間t的函數(shù)，且魚(yú)數(shù)變化率與y和1000-y的乘積成正比(比例常數(shù)為k>0).現(xiàn)知養(yǎng)魚(yú)100條，3個(gè)月后變成250條，求函數(shù)y(t)以及6個(gè)月后魚(yú)池里有多少魚(yú)。解若時(shí)間t以月為單位，由題意可知（1）先解（1）式得將條件（2）代入得42大作業(yè)

某商品的供給函數(shù)需求函數(shù)其中p(t)表示時(shí)刻t時(shí)該商品的價(jià)格(p(0)=8).試把市場(chǎng)均衡價(jià)格表示成關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，并說(shuō)明其實(shí)際意義.代入p(0)=8得c=12.因此市場(chǎng)均衡價(jià)格表示成關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為說(shuō)明市場(chǎng)對(duì)于這種商品的價(jià)格穩(wěn)定，且可以隨著時(shí)間的推移，此商品的價(jià)格逐漸趨向于20.43作業(yè)p391

1,3,544五、關(guān)于國(guó)民收入、