本章要求了解離散時間信號序列及線性時不變離散系統(tǒng)的特性掌握離散序列的卷積運算方法熟練掌握線性時不變離散系統(tǒng)方程（差分方程）的建立與求解方法返回1/12/20231引言離散系統(tǒng)是專門處理離散時間信號的一種系統(tǒng)。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)是按所處理的信號不同而有所區(qū)別，但我們所討論的都是線性時不變系統(tǒng)，因此，在連續(xù)系統(tǒng)中由線性時不變特性引出的一些方法在離散系統(tǒng)中都是可以采用的，這就使離散系統(tǒng)的分析方法與連續(xù)系統(tǒng)的分析方法具有很大的相似性：1/12/20232離散與連續(xù)相比較卷積和卷積積分系統(tǒng)的響應信號的分解差分方程微分方程系統(tǒng)數(shù)學模型離散信號、系統(tǒng)連續(xù)信號、系統(tǒng)返回1/12/20233離散時間系統(tǒng)具有的優(yōu)點容易做到精度高，可靠性好；便于實現(xiàn)大規(guī)模集成，存儲器的應用可使系統(tǒng)具有靈活的功能；連續(xù)時間系統(tǒng)只注重一維變量的研究，而在離散系統(tǒng)中二維及多維技術也得到了方泛的應用。返回1/12/20234本章內容離散序列及其運算LTI離散系統(tǒng)的響應單位序列和單位序列響應1/12/20235離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)比較優(yōu)點信號序列表示基本運算卷積和基本序列及特性系統(tǒng)特性及描述差分方程的求解單位序列響應單位序列單位階躍序列復指數(shù)序列數(shù)值計算經(jīng)典解法近代解法z變換狀態(tài)變量分析法本章內容1/12/20236tk

與的時間間隔為，若每一個時間間隔均等于T，則可表示為： （k=0，±1，±2，…）；它同樣和連續(xù)時間信號的表示方法一樣有三種表示方法：如單位階躍序列離散時間信號的表示前面討論的連續(xù)信號是在時間和大小上都是連續(xù)變化的，而離散信號卻不一樣，在時間和大小上至少有一個為離散的（一般均為離散的）。離散時間信號可以用離散時間序列來表示：（k=0，±1，±2，…）1/12/20237離散時間信號的表示①

函數(shù)：

②

表格（序列表示）：

③

圖形：1/12/20238，左邊序列（若，反因果）離散時間信號的表示對雙邊序列：其中：對單邊序列：（偶函數(shù)）（奇函數(shù)）（因果）或，右邊序列（若，因果）其中：對有限序列：返回1/12/20239相加與相乘位移與翻轉時間展縮差分與累加序列的運算1/12/202310相加與相乘加法：對應時間點的值相加乘法：例：已知：求:對應時間點的值相乘∴1/12/202311其中：E—算子；m—正整數(shù)位移與翻轉與連續(xù)信號的 及相似翻轉：是相對于縱軸翻轉。與連續(xù)信號相同的是也要注意 中的左移與右移位移：左移（超前）右移（延遲）1/12/202312時間展縮與相似與連續(xù)信號不同的是：at

為小數(shù)、整數(shù)均可以，而

ak

必須為整數(shù)才有意義。1/12/202313差分與累加與連續(xù)信號的微分和積分相對應，離散信號有差分和累加，而差分分為前向和后向兩種：一階前向差分:一階后向差分:序列的累加:1/12/202314差分與累加后向差分運算一階：二階：三階：返回1/12/202315定義卷積和的求解卷積和的性質序列的卷積和1/12/202316定義與連續(xù)信號的卷積積分（因果信號）相似，離散信號卷積和為由連續(xù)信號求系統(tǒng)零狀態(tài)響應：輸入信號與單位沖激響應的卷積積分；由離散信號求系統(tǒng)零狀態(tài)響應：輸入信號與單位序列響應的卷積和。故掌握離散序列的卷積和的運算具有十分重要的意義。1/12/202317卷積和的求解——累加法設有：其卷積和為：依連續(xù)信號卷積的幾何（圖解）方法，離散序列的卷積和求解方法也是先將一個序列翻轉，再移位，同一時間兩均有不為零值時相乘、相加，得對應時間的卷積和，由此可有如下式：｛c0，c1，c2，…，cj

,…｝A=｛a0，a1，a2，…，aj

,…｝B=｛b0，b1，b2，…，bj

,…｝1/12/202318累加法例：∴1/12/202319豎式法和排表法（矩陣形式）②

豎式法

直接利用乘法，但不要進位③

排表法（矩陣形式）

把一個序列作為列元素，另一個序列作為行元素，表中各元素即為同行同列的元素的乘積，依等腰三角形底邊各元素相加即為所求。1/12/202320卷積和的性質

①

代數(shù)運算性質交換律：分配律：結合律：1/12/202321②

計算關系式

假設同前一般式：設

A

有nA

項，B

有nB

項，則

C

的項數(shù)為：A

所有元素之和與

B

所有元素之和的乘積等于C

所有元素之和，即以上幾個關系式可用來驗證計算正確與否1/12/202322③

時移特性∵∴1/12/202323④

差分與求和特性返回1/12/202324常用基本序列及其基本性質單位序列單位階躍序列斜變信號指數(shù)序列復指數(shù)序列1/12/202325右移

i

個單位有:單位序列與單位沖激信號相對應。又叫“單位函數(shù)”、“單位取樣”、“單位樣值信號”、“單位脈沖”、“單位沖激”信號。k≠0k≠i1/12/202326單位序列篩選、取樣特性:移位特性：偶函數(shù)（當時）返回1/12/202327單位階躍序列右移

i

個單位有:1/12/202328單位階躍序列可用單位序列的組合來表示同理，任意

也可以表示為：1/12/202329截?。▎芜叄┨匦裕嚎梢姡c連續(xù)信號

相似，可以表示以

i

為起始的信號，當

時，為因果信號。例：累加（積分）特性：1/12/202330斜變信號指數(shù)序列單邊時：返回1/12/202331是否周期？如果

滿足

（m為整數(shù)）即當

中

N

為整數(shù)，

為周期序列，其中

N為周期。復指數(shù)序列①②

可以表示為：單邊：1/12/202332例題1/12/202333例題∴返回1/12/202334離散時間系統(tǒng)的描述與模擬線性：齊次性和疊加性；時不變性⑴

特性：⑵

離散系統(tǒng)的描述——差分方程（后向）：按各階后向差分的定義展開、整理可得：連續(xù)→微分方程，離散→差分方程，形式可為（后向差分）：

用“算子”表示可為：1/12/202335差分方程傳輸算子：若是前向差分，則有：按各階前向差分的定義展開、整理可得：傳輸算子：1/12/202336例題對接收信號進行處理：就將此數(shù)據(jù)與前一步的處理結果取平均值。設：當前時刻為

k

，則輸入為

，輸出為

，前一步輸出應為

，則由題意可有：只包含

、

、

，為一階差分方程返回1/12/202337數(shù)值計算：迭代（遞歸法）時域經(jīng)典解法：受迫、自然響應近代解法：零輸入、零狀態(tài)響應（卷積和）z變換狀態(tài)變量分析法差分方程的求解方法返回1/12/202338這樣一直算到我們需要的為止。這種方法顯然比較繁鎖，且不易得到一個封閉形式，但它非常適合用于計算機計算。

、

均為常數(shù)迭代（遞歸法）由輸入及初始條件一步步代入，前面的結果就是后面的初始條件。例：………………返回1/12/202339時域經(jīng)典解法求差分方程的齊次解及特解①

齊次解:差分方程：先考慮一階形式：該式說明比率為

a

，即序列

是一個具有公共比率

a

的幾何級數(shù)，形式為

，其中

C為任意常數(shù)，由初始條件確定。1/12/202340若

λj是上式的根，則

也將滿足上式。上式為差分方程的特征方程，由此求出的根為特征根，n

階方程就有

n

個特征根（當然重根應按多個計算），當其各異時，其齊次解為：齊次解若為

n階差分方程，當 時∵∴1/12/202341齊次解若有重根（設為r

重），則重根部分的解為：把前面的齊次方程用“算子”表示為：由它寫特征方程比較方便。1/12/202342對差分方程 ，與微分形式相同，特解形式與 相同，求解方法也幾乎與連續(xù)的一樣。②

特解：例：齊次解：特解：，代入方程完全解：，代入初始條件得∴，即1/12/202343時域經(jīng)典解法小結對離散系統(tǒng)的分析，實質上就是求解差分方程。上面介紹的差分方程的齊次解

，僅由其系數(shù)決定，而該系數(shù)也僅由系統(tǒng)結構和系統(tǒng)參數(shù)決定，它反映了系統(tǒng)的固有性質，所以它就是系統(tǒng)的自由響應；另外，由于特解

是由激勵信號決定，故特解即為系統(tǒng)的受迫響應。返回1/12/202344零輸入響應在無輸入激勵條件下的系統(tǒng)由初始狀態(tài)引起的響應，它取決于系統(tǒng)本身的結構及參數(shù)，而與外加激勵無關，此時的響應即為齊次方程的齊次解：其待定系數(shù) 由初始狀態(tài)決定。由于零輸入響應是由齊次方程求得的，故上式中的

j的取值范圍不限，也就是既可以大于零，也可以小于等于零。1/12/202345例題已知：由初始條件：∴求：解：1/12/202346初始狀態(tài)為零，即 ，僅由輸入信號的作用而引起的響應，故要求要乘以。由于，故差分方程是非齊次的，所以包括齊次解和非齊次解（特解）兩部分，即：零狀態(tài)響應其待定系數(shù)零初始狀態(tài)和輸入信號、差分方程共同決定，因為此時的j必須大于零。1/12/202347完全解可見，系統(tǒng)自由（固有）響應由兩部分組成：要注意的是，系統(tǒng)的初始狀態(tài)實際上包括了零輸入時的初始狀態(tài)和零狀態(tài)時的初始狀態(tài)，即故應根據(jù)給出的以下兩種系統(tǒng)的初始條件來決定系統(tǒng)的和，這樣的初始條件稱為等效初始條件：1/12/202348為了說的更清楚，假設系統(tǒng)為：即：⑴若給出的是、，這種情況處理起來比較簡單由于，則有：,由上面的差分方程用迭代（遞歸法）有：1/12/202349⑵若給出的是、，這種情況就復雜一些：仍有，故首先由上面兩式求出再由前面的式子求出：1/12/202350例題已知：初始狀態(tài)：求：解：特征方程：∴∵1/12/202351由 、 及差分方程可求出：①

零輸入響應：將直接代入也可求出：∴代入得：1/12/202352由于 與

E2相同，則 代入差分方程，可求出 這樣有：（其中）②

零狀態(tài)響應：由零初始條件 及、原差分方程共同求出、（等效初始條件）1/12/202353暫態(tài)（瞬態(tài)）響應： 部分，即 中 的部分。代入前式可求得：∴全響應：穩(wěn)態(tài)響應：1/12/202354例題已知：求：由零初始條件 及、原差分方程共同求出、（等效初始條件）1/12/202355解：特征方程：∴①

零輸入響應：將代入可得：∴1/12/202356②

零狀態(tài)響應：與前面相同沒有變化，即∴暫態(tài)（瞬態(tài)）響應： 部分，即 中 的部分。全響應：穩(wěn)態(tài)響應：返回1/12/202357離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應單位序列響應階躍響應差分法等效初始條件法算子法基本單元的的單位序列響應復雜系統(tǒng)的單位序列響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應1/12/202358初態(tài)為零的系統(tǒng)在單位序列作用下的響應叫單位序列響應，用表示。與連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應是輸入與系統(tǒng)單位沖激響應的卷積積分相似，離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應是輸入與單位序列響應的卷積和。當輸入 時，響應為，由線性時不變系統(tǒng)特性可有如下激勵與響應的關系：單位序列響應1/12/202359單位序列響應∵或∴所以求出 是求系統(tǒng)零狀態(tài)響應的關鍵。返回1/12/202360階躍響應差分法∴

可用經(jīng)典法求出 ，再求。1/12/202361例題求特征根∴將P

代入①式中：∴②由①已知：①

，求：1/12/202362例題得：代入②式∴得到：返回1/12/202363等效初始條件法②

由零初始狀態(tài)、及差分方程求得等效初始條件 作用后，輸入為零，此時可求零輸入響應，其初始條件可根據(jù)原初始條件、信號及原差分方程得出，其方法與前面零輸入響應、零狀態(tài)響應的相似：①

由齊次方程得出響應形式③

將②代入①中求出待定系數(shù)。1/12/202364例題由①得：由前可得：②代入②式，得：∴已知：①

，求：返回1/12/202365算子法任一離散系統(tǒng)對輸入 ，總可以表示成 。為便于對的一般形式進行分析，先討論一階系統(tǒng)的形式：①可見：1/12/202366算子法又由①：設為因果