《平面向量應(yīng)用舉例》同步練習(xí)1．若向量eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分別表示兩個(gè)力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為()\r(10) B．2eq\r(5)\r(5) \r(15)解析：F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，∴|F1＋F2|＝eq\r(－22＋－12)＝eq\r(5).答案：C2．在△ABC中，若(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，則△ABC為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．無(wú)法確定解析：∵(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2－|eq\o(CB,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|2.故|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|.△ABC為等腰三角形．答案：C3．當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：作eq\o(OA,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，當(dāng)|F1|＝|F2|＝|G|時(shí)，△OAC為正三角形，∴∠AOC＝60°.從而∠AOB＝120°.答案：D4.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的對(duì)角線OB的兩端點(diǎn)分別為O(0,0)，B(1,1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.解析：由已知得A(1,0)，C(0,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1.答案：15．一個(gè)重20N的物體從傾斜角為30°，斜面上1m的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做的功是________．解析：W＝F·s＝|F|·|s|·cosθ＝20×1×cos60°＝10J.答案：10J6．已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y＝2x－6，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，點(diǎn)eq\o(RA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，求點(diǎn)P的軌跡方程．解：設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，則eq\o(RA,\s\up6(→))＝(1－x1，－y1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y)．由eq\o(RA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－2x＋3，,y1＝－2y，))代入直線l的方程得y＝2x.所以，點(diǎn)P的軌跡方程為y＝2x.7．已知，四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線．求證：AC⊥BD.證明：證法一：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝0.∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AC⊥BD.證法二：解答本題還可以用坐標(biāo)法，解法如下：以BC所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0)，設(shè)A(a，b)，C(c,0)，則由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c2－a2－b2＝0.∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AC⊥BD.8．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于________．解析：設(shè)BC的中點(diǎn)是D，如圖所示，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，所以O(shè)和D重合．所以BC是圓O的直徑．所以∠BAC＝90°.又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，所以∠ABC＝60°，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos60°＝1×2×eq\f(1,2)＝1.答案：19.如圖所示，用兩根分別長(zhǎng)5eq\r(2)m和10m的繩子將100N的物體吊在水平屋頂AB上，平衡后G點(diǎn)距屋頂?shù)木嚯x恰好為5m，求A處受力的大小．解：由已知條件可知AG與鉛直方向成45°角，BG與鉛直方向成60°角，設(shè)A處所受的力為Fa，B處所受的力為Fb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|Fa|cos45°＝|Fb|cos30°，,|Fa|sin45°＋|Fb|sin30°＝100.))解得|Fa|＝150eq\r(2)－50eq\r(6)，故A處受力的大小為(150eq\r(2)－50eq\r(6))N.10.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求BE∶EC.解：設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2.a·b＝|a||b|cos60°＝1，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋b.設(shè)eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λb，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝λb－a.由AE⊥BD，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0.解得λ＝eq\f(2,5)，∴BE∶EC＝eq\f(2,5)∶eq\f(3,5)＝2∶3.11.在某海濱城市O附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖所示)的東偏南θcosθ＝eq\f(\r(2),10)，θ∈(0°，90°)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)．臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大．問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：cosθ－45°＝\f(4,5)))解：設(shè)t小時(shí)后，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到Q處，此時(shí)城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，∠OPQ＝θ－45°.∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→)))2＝eq\o(OP,\s\up6(→))2＋eq\o(PQ,\s\up6(→))2＋2eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→)).∴eq\o(OQ,\s\up6(→))2＝eq\o(OP,\s\up6(→))2＋eq\o(PQ,\s\up6(→))2－2|eq\o(OP,\s\up6(→))||eq\o(PQ,\s\up6(→))|cos(θ－45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×eq\f(4,5)＝100(4t2－96t＋900)．依題意得eq\o(OQ,\s\up6(→))2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24，從而12h后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲．1．利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題