七年級(jí)北師大版數(shù)學(xué)4.3探索三角形全等的條件1.完成下列問(wèn)題：(1)只給出一個(gè)條件或兩個(gè)條件，能否保證所畫(huà)出的三角形一定全等？答：_____.(2)如果給定三個(gè)條件畫(huà)三角形，共有幾種可能？答：_______、_______、_________和_________,共4種情況.不能三條邊三個(gè)角兩邊一角兩角一邊2.閱讀相應(yīng)的“做一做”,請(qǐng)?zhí)羁眨?1)已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角所畫(huà)出的三角形_______全等.(2)已知三角形的三邊長(zhǎng)所畫(huà)的三角形_____全等.【歸納】①三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形________全等.②三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為：邊邊邊或SSS.【點(diǎn)撥】SSS是判定兩個(gè)三角形全等的常用方法之一.不一定一定不一定3.三角形的穩(wěn)定性用三根木條釘成一個(gè)三角形框架，它的_____和_____是固定不變的，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.大小形狀【預(yù)習(xí)思考】三角形的穩(wěn)定性與三角形的判別方法“SSS”之間有何關(guān)系？提示：三角形的穩(wěn)定性可以用“SSS”來(lái)解釋，即如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)確定，那么這個(gè)三角形就惟一確定.

利用“SSS”說(shuō)明三角形全等【例】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB，則∠A=∠C,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題探究】(1)∠A和∠C是有何位置關(guān)系的角？能利用平行線的性質(zhì)說(shuō)明∠A=∠C嗎？答：不是，故不能利用平行線的性質(zhì)說(shuō)明∠A=∠C.(2)如果要利用全等三角形的性質(zhì)說(shuō)明∠A=∠C，要使得∠A和∠C分別在兩個(gè)三角形中，只需連接BD.(3)在△ABD和△CDB中，已有的條件：AB=CD，AD=CB,則還需一個(gè)條件.(4)BD與△ABD和△CDB有何關(guān)系？答：BD是△ABD和△CDB的公共邊，故BD=DB,綜上，由“SSS”可得△ABD≌△CDB，故∠A=∠C.【規(guī)律總結(jié)】利用“SSS”解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的兩點(diǎn)注意1.添加輔助線：通過(guò)添加輔助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形全等的問(wèn)題.2.隱含條件：公共邊是常見(jiàn)的隱含條件，在題目已知中一般是不會(huì)給出的，一定認(rèn)真讀圖分析.【跟蹤訓(xùn)練】1.小明用四根竹棒扎成如圖所示的風(fēng)箏框架，已知AB=CD，AD=CB，下列判斷不正確的是()(A)∠A=∠C(B)∠ABC=∠CDA(C)∠ABD=∠CDB(D)∠ABD=∠C【解析】選D.連接BD，在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB,所以△ABD≌△CDB，所以∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，所以∠ABC=∠CDA.故選D.2.如圖，△ABC中，AB=AC，EB=EC，則由“SSS”可以判定()(A)△ABD≌△ACD(B)△ABE≌△ACE(C)△BDE≌△CDE(D)以上答案都不對(duì)【解析】選B.因?yàn)锳B=AC，EB=EC，AE=AE,所以△ABE≌△ACE.3.如圖，在△ABC和△BAD中，BC=AD，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC≌△BAD.你補(bǔ)充的條件是_________(只填一個(gè)).【解析】在△ABC和△BAD中，已知BC=AD，且AB=BA，所以只需再添加條件：AC=BD，可由“SSS”得△ABC≌△BAD.答案：AC=BD(答案不惟一)1.下列各組條件中能判定△ABC≌△DEF的是()(A)AB=DE，BC=EF(B)∠A=∠D，∠C=∠F(C)AB=DE,BC=EF,△ABC的周長(zhǎng)等于△DEF的周長(zhǎng)(D)∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠F【解析】選C.由△ABC的周長(zhǎng)等于△DEF的周長(zhǎng)且AB=DE,BC=EF，所以AC=DF，故由“SSS”得△ABC≌△DEF.2.如圖，AB=CD，AE=DF，CE=BF，∠B=55°，則∠C的度數(shù)是()(A)45°(B)55°(C)35°(D)65°【解析】選B.因?yàn)镃E=BF,所以CE-EF=BF-EF,即CF=BE,在△ABE和△DCF中，AB=DC,AE=DF,CF=BE,所以△ABE≌△DCF,所以∠C=∠B=55°.3.工人師傅在安裝木制門(mén)框時(shí)，為防止變形常常如圖中所示，釘上兩條斜拉的木條，這樣做的原理是根據(jù)三角形的______性.【解析】門(mén)框釘上斜拉的木條構(gòu)成三角形，三角形具有穩(wěn)定性.答案：穩(wěn)定4.如圖，若AB=AC，AD=AE，則需要____________條件就可根據(jù)“SSS”判斷△ABE≌△ACD.【解析】由BD=CE可得BD+DE=CE+DE即BE=CD，得三邊對(duì)應(yīng)相等.答案：BE=CD或BD=CE5.如圖所示，在△ABC和△EFD中，AD=FC，AB=FE，BC=ED.說(shuō)明△ABC≌△FED.【解析】因?yàn)锳D=FC,所以AD+DC=FC+DC，

BC=ED，即AC=FD，在△ABC和△FED中，AC=FD，

AB=FE，∴△ABC≌△FED(SSS).第2課時(shí)1.已知兩角度數(shù)及夾邊長(zhǎng)度，所畫(huà)得的三角形_____.即：兩角和它們的_____分別相等的兩個(gè)三角形_____，簡(jiǎn)寫(xiě)為：_________或_______.2.如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，試說(shuō)明△ABC≌△A′B′C′.全等夾邊全等“角邊角”“ASA”由∠A+∠B+∠C=______，∠A′+∠B′+∠C′=______，所以∠A+∠B+∠C___∠A′+∠B′+∠C′.又因?yàn)椤螦=∠A′，∠B=∠B′，所以∠C=∠____，又BC=B′C′，所以由_______得△ABC≌△A′B′C′.3.由2得：兩角分別相等且其中一組等角的_____相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成：“_______”或“____”.【歸納】在兩個(gè)三角形中，有兩角一邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等.180°180°ASA對(duì)邊角角邊AAS=C′【預(yù)習(xí)思考】對(duì)于兩個(gè)直角三角形，有一邊和銳角對(duì)應(yīng)相等，它們?nèi)葐幔刻崾荆喝?，其中隱含條件是直角對(duì)應(yīng)相等，故可由“ASA”或“AAS”得兩個(gè)三角形全等.“ASA”或“AAS”的綜合應(yīng)用【例】(2012·宜賓中考)如圖，點(diǎn)A，B，D，E在同一直線上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F.求證：AC=EF.【解題探究】(1)欲證AC=EF，只需說(shuō)明△ABC≌△EDF.(2)①AD，EB是(1)中兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊嗎？ 答：不是.②由AD=EB，可得AD-BD=EB-BD，故得AB=ED.(3)由BC∥DF，得∠CBD=∠FDB，進(jìn)而得∠ABC=∠EDF.綜上，在△ABC和△EDF中，∠C=∠F，∠ABC=∠EDF，AB=ED，所以△ABC≌△EDF(AAS)，故AC=EF.【規(guī)律總結(jié)】說(shuō)明三角形全等的三類條件1.直接條件：即已知中直接給出的三角形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.2.隱含條件：即已知沒(méi)有給出，但通過(guò)讀圖很容易得到的條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角等.3.間接條件：即已知中所給條件不是三角形的邊和角，需要進(jìn)一步推理.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖所示，AB∥CD，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，直接應(yīng)用“ASA”定理證明△ABC≌△DCE還需要的條件是()(A)AB=CD(B)∠ACB=∠E(C)∠A=∠D(D)AC=DE【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，所以BC=CE，因?yàn)锳B∥CD，所以∠B=∠DCE，所以應(yīng)添加∠ACB=∠E才能直接應(yīng)用“ASA”得△ABC≌△DCE.2.如圖，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，還應(yīng)給出的條件是()(A)∠E=∠B(B)ED=BC(C)AB=EF(D)AF=CD【解析】選D.若AF=CD，則AC=DF.又因?yàn)椤螦=∠D，∠1=∠2,所以△ABC≌△DEF.3.如圖所示，OD=OB，AD∥BC，則全等三角形有()(A)2對(duì)(B)3對(duì)(C)4對(duì)(D)5對(duì)【解析】選C.根據(jù)題意AD∥BC得∠ADO=∠CBO，∠DOA=∠BOC，又OD=OB，所以△DOA≌△BOC同理可證△DOC≌△BOA，△DAB≌△BCD，△ACD≌△CAB，所以有4對(duì).【變式備選】如圖，點(diǎn)B在∠CAD的平分線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：________________，使△ABC≌△ABD(只填一個(gè)即可).【解析】因?yàn)辄c(diǎn)B在∠CAD的平分線上，所以∠CAB=∠DAB，AB=AB，只需添加一角即可.答案：∠C=∠D(或∠ABC=∠ABD或∠CBE=∠DBE)(答案不惟一)1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，則下列結(jié)論中正確的是()(A)AC=A′C′(B)BC=B′C′(C)AC=B′C′(D)∠A=∠A′【解析】選C.如圖所示，因?yàn)椤螩=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，∴Rt△ABC≌Rt△B′A′C′，所以AC=B′C′(A不正確，C正確)，BC=A′C′(B不正確)，∠A=∠B′(已知已給出，D不正確).2.如圖，某同學(xué)將一塊三角形玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是()(A)帶(1)去(B)帶(2)去(C)帶(3)去(D)帶(1)(2)去【解析】選C.題干中圖(3)包含原三角形的兩角一邊，根據(jù)“ASA”可配一塊與原三角形玻璃完全一樣的玻璃.3.如圖，已知∠A=∠D，AB=CD，可得△ABO≌_______，理由是_______.【解析】在△ABO與△DCO中，∠A=∠D，AB=CD，又∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO(AAS).答案：△DCOAAS4.(2012·綏化中考)如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B，D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE=8，BF=5，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)________.【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°.因?yàn)锽F⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，所以∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，所以∠FBA=∠EAD.所以在Rt△AFB和Rt△AED中，因?yàn)椤螦FB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD，AB=DA，所以△AFB≌△DEA(AAS)，所以AF=DE=8，BF=AE=5，所以EF=AF+AE=8+5=13.答案：135.如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD.試說(shuō)明：AE=FC.【解析】因?yàn)锽E∥DF，所以∠ABE=∠D，在△ABE和△FDC中，∠ABE=∠D，

AB=FD，∠A=∠F，所以△ABE≌△FDC,所以AE=FC.第3課時(shí)1.已知一個(gè)三角形的兩邊及一角，有幾種可能的情況？答：_________________________________________.2.已知三角形的兩邊長(zhǎng)及夾角的度數(shù)，所畫(huà)的三角形_____全等；而已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，所畫(huà)的三角形_______全等.【歸納】全等三角形的第四判別方法：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形_____，簡(jiǎn)寫(xiě)成：“_______”或“_____”.【點(diǎn)撥】運(yùn)用SAS判別兩個(gè)三角形全等時(shí)，其中角必為夾角.兩種，即兩邊及夾角和兩邊及其中一邊的對(duì)角一定不一定全等邊角邊SAS【預(yù)習(xí)思考】有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定全等嗎？提示：不一定，只有當(dāng)這一角為兩邊的夾角時(shí)，兩個(gè)三角形才全等.SAS的綜合應(yīng)用【例】(6分)(2012·銅仁中考)如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，AE∥CF，AE=CF，BE=DF.說(shuō)明：△ADE≌△CBF.【規(guī)范解答】因?yàn)锳E∥CF，所以∠AED=∠CFB，…………2分因?yàn)镈F=BE，所以DF+EF=BE+EF，即DE=BF，……………

4分在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，所以△ADE≌△CBF(SAS).……6分特別提醒：BE和DF不是△ADE與△CBF中的對(duì)應(yīng)邊.

【互動(dòng)探究】上例條件不變，你能證明△ABE≌△CDF嗎？提示：能.因?yàn)锳E∥CF，所以∠AED=∠CFB，所以∠AEB=∠CFD，又AE=CF,BE=DF,故△ABE≌△CDF(SAS).【規(guī)律總結(jié)】由已知說(shuō)明兩三角形全等的一般思路(1)若已知兩邊→(2)若已知一邊一角→邊為角的對(duì)邊→找任一角→

AAS找角的另一鄰邊→SAS邊為角的鄰邊→找邊的另一鄰角→ASA

找邊的對(duì)角→AAS(3)若已知兩角→

找?jiàn)A角→SAS

找第三邊→SSS找?jiàn)A邊→ASA找任一角的對(duì)邊→AAS【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF，還需的條件是()(A)∠A=∠D(B)∠B=∠E(C)∠C=∠F(D)以上三個(gè)均可以【解析】選Ｂ.再添加條件∠B=∠E，正好能用“SAS”判定△ABC≌△DEF.2.如圖，已知∠1=∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是()(A)AB=AC(B)BD=CD(C)∠B=∠C(D)∠BDA=∠CDA【解析】選B.A、因?yàn)椤?=∠2，AD為公共邊，若AB=AC，則△ABD≌△ACD(SAS)，故本選項(xiàng)正確，不合題意；B、因?yàn)椤?=∠2，AD為公共邊，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、因?yàn)椤?=∠2，AD為公共邊，若∠B=∠C，則△ABD≌△ACD(AAS)，故本選項(xiàng)正確，不合題意；D、因?yàn)椤?=∠2，AD為公共邊，若∠BDA=∠CDA，則△ABD≌△ACD(ASA)，故本選項(xiàng)正確，不合題意.3.如圖所示，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在DC上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件:_________，使△ABE≌△BCF(只添加一個(gè)條件即可).【解析】若用“SAS”則需添加BE=CF或CE=DF，若用“AAS”則需添加∠BAE=∠CBF或∠AEB=∠BFC或BF⊥AE.答案：BE=CF(答案不惟一)【變式備選】如圖，已知等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)為()(A)45°(B)60°(C)55°(D)75°【解析】選B.等邊△ABC中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠BAD=∠CBE，所以∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°.1.如圖，a，b，c分別表示△ABC的三邊長(zhǎng)，則下面與△ABC一定全等的三角形是()【解析】選B.由三角形內(nèi)角和是180°得∠C=58°，即△ABC中，長(zhǎng)為a，b的兩邊的夾角是58°，由“SAS”得B正確.2.如圖，在下列條件中，不能直接證明△ABD≌△ACD的是()(A)BD=DC，AB=AC(B)∠ADB=∠ADC，BD=DC(C)∠B=∠C，∠BAD=∠CAD(D)∠B=∠