年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試〔湖南卷〕數(shù)學〔理科〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．〔1〕【2023年湖南，理1，5分】滿足〔為虛數(shù)單位〕的復數(shù)〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由題意，應選B．〔2〕【2023年湖南，理2，5分】對一個容量為的總體抽取容量為的樣本,中選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】根據(jù)隨機抽樣的原理可得簡單隨機抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等，即，應選D．〔3〕【2023年湖南，理3，5分】，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，那么〔〕〔A〕-3〔B〕-1〔C〕1〔D〕3【答案】C【解析】分別令和可得且，那么，應選C．〔4〕【2023年湖南，理4，5分】的展開式中的系數(shù)是〔〕〔A〕-20〔B〕-5〔C〕5〔D〕20【答案】A【解析】第項展開式為，那么時，，應選A．〔5〕【2023年湖南，理5，5分】命題：假設，那么；命題：假設，那么．在命題①；②；③；④中，真命題是〔〕〔A〕①③〔B〕①④〔C〕②③〔D〕②④【答案】C【解析】當時,兩邊乘以可得，所以命題為真命題,當時,因為，所以命題為假命題，所以=2\*GB3②=3\*GB3③為真命題，應選C．〔6〕【2023年湖南，理6，5分】執(zhí)行如下列圖的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的屬于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】當時,運行程序如下，，當時，，那么，應選D．〔7〕【2023年湖南，理7，5分】一塊石材表示的幾何體的三視圖如下列圖，將該石材切削、打磨、加工成球，那么能得到的最大球的半徑等于〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕4【答案】B【解析】由圖可得該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑，那么，應選B．〔8〕【2023年湖南，理8，5分】某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，那么該市這兩年的生產(chǎn)總值的年平均增長率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】設兩年的平均增長率為,那么有，應選D．〔9〕【2023年湖南，理9，5分】函數(shù)發(fā)，且，那么函數(shù)的圖象的一條對稱軸是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】解法一：函數(shù)的對稱軸為，因為，所以或，那么是其中一條對稱軸，應選A．解法二：由定積分的幾何性質(zhì)與三角函數(shù)圖象可知是函數(shù)的一個對稱中心，所以，所以，應選A．〔10〕【2023年湖南，理10，5分】函數(shù)與的圖像上存在關于軸對稱的點，那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由題可得函數(shù)的圖像上存在點關于軸對稱的點在函數(shù)的圖像上，從而有，即．問題等價于函數(shù)在存在零點．解法一：，在單調(diào)遞增，當時，，要使在存在零點，那么，從而，應選B．解法二：問題等價于函數(shù)與的圖象在有交點,在同一坐標系中作出這兩個函數(shù)的圖象，當?shù)膱D象在左右平移的過程中，即可，即，應選B．二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每題5分，共25分．〔一〕選做題：在11,12,13三題中任選兩題作答，如果全做，那么按全兩題記分．〔11〕【2023年湖南，理11，5分】在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線與曲線〔為參數(shù)〕交于兩點，且，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，那么直線的極坐標方程是．【答案】【解析】曲線的普通方程為,設直線的方程為，因為弦長，所以圓心到直線的距離，所以圓心在直線上，故．〔12〕【2023年湖南，理12，5分】如圖3，是的兩條弦，，那么的半徑等于．【答案】【解析】設線段交于點延長交圓與另外一點，那么，由三角形的勾股定理可得，由雙割線定理可得，那么直徑．〔13〕【2023年湖南，理13，5分】假設關于的不等式的解集為，那么．【答案】【解析】由題可得．〔二〕必做題〔14~16題〕〔14〕【2023年湖南，理14，5分】假設變量滿足約束條件，且的最小值為，那么．【答案】【解析】求出約束條件中三條直線的交點為，且的可行域如圖,所以，那么當為最優(yōu)解時，，當為最優(yōu)解時，，因為，所以．〔15〕【2023年湖南，理15】如圖，正方形和正方形的邊長分別為，原點為的中點，拋物線經(jīng)過兩點，那么．【答案】【解析】由題可得，那么．〔16〕【2023年湖南，理16，5分】在平面直角坐標系中，為原點，，動點滿足，那么的最大值是．【答案】【解析】動點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，可設的坐標為，那么．，其中，當時，的取到最大值．三、解答題：本大題共6題，共75分．解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程．〔17〕【2023年湖南，理17，12分】某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和．現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品．設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．〔1〕求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；〔2〕假設新產(chǎn)品研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；假設新產(chǎn)品研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學期望．解：記甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功．由題意知，且與，與，與，與都相互獨立．〔1〕記至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，那么，于是，故所求的概率為．〔2〕設企業(yè)可獲利潤為，那么的可能取值為0,100,120,220．因，故所求的分布列為0100120220數(shù)學期望為：．〔18〕【2023年湖南，理18，12分】如圖，在平面四邊形中，．〔1〕求的值；〔2〕假設，，求的長．解：〔1〕在中，由余弦定理，得：，故由題設知，．〔2〕設，那么，因為，，所以,，于是在中，由正弦定理，，故．〔19〕【2023年湖南，理19，13分】如圖,四棱柱的所有棱長都相等,，四邊形和四邊形為矩形．〔1〕證明:底面；圖a〔2〕假設，求二面角的余弦值．圖a解：〔1〕如圖〔a〕，因為四邊形為矩形，所以，同理．因為，所以，而，因此平面，由題設知，故平面．〔2〕解法一：如圖〔a〕，過作于，連接．由〔1〕知，平面，所以平面，于是，又四棱柱的所有棱長都相等，所以是菱形，因此，從而平面，所以，于是平面，進而，所以為二面角的平面角，不妨設，因為，所以，在中，易知,又．于是，圖b故．即二面角的余弦值為．圖b解法二：因為四棱柱的所有棱長都相等，所以是菱形，因此，又平面，從而兩兩垂直．如圖〔b〕，以所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，不妨設，因為，所以．于是相關各點的坐標為，易知，是平面平面的一個法向量．設是平面的一個法向量，那么，即，取，那么，所以．設二面角的大小為，易知是銳角，于是．二面角的余弦值為．〔20〕【2023年湖南，理20，13分】數(shù)列滿足．〔1〕假設數(shù)列是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值；〔2〕假設，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．解：〔1〕因為數(shù)列是遞增數(shù)列，，而，因此，又成等差數(shù)列，所以，因而得．解得．當時，，這與是遞增數(shù)列矛盾，故．〔2〕是遞增數(shù)列，因而，于是①但，所以②由①，②知，，因此③因為是遞減數(shù)列，同理可得，故④由③，④知，，于是．數(shù)列的通項公式為．〔21〕【2023年湖南，理21，13分】如圖，為坐標原點，橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，，且．〔1〕求的方程；〔2〕假設過作的不垂直于軸的弦，為的中點，當直線與交于兩點時，求四邊形面積的最小值．解：〔1〕因為，所以，即，因此，從而，，所以，，橢圓方程為，雙曲線的方程為．〔2〕因為直線不垂直于軸且過點，故課設直線的方程為．由得．易知此方程的判別式大于0．設，那么是上述方程的兩個實根，所以，因此，的中點為，故直線的斜率為，的方程為，即．由，得，，設點到直線的距離為，那么點到直線的距離也為，所以因為點在直線的異側(cè)，所以，于是，從而又因為，所以四邊形面積而，故當時，取得最小值2．四邊形面積的最小值為2．〔22〕【2023年湖南，理22，13分】常數(shù)，函數(shù)．〔1〕討論在區(qū)間上的單調(diào)性；〔2〕假設存在兩個極值點，且，求的取值范圍．解：〔1〕，〔*〕因為，所以當時，當時，，此時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當時,〔舍去〕，當時，；當時，．故在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的．綜上所述：當時,，此時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當時,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞