PAGEPAGE112023年理科數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ答案與解析一、選擇題共12小題。每題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的一項。1.集合，那么 ( )A.A∩B=B.A∪B=RC.B?A D.A?B考點(diǎn)：集合的運(yùn)算解析：A=(-,0)∪(2,+),∴A∪B=R.答案：B2.假設(shè)復(fù)數(shù)滿足，那么的虛部為 ( )A.B.C.4D.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算解析：由題知===，故z的虛部為.答案：D3.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取局部學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué).初中.高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 ( )A.簡單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣 C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣考點(diǎn)：抽樣的方法解析：因該地區(qū)小學(xué).初中.高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層抽樣.答案：C4.雙曲線：〔〕的離心率為，那么的漸近線方程為A.B.C.D.考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)解析：由題知，，即==，∴=，∴=，∴的漸近線方程為.答案：C5.運(yùn)行如下程序框圖，如果輸入的，那么輸出s屬于A.B.C.D.考點(diǎn)：程序框圖解析：有題意知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴輸出s屬于[-3,4].答案：A6.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，那么球的體積為()A. B.C.D.考點(diǎn)：球的體積的求法解析：設(shè)球的半徑為R，那么由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，那么，解得R=5，∴球的體積為.答案：A7.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，那么()A.3B.4 C考點(diǎn)：等差數(shù)列解析：有題意知==0，∴=－=－〔-〕=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.答案：C8.某幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的體積為A．B．C．D．考點(diǎn)：三視圖解析：由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為=.答案：A9.設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，假設(shè)，那么()A.5B.6 考點(diǎn)：二項式的展開式解析：由題知=，=，∴13=7，即=，解得=6.答案：B10.橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)。假設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，那么的方程為( )A. B. C. D.考點(diǎn)：橢圓的概念與性質(zhì)解析：設(shè)，那么=2，=－2，①②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴橢圓方程為.答案：D11.函數(shù)，假設(shè)||≥，那么的取值范圍是A．B．C．D．考點(diǎn)：解不等式組，對數(shù)函數(shù)解析：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，那么≥-2，排除Ａ，Ｂ，當(dāng)=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C.答案：D12.設(shè)的三邊長分別為，的面積為，，假設(shè)，，那么( )A.{Sn}為遞減數(shù)列B.{Sn}為遞增數(shù)列C.{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列考點(diǎn)：的求法解析：略答案：B二．填空題：本大題共四小題，每題5分。13.兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，假設(shè)b·c=0，那么t=_____.考點(diǎn)：向量的數(shù)量積解析：=====0，解得=.答案：=14.假設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Sn＝，那么數(shù)列{}的通項公式是=______.考點(diǎn)：等比數(shù)列解析：當(dāng)=1時，==，解得=1，當(dāng)≥2時，==－()=，即=，∴{}是首項為1，公比為－2的等比數(shù)列，∴=.答案：=15.設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，那么______考點(diǎn)：求三角函數(shù)的最值解析：∵==令=，，那么==，當(dāng)=，即=時，取最大值，此時=，∴===.答案：===16.假設(shè)函數(shù)=的圖像關(guān)于直線對稱，那么的最大值是______.考點(diǎn)：圖像的性質(zhì)解析：由圖像關(guān)于直線=－2對稱，那么0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===當(dāng)∈(－∞,)∪(－2,)時，＞0，當(dāng)∈(,－2)∪(,+∞)時，＜0，∴在〔－∞，〕單調(diào)遞增，在〔，－2〕單調(diào)遞減，在〔－2，〕單調(diào)遞增，在〔，+∞〕單調(diào)遞減，故當(dāng)=和=時取極大值，==16.答案：16三.解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.〔本小題總分值12分〕如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=eq\r(3)，BC=1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°(1)假設(shè)PB=eq\f(1,2)，求PA；(2)假設(shè)∠APB＝150°，求tan∠PBA考點(diǎn)：余弦定理，正弦定理解析：〔Ⅰ〕由得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；，〔Ⅱ〕設(shè)∠PBA=，由得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化簡得，，∴=，∴=.18.〔本小題總分值12分〕如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1〔Ⅰ〕證明AB⊥A1C〔Ⅱ〕假設(shè)平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C考點(diǎn)：線與線垂直證明，線與面所成角的求法解析：〔Ⅰ〕取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知EC⊥AB，⊥AB，又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，∴EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為軸正方向，||為單位長度，建立如下列圖空間直角坐標(biāo)系，有題設(shè)知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),那么=〔1,0，〕,==(－1,0,),=(0,－,),……9分設(shè)=是平面的法向量，那么，即，可取=〔，1，-1〕，∴=，∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的19.〔本小題總分值12分〕一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，假設(shè)都為優(yōu)質(zhì)品，那么這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n=4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，假設(shè)為優(yōu)質(zhì)品，那么這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立〔1〕求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；〔2〕每件產(chǎn)品檢驗費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費(fèi)用記為X〔單位：元〕，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望?？键c(diǎn)：求事件發(fā)生的概率、期望解析：設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.〔Ⅱ〕X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，∴X的分布列為X400500800PEX=400×+500×+800×=506.2520.(本小題總分值12分)圓:,圓:,動圓與外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線C.〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.考點(diǎn)：橢圓的概念，直線與橢圓位置關(guān)系解析：由得圓的圓心為〔-1，0〕,半徑=1，圓的圓心為(1,0),半徑=3.設(shè)動圓的圓心為〔，〕，半徑為R.〔Ⅰ〕∵圓與圓外切且與圓內(nèi)切，∴|PM|+|PN|===4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，場半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為.〔Ⅱ〕對于曲線C上任意一點(diǎn)〔，〕，由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為〔2，0〕時，R=2.∴當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為，當(dāng)?shù)膬A斜角為時，那么與軸重合，可得|AB|=.當(dāng)?shù)膬A斜角不為時，由≠R知不平行軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為Q，那么=，可求得Q〔-4，0〕，∴設(shè)：，由于圓M相切得，解得.當(dāng)=時，將代入并整理得，解得=，∴|AB|==.當(dāng)=－時，由圖形的對稱性可知|AB|=，綜上，|AB|=或|AB|=.21.〔本小題總分值共12分〕函數(shù)＝，＝，假設(shè)曲線和曲線都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線〔Ⅰ〕求，，，的值；〔Ⅱ〕假設(shè)≥－2時，≤，求的取值范圍?？键c(diǎn)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解不等式解析：〔Ⅰ〕由得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，，設(shè)函數(shù)==〔〕，==，有題設(shè)可得≥0，即，令=0得，=，=－2，〔1〕假設(shè)，那么－2＜≤0，∴當(dāng)時，＜0，當(dāng)時，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而==≥0，∴當(dāng)≥－2時，≥0，即≤恒成立，(2)假設(shè)，那么=，∴當(dāng)≥－2時，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0，∴當(dāng)≥－2時，≥0，即≤恒成立，(3)假設(shè)，那么==＜0，∴當(dāng)≥－2時，≤不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為[1,].22．〔本小題總分值10分〕選修4—1：幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D。〔Ⅰ〕證明：DB=DC；〔Ⅱ〕設(shè)圓的半徑為1，BC=3，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑。考點(diǎn)：弦切定理，三角形的性質(zhì)，三角形與外接圓的關(guān)系等解析：〔Ⅰ〕連結(jié)DE，交BC與點(diǎn)G.由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，又∵DB⊥BE，∴DE是直徑，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂線，∴BG=.設(shè)DE中點(diǎn)為O，連結(jié)BO，那么∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圓半徑等于.23.〔本小題10分〕選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)〕，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。〔Ⅰ〕把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；〔Ⅱ〕求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)〔ρ≥0,0≤θ＜2π〕。考點(diǎn)：參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化解析：將消去參數(shù)，化為普通方程，即