第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)§2.1概述§2.2邏輯函數(shù)§2.3邏輯代數(shù)中的基本定律和規(guī)則§2.4邏輯函數(shù)的表示法§2.5邏輯函數(shù)的兩種化簡(jiǎn)法§2.1概述數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的因果關(guān)系,也就是邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（邏輯代數(shù)是19世紀(jì)中葉英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾首先提出的，所以又叫布爾代數(shù)）。邏輯關(guān)系是如何來(lái)表述的呢？§2.2

邏輯函數(shù)2.2.1

基本邏輯關(guān)系與邏輯代數(shù)如果決定某一件事F發(fā)生或成立與否的條件有多個(gè),分別用A、B、C表示，并規(guī)定：F＝“1”代表事件發(fā)生（或成立)，F(xiàn)＝“0”代表事件不發(fā)生（或不成立)；A＝B＝C＝“1”

代表?xiàng)l件具備，A＝B＝C＝“0”代表?xiàng)l件不具備；“1”“0”邏輯1邏輯0正邏輯，負(fù)邏輯那麼F與ABC之間就有以下三種基本的邏輯關(guān)：1.“與”邏輯A、B、C都具備時(shí)，事件F才發(fā)生。EFABC&ABCF邏輯符號(hào)AFBC00001000010011000010101001101111邏輯式：F=A?B?C邏輯乘法邏輯與真值表邏輯函數(shù)邏輯變量2.“或”邏輯A、B、C只有一個(gè)具備時(shí)，事件F就發(fā)生。1ABCF邏輯符號(hào)AEFBCAFBC00001001010111010011101101111111邏輯式：F=A+B+C邏輯加法邏輯或真值表3.“非”邏輯A具備時(shí)，事件F不發(fā)生；A不具備時(shí)，事件F發(fā)生。邏輯符號(hào)AEFRAF邏輯非邏輯反真值表AF01104.幾種常用的邏輯關(guān)系邏輯“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關(guān)系，任何其它的邏輯關(guān)系都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展的。與非：全1則0，任0則1。&ABCF或非：任1則0，全0則1。

1ABCF異或：條件A、B有一個(gè)具備，另一個(gè)不具備則F發(fā)生。=1ABCF標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)慣用符號(hào)國(guó)外符號(hào)&ABCFABCFABCF≥1ABCF+ABCFABCF1AFAFAF＝1ABFABFABF5.幾種基本的邏輯運(yùn)算從三種基本的邏輯關(guān)系，我們可以得到以下邏輯運(yùn)算：0?0=0?1=1?0=01?1=10+0=00+1=1+0=1+1=1§2.3

邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則一、基本運(yùn)算規(guī)則A+0=AA+1=1A?0=0?A=0A?1=A二、基本代數(shù)規(guī)律交換律結(jié)合律分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)普通代數(shù)不適用!三、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如：被吸收2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收3.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收4.反演定理：可以用列真值表的方法證明：提供了一個(gè)求反函數(shù)的途徑所以是一條重要的定律異或求反注意：A＋B＝A＋CA?B=A?C未必有B＝C未必有B＝C邏輯代數(shù)中沒(méi)有減法與除法?！?.4

邏輯函數(shù)的表示法將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。2.4.1

真值表注意：n個(gè)變量可以有2n個(gè)組合，一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。2.4.2

邏輯函數(shù)式邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫(xiě)成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。例：最小項(xiàng)：若表達(dá)式中的乘積包含了所有變量的原變量或反變量，則這一項(xiàng)稱為最小項(xiàng)。邏輯相鄰：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原、反區(qū)別，則稱它們邏輯相鄰。上例中每一項(xiàng)都是最小項(xiàng)。邏輯相鄰邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子2.4.3

卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成：將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相臨的最小項(xiàng)放在相臨的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。卡諾圖的每一個(gè)方塊（最小項(xiàng)）代表一種輸入組合，并且把對(duì)應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號(hào)為0010的單元對(duì)應(yīng)于最小項(xiàng)：ABCD=0100時(shí)函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱為無(wú)所謂狀態(tài)。只有一項(xiàng)不同AB0101兩變量卡諾圖ABC0001111001三變量卡諾圖有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7單元取1，其它取0ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號(hào)2.4.4

邏輯圖把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示出來(lái)，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD1FF=AB+CD§2.5

邏輯函數(shù)的兩種化簡(jiǎn)法2.5.1

利用邏輯代數(shù)的基本公式例1：反變量吸收提出AB=1提出A例2：反演配項(xiàng)被吸收被吸收？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請(qǐng)注意與普通代數(shù)的區(qū)別！2.5.2

利用卡諾圖化簡(jiǎn)ABC0001111001ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡(jiǎn)過(guò)程：利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則1.相鄰單元的個(gè)數(shù)是2N個(gè)，并組成矩形時(shí)，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD00011110000111102.先找面積盡量大的組合進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以減少每項(xiàng)的因子數(shù)。3.各最小項(xiàng)可以重復(fù)使用。4.注意利用無(wú)所謂狀態(tài)，可以使結(jié)果大大簡(jiǎn)化。5.所有的1都被圈過(guò)后，化簡(jiǎn)結(jié)束。6.化簡(jiǎn)后的邏輯式是各化簡(jiǎn)項(xiàng)的邏輯和。例1：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例2