材料力學(xué)第五章彎曲應(yīng)力電子科技大學(xué)于亞婷

§5–1

引言

§5–2

純彎曲時的正應(yīng)力

§5–3

橫力彎曲時的正應(yīng)力

§5–4

梁的切應(yīng)力及強度條件

§5–5

提高梁強度的主要措施第五章彎曲應(yīng)力現(xiàn)象1：工程中在安放矩形截面木梁時，一般總是將梁豎放，使其高度h大于寬度b。bhbh承載能力大承載能力小工程現(xiàn)象

現(xiàn)象2：在鋼結(jié)構(gòu)中，經(jīng)常采用型鋼梁如工字形梁，盒形梁等，而不使用方形梁。結(jié)論:梁的承載能力,不但取決于橫截面面積,還取決于截面的形狀和如何放置等因素。研究彎曲變形梁橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律對于合理設(shè)計梁的結(jié)構(gòu)非常重要。No伽利略《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話與數(shù)學(xué)證明對話集》“我想再談幾句關(guān)于空中或中空的固體的抗力方面的意見，人類的技藝（技術(shù)）和大自然都在盡情地利用這種空心的固體。這種物質(zhì)可以不增加重量而大大增加它的強度，這一點不難在鳥的骨頭上和蘆葦上看到。它們的重量很小，但是有極大的抗彎力和抗斷力。麥桿所支持的麥穗重量，要超過整株麥莖的重量。假如與麥稈同樣重量的物質(zhì)卻生成實心的而不是空心的，它的抗彎和抗斷力就要大大減低?！眒mFSM一、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力當(dāng)梁上有橫向外力作用時,一般情況下,梁的橫截面上既有彎矩M,又有剪力FS

.§5–1

引言mmFSmmM彎矩M

正應(yīng)力s只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩剪力FS

切應(yīng)力t內(nèi)力只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA

才能合成剪力所以,在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力（NormalStress）又有切應(yīng)力（shearstress）.二、分析方法平面彎曲時橫截面

純彎曲梁(橫截面上只有M而無FS的情況)平面彎曲時橫截面

橫力彎曲(橫截面上既有FS又有M的情況)s

ts

簡支梁CD段任一橫截面上,剪力等于零,而彎矩為常量,所以該段梁的彎曲就是純彎曲.若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量,剪力為零,則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。三、純彎曲FFaaCD+-FF+F.a圖5-1AB§5–2

純彎曲時的正應(yīng)力

變形的分布規(guī)律觀察變形提出假設(shè)應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系一、實驗1、變形現(xiàn)象縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長相對轉(zhuǎn)過了一個角度,

仍與變形后的縱向弧線垂直各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線縱向線橫向線2、提出假設(shè)平面假設(shè)變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線(b)單向受力假設(shè)縱向纖維不相互擠壓,只受單向拉壓推論：必有一層變形前后長度不變的纖維——中性層（Neutralsurface）中性軸縱向?qū)ΨQ面中性軸⊥

中性層縱向?qū)ΨQ面觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸dx圖（b）yzx應(yīng)變分布規(guī)律直梁純彎曲時縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比圖（a）dx二、變形幾何關(guān)系圖（c）yρzyxo’o’b’b’ybboo三、物理關(guān)系所以Hooke’sLawMyzOx直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應(yīng)力，與它到中性軸的距離成正比應(yīng)力分布規(guī)律?待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑ρ??觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸yzxOMdAzyσdA四、靜力關(guān)系

橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系這一力系簡化，得到三個內(nèi)力分量中性層的曲率半徑ρ中性軸的位置待解決問題FNMzMy內(nèi)力與外力相平衡可得(1)(2)(3)將應(yīng)力表達式代入(1)式，得將應(yīng)力表達式代入(2)式，得將應(yīng)力表達式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足橫截面對z軸的慣性矩觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸中性軸過橫截面形心EIz稱為抗彎剛度(Flexuralrigidity)純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩討論

(1)應(yīng)用公式時,一般將M,y

以絕對值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負號.以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力(

為正號).凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力(為負號).(2)最大正應(yīng)力發(fā)生彎矩最大的截面上距離中性軸最遠的點處則公式改寫為引用記號——抗彎截面系數(shù)（1）當(dāng)中性軸為對稱軸時矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdyzy（2）對于中性軸不是對稱軸的橫截面M應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力注意：（1）在計算正應(yīng)力前，必須弄清楚所要求的是哪個截面上的正應(yīng)力，從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩；以及所求的是該截面上哪一點的正應(yīng)力，并確定該點到中性軸的距離。（2）要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大。（4）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。（3）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應(yīng)力的正負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來確定。當(dāng)梁上有橫向力作用時,橫截面上既有彎矩又有剪力。梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲?！?–3

橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時,梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲,橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力,純彎曲時所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立.一、橫力彎曲雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異,但進一步的分析表明,工程中常用的梁,純彎曲時的正應(yīng)力計算公式,可以精確的計算橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力.等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力公式為二、公式的應(yīng)用范圍1、在彈性范圍內(nèi)3、平面彎曲（Planebending）4、直梁（Straightbeams）2、具有切應(yīng)力的梁三、強度條件：梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力1、數(shù)學(xué)表達式2、強度條件的應(yīng)用(2)設(shè)計截面(3)確定許可載荷(1)強度校核

說明：（1）最大彎曲正應(yīng)力可能發(fā)生在最大正彎矩或負彎矩截面上，即危險截面。（2）最大彎曲正應(yīng)力可能發(fā)生在危險截面上離中性軸最遠的各點處，即危險點。（3）對于變截面梁而言，需要綜合考慮M和Iz

。（4）對于塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗壓強度相同（如低碳鋼），因此要求絕對值最大的彎曲正應(yīng)力不超過材料的許用彎曲正應(yīng)力。對等截面直梁來說，危險截面僅有一個，即|Mmax|所在截面，而截面上的危險點，即ymax

所在之點。（5）對脆性材料而言，由于材料的抗拉和抗壓強度不等，因此要求最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力都不超過材料的許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力。就關(guān)于中性軸不對稱等截面直梁來說，危險截面有兩個：正彎矩最大的截面和負彎矩最大的截面。而每個危險截面有兩個危險點，即ymax

和ymin

所在之點。因此要滿足全梁的強度，必須這些點的強度均滿足。例題1螺栓壓板夾緊裝置如圖所示.已知板長3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力[σ]＝140MP.試計算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解

(1)作出彎矩圖的最大彎矩為Fa(2)求慣性矩，抗彎截面系數(shù)(3)求許可載荷380y1y22020120z例題2

T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為[t]=30MPa,抗壓許用應(yīng)力為[c]=160MPa.已知截面對形心軸Z的慣性矩為Iz

=763cm4,y1=52mm,校核梁的強度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m(1)確定危險截面（2）確定危險點的強度RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN.m2.5kN.m解最大正彎矩在截面C上最大負彎矩在截面B上

B截面（上拉下壓）C截面（上壓下拉）80y1y22020120z例題3由n片薄片組成的梁，求每個薄片的最大正應(yīng)力和整個梁的最大正應(yīng)力。zbFlh解:(1)當(dāng)每片間的磨擦力很小時,每一薄片就獨立彎曲每一薄片中的最大正應(yīng)力等于近似地認為每片上承擔(dān)的外力等于zbFlh(2)若用剛度足夠的螺栓將薄片聯(lián)緊,桿就會象整體梁一樣彎曲最大正應(yīng)力等于每個薄片的最大正應(yīng)力和整個梁的最大正應(yīng)力是相同的。一、梁橫截面上的切應(yīng)力1、矩形截面梁

§5–4梁的切應(yīng)力及強度條件(1)兩個假設(shè)(a)切應(yīng)力與剪力平行(b)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布(即矩中性軸等距離處切應(yīng)力相等)

q(x)F1F2PbhyF(s)(t)mnnmxyzobdxm’m’hn(2)分析方法(a)用橫截面m-m,n-n從梁中截取dx一段.兩橫截面上的彎矩不等.所以兩截面同一y處的正應(yīng)力也不等.(b)假想地從梁段上截出體積元素mB1在兩端面mA1,nB1上兩個法向內(nèi)力不等.ABB1A1mnxzyym’q(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1mnnmxyzoyABA1B1bdxm’m’hnττ’(c)在縱截面上必有沿x

方向的切向內(nèi)力dFs’.故在此面上就有切應(yīng)力τABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’根據(jù)假設(shè)橫截面上距中性軸等遠的各點處切應(yīng)力大小相等.各點的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?取分離體的平衡即可求出.ABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’(3)公式推導(dǎo)假設(shè)m-m,n-n上的彎矩為M和M+dM.兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2.A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積式中：為面積A*對中性軸的靜矩.A*y1化簡后得由平衡方程A*ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’y1b矩型截面的寬度yz整個橫截面對中性軸的慣性矩距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩(4)切應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定y1nBmAxyzOyA1B1m1可見,切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.zτmaxy=±h/2(即在橫截面上距中性軸最遠處)τ=0y=0(即在中性軸上各點處),切應(yīng)力達到最大值式中,A=bh,為矩形截面的面積.y12、工字形截面梁研究方法與矩形截面同,切應(yīng)力的計算公式亦為HoyBxbzhb

——腹板的厚度研究表明，工字形梁腹板承受了95%-97%

的剪力，因此對工字形梁我們只考慮腹板的切應(yīng)力計算方法。——距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A*對中性軸的靜矩.OzydxyOzydxyτminozyτmaxτmax(a)腹板上的切應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化.(b)最大切應(yīng)力也在中性軸上.這也是整個橫截面上的最大切應(yīng)力.y=0y=±h/2ydzo假設(shè)(a)沿寬度kk’上各點處的切應(yīng)力均匯交于o’點.(b)各點處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等.在截面邊緣上各點的切應(yīng)力的方向與圓周相切.3、圓截面梁最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上yzoA*式中為圓截面的面積b為kk’弦的長度4、圓環(huán)形截面梁圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為,環(huán)的平均半徑為r0,由于

?r0故可假設(shè)(a)橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化.(b)切應(yīng)力的方向與圓周相切.zyr0δ式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上,其值為zyr0δ二、強度條件對于一般細長的非薄壁截面梁，通常只需按彎曲正應(yīng)力強度條件進行分析即可。只有在幾種特殊情況下，要進行梁的彎曲切應(yīng)力強度校核。小結(jié)一般情況下，在剪力為最大值的截面的中性軸上出現(xiàn)最大切應(yīng)力為中性軸以下（或以上）部分對中性軸的靜矩三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短,M

較小,而FS較大時,要校核切應(yīng)力.（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時,要校核切應(yīng)力.（4）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差,要校核切應(yīng)力.（3）經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的梁，對焊縫、鉚釘或膠合面等，一般要進行切應(yīng)力計算和校核。說明：

（1）最大彎曲切應(yīng)力τmax的計算，應(yīng)視截面為矩形、工字形、圓形等不同情況，應(yīng)用不同的計算式。當(dāng)為等截面梁時，只需校核最大剪力Fmax所在截面的中性軸上點的切應(yīng)力是否滿足強度條件；當(dāng)為非等截面梁時，還需考慮未出現(xiàn)Fmax的截面。

（2）在校核梁的強度或進行截面設(shè)計時，必須同時滿足梁的正應(yīng)力強度條件和切應(yīng)力強度條件。在工程中，通常先按正應(yīng)力強度條件設(shè)計出截面尺寸，然后進行切應(yīng)力強度校核。F例題4

一簡易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應(yīng)力[]=170MPa,許用彎曲切應(yīng)力[]=100MPa，試校核梁的強度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車梁可簡化為簡支梁力

P在梁中間位置時有最大正應(yīng)力.(a)正應(yīng)力強度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為+FSmax5mABFC(b)切應(yīng)力強度校核在計算最大切應(yīng)力時,應(yīng)取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示,因為此時該支座的支反力最大,而梁的最大切應(yīng)力也就最大.查型鋼表中,20a號工字鋼,有d=7mm據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強度以上兩方面的強度條件都滿足,所以此梁是安全的.解(1)計算支反力做內(nèi)力圖.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m例題5簡支梁AB如圖所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的載荷為q＝10kN/m,F＝200kN.材料的許用應(yīng)力為[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,試選擇工字鋼型號.(2)根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表,選用22a工字鋼,其Wz＝309cm3（3）校核梁的切應(yīng)力腹板厚度

b=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN查表得τmax超過[τ]很多，應(yīng)重新選擇更大的界面.現(xiàn)已25b工字鋼進行試算查表得b=1cm所以應(yīng)選用型號為25b的工字鋼.例題6對于圖中的吊車大梁,現(xiàn)因移動荷載F增加為50kN,故在20a號工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm而長度為2.2m的鋼板加強,加強段的橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應(yīng)力[]=152MPa,許用切應(yīng)力[]=95MPa.試校核此梁的強度.2.2m200z22012010解加強后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核(3)F移至未加強的梁段在截面變化處的正應(yīng)力(2)F靠近支座時支座截面上的切應(yīng)力(1)F位于跨中時跨中截面上的彎曲正應(yīng)力(1)校核F位于跨中時截面時的彎曲正應(yīng)力查表得20a工字鋼F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大彎矩值為跨中截面對中性軸的慣性矩為200z22012010略去了加強板對其自身形心軸的慣性矩.抗彎截面系數(shù)(2)校核突變截面處的正應(yīng)力,也就是校核未加強段的正應(yīng)力強度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA50.4kN.m該截面上的彎矩為最大從型鋼表中查得20a工字鋼梁不能滿足正應(yīng)力強度條件.為此應(yīng)將加強板適當(dāng)延長.(3)校核階梯梁的切應(yīng)力F靠近任一支座時,支座截面為不利荷載位置請同學(xué)們自行完成計算.（參考例題4）

例題7：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T型截面，已知材料的許用拉應(yīng)力為[σt]＝40MPa，許用壓應(yīng)力[σc]＝100MPa。試校核梁的強度。單位：mm解：（1）繪制彎矩圖最大負彎矩（A截面）

彎矩圖

最大正彎矩（C截面）以外伸梁為研究對象，受力圖如圖所示。由平衡方程得A、B處的約束力分別為繪制彎矩圖截面形心距底邊（2）確定中性軸的位置單位：mm（3）截面對中性軸的慣性矩拉應(yīng)力強度校核

A截面為負彎矩，上部受拉C截面為正彎矩，下部受拉（4）校核梁的強度（繪出應(yīng)力分布圖）A截面應(yīng)力分布C截面應(yīng)力分布圖由于，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣。拉應(yīng)力強度足夠。A截面下部受壓：C截面上部受壓：壓應(yīng)力強度校核

A截面應(yīng)