基樁內(nèi)力和位移計(jì)算

一、基本概念二、"m"法彈性單排樁基樁內(nèi)力和位移計(jì)算三、"m"法彈性多排樁基樁內(nèi)力與位移計(jì)算四、基樁自由長(zhǎng)度承受土壓力時(shí)的計(jì)算五、低樁承臺(tái)考慮樁一土一承臺(tái)共同作用的計(jì)算back一、基本概念(一)土的彈性抗力及其分布規(guī)律(二)單樁、單排樁與多排樁(三)樁的計(jì)算寬度(四)剛性樁與彈性樁back(一)土的彈性抗力

及其分布規(guī)律主要內(nèi)容：

樁和樁側(cè)土共同承受軸向和橫軸向外力和力矩時(shí)，樁身內(nèi)力和位移的計(jì)算，著重在橫向受力時(shí)的內(nèi)力與位移計(jì)算。樁身內(nèi)力與位移計(jì)算方法很多，常用的有：彈性地基梁法。彈性地基梁法：

將樁作為彈性地基上的梁，按文克爾假定(梁身任一點(diǎn)的士抗力和該點(diǎn)的位移成正比)的解法。基本概念明確，方法較簡(jiǎn)單，所得結(jié)果一般較安全。彈性地基梁的彈性撓曲微分方程的求解方法可用數(shù)值解法、差分法及有限元法。外荷載→樁→位移軸向荷載豎向位移→樁側(cè)摩阻力、樁底抗力橫軸向荷載和力矩

水平位移和轉(zhuǎn)角→樁側(cè)土對(duì)樁橫向土抗力σzxσzx—深度Z處的橫向(X軸向)土抗力作用：抵抗外力和穩(wěn)定樁基礎(chǔ)。取決于：土體性質(zhì)、樁身剛度、樁的入土深度、樁的截面形狀、樁距及荷載等。(一)土的彈性抗力

及其分布規(guī)律假定土的橫向土抗力符合文克爾假定，可表示為σzx=Cxz式中：σzx

橫向土抗力(kN/m2);C地基系數(shù)(KN/m3);

xz

深度Z處樁的橫向位移(m)。地基系數(shù)C：?jiǎn)挝幻娣e土在彈性限度內(nèi)產(chǎn)生單位變形時(shí)所需加的力。C值：通過對(duì)試樁在不同類別土質(zhì)及不同深度進(jìn)行實(shí)測(cè)σzx及xz后反算得到。C←土的類別及其性質(zhì)，深度。(一)土的彈性抗力

及其分布規(guī)律采用的C值隨深度的分布規(guī)律如下圖所示的幾種形式，相應(yīng)產(chǎn)生幾種基樁內(nèi)力和位移計(jì)算的方法，即：(一)土的彈性抗力

及其分布規(guī)律back1.

"m"法:應(yīng)用較廣并列入《公橋基規(guī)》,假定地基系數(shù)C隨深度成正比例地增長(zhǎng)，即C=mZ，如圖a)所示。m稱為地基土比例系數(shù)(kN/m4)。2.

"K"法:假定地基系數(shù)C隨深度呈折線變化即在樁身撓曲曲線第一撓曲零點(diǎn)B(如圖b)所示深度t處)以上地基系數(shù)C隨深度增加呈凹形拋物線變化;在第一撓曲零點(diǎn)以下，地基系數(shù)C=K(kN/m')，不再隨深度變化而為常數(shù)。3．"C值"法:假定地基系數(shù)C隨著深度成拋物線規(guī)律增加，即C=cZ0.5，如圖c)所示。c為地基土比例系數(shù)(kN/m3)。4.

"C"法，又稱"張有齡法":假定地基系數(shù)C沿深度為均勻分布，不隨深度而變化，如圖d)所示。(一)土的彈性抗力

及其分布規(guī)律back(二)單樁、單排樁與多排樁計(jì)算基樁內(nèi)力的過程：

承臺(tái)底面的外力（N、H、M）→每根樁頂?shù)暮奢dPi、Qi、Mi→各樁在荷載作用下的各截面的內(nèi)力與位移。單樁、單排樁：

與水平外力H作用面相垂直的平面上，由單根或多根樁組成的樁基礎(chǔ)。對(duì)于單樁來說，上部荷載全由它承擔(dān)。對(duì)于單排樁橋墩作縱向驗(yàn)算時(shí)，若作用于承臺(tái)底面中心的荷載為N、H、My，當(dāng)N在承臺(tái)橫橋向無偏心時(shí)，則可以假定它是平均分布在各樁上的，即Pi=N/nQi=H/nMi=My/n（3-54）

式中：n=樁的根數(shù)。當(dāng)豎向力N在承臺(tái)橫橋向有偏心距e時(shí)，即Mx=Ne因此每根樁上的豎向作用力可按偏心受壓計(jì)算,即Pi=N/n±Mxyi/Σyi2(3-55)

由此可知單樁及單排樁中每根樁樁頂作用力可按上述公式計(jì)算。此后，即以單樁形式計(jì)算樁的內(nèi)力，所以歸成一類。多排樁：指在水平外力作用平面內(nèi)有一根以上的樁的樁基樁(對(duì)單排樁作橫橋向驗(yàn)算時(shí)也屬此情況)，不能直接應(yīng)用上述公式計(jì)算備樁頂作用力，須應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法另行計(jì)算(見后述)，所以另列一類。(二)單樁、單排樁與多排樁back(三)樁的計(jì)算寬度水平外力→樁樁身寬度范圍內(nèi)樁側(cè)土受擠壓，樁身寬度以外的一定范圍內(nèi)的土體受影響(空間受力)不同截面形狀的樁，土受到的影響范圍大小也不同。多排樁間的相互遮蔽樁的計(jì)算寬度：為了將空間受力簡(jiǎn)化為平面受力，并綜合考慮樁的截面形狀及多排樁間的相互遮蔽作用，將樁的設(shè)計(jì)寬度(直徑)換算成相當(dāng)實(shí)際工作條件下，矩形截面樁的寬度b1。

b1=KfK0Kb(d)(3-56)式中：b(d)—外力H作用方向相垂直平面上樁的寬度(或直徑);Kf—形狀換算系數(shù)。即在受力方向?qū)⒏鞣N不同截面形狀的樁寬度，乘以Kf

換算為相當(dāng)于矩形截面寬度，其值見表3-18;K0—受力換算系數(shù)。即考慮到實(shí)際上樁側(cè)土在承受水平荷載時(shí)為空間受力問題，簡(jiǎn)化為平面受力時(shí)所給的修正系數(shù)，其值見表3-18;

K—樁間的相互影響系數(shù)。當(dāng)樁基有承臺(tái)聯(lián)結(jié)，在外力作用平面內(nèi)有數(shù)根樁時(shí)，各樁間的受力將會(huì)相互產(chǎn)生影響，其影響與樁間的凈距L1的大小有關(guān)。(三)樁的計(jì)算寬度back彈性樁：

當(dāng)樁的入土深度h>2.5/α?xí)r樁的相對(duì)剛度小，必須考慮樁的實(shí)際剛度，按彈性樁來計(jì)算。剛性樁：

當(dāng)樁的入土深度h≤2.5/α?xí)r，則樁的相對(duì)剛度較大，計(jì)算時(shí)認(rèn)為屬剛性樁，后面介紹的沉井基礎(chǔ)也可看作剛性樁(構(gòu)件)，其內(nèi)力位移計(jì)算萬法見本書第四章(四)剛性樁與彈性樁back二、“m”法彈性單排樁基樁

內(nèi)力和位移計(jì)算

彈性地基梁"m"法的基本假定：1）認(rèn)為樁側(cè)土為溫克爾離散線性彈簧2）不考慮樁土之間的粘著力和摩阻力3）樁作為彈性構(gòu)件考慮4）當(dāng)樁受到水平外力作用后，樁土協(xié)調(diào)變形5）任一深度Z處所產(chǎn)生的樁側(cè)土水平抗力與該點(diǎn)水平位移xz成正比即σzx=Cxz，，且地基系數(shù)C隨深度成正比增長(zhǎng)即C=mz。力和位移的符號(hào)規(guī)定：取下圖所示的坐標(biāo)系統(tǒng)對(duì)橫向位移順x軸正方向?yàn)檎?；轉(zhuǎn)角逆時(shí)針方向?yàn)檎担粡澗刈髠?cè)纖維受拉為正；橫向力順x軸正方向?yàn)檎?。二、“m”法彈性單排樁基樁

內(nèi)力和位移計(jì)算

back二、“m”法彈性單排樁基樁內(nèi)力和位移計(jì)算(一)樁的撓曲微分方程的建立及其解(二)樁身在地面以下任一深度處內(nèi)力及位移的簡(jiǎn)捷方法(無量綱法)(三)樁身最大彎矩位置(四)樁頂位移的計(jì)算公式(五)單樁、單排樁計(jì)算步驟及驗(yàn)算要求

back已知：(Z=0)；樁頂與地面平齊；樁頂作用有水平荷載Q0及彎矩M0；此時(shí)樁將發(fā)生彈性撓曲，樁側(cè)土將產(chǎn)生橫向抗力的σzx，如下圖所示。(一)樁的撓曲微分方

程的建立及其解從材料力學(xué)中知道，梁軸的撓度與梁上分布荷載q之間的關(guān)系式，即梁的撓曲微分方程為：

式中:EI

梁的彈性模量及截面慣矩。在深度z處，q=σzxb1，而σzx=Cxz；C=mz

(3-50)

(3-51)(一)樁的撓曲微分方

程的建立及其解(3-52)n=1則：(3-55)式中：α狀的變形系數(shù)；當(dāng)Z=0，x0,φ0,M0,Q0

可表示如下：令：(一)樁的撓曲微分方

程的建立及其解通過計(jì)算可得Z處樁的橫向位移：

(3-68)由此得到樁軸線撓曲方程：

(3-69)由基本假定σzx=Cxz=mZxz,將3-69代入此式在深度Z處樁側(cè)向應(yīng)力：

(3-70)(一)樁的撓曲微分方

程的建立及其解式中：

(一)樁的撓曲微分方

程的建立及其解(一)樁的撓曲微分方

程的建立及其解1．摩擦樁、柱承樁x0、φ0的計(jì)算2．嵌巖樁x0、φ0的計(jì)算back1．摩擦樁、柱承樁

x0、φ0的計(jì)算摩擦樁、柱承樁在外荷作用下，樁底將產(chǎn)生位移xh、φh。當(dāng)樁底產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移φh時(shí)，樁底的土抗力情況如右圖所示，與之相應(yīng)的樁底彎矩值Mh為=-φhC0I0式中：A0—樁底面積;

I0—樁對(duì)其重心軸的慣性矩;

C0—基底土的豎向地基系數(shù)C0=m0h這是一個(gè)邊界條件;此外由于忽略樁與樁底土之間的摩阻力，所以認(rèn)為Qh=0，這為另一個(gè)邊界條件。

將Mh=-φhC0I0

及Qh=0分別代代入(3-63)、(3-64)中得：解以上聯(lián)立方程，并令C0I0/αEI=Kh則得：1．摩擦樁、柱承樁

x0、φ0的計(jì)算1．摩擦樁、柱承樁

x0、φ0的計(jì)算根據(jù)分析，摩擦樁αh≥2.5或支承樁αh≥3.5時(shí)，Mh幾乎為零，且此時(shí)Kh對(duì)Ax0、Bx0等影響極小，可以認(rèn)為Kh=0，則式(3-66)可簡(jiǎn)化為：1．摩擦樁、柱承樁

x0、φ0的計(jì)算式中Ax0Bx0、Aφ0、Bφ0均為αZ的函數(shù)，已根據(jù)αZ值制成表格，可參考《公橋基規(guī)》

back2．嵌巖樁x0、φ0的計(jì)算如果樁底嵌固于末風(fēng)化巖層內(nèi)有足夠的深度，可根據(jù)樁底xh、φh等于零這兩個(gè)邊界條件，將式(3-69)、(3-71)寫成

聯(lián)解得：

(3-78)

Ax00Bx00、Aφ00、Bφ00均為αZ的函數(shù)，已根據(jù)αZ值制成表格，可查閱有關(guān)規(guī)范。大量計(jì)算表明，αh≥4.0時(shí)，樁身在地面處的位移x0、轉(zhuǎn)角φ0與樁底邊界條件無關(guān)，因此αh≥4.0時(shí)，嵌巖樁與摩擦樁(或支承樁)計(jì)算公式均可通用。求得x0、φ0后，便可連同已知的M0、Q0一起代入式(3-69)、(3-70)、(3-73)、(3-75)及式(3-65)，從而求得樁在地面以下任一深度的內(nèi)力、位移及樁側(cè)土抗力。2．嵌巖樁x0、φ0的計(jì)算back（二）樁身在地面以下任一深度處內(nèi)力及位移的簡(jiǎn)捷方法(無量綱法)

按上述方法，用基本公式(3-69)、(3-71)、(3-73)、(3-75)計(jì)算xz、φz、Mz，、Qz，其計(jì)算工作量相當(dāng)繁重。當(dāng)樁的支承條件及入土深度符合一定要求，可用比較簡(jiǎn)捷的方法來計(jì)算，即無須計(jì)算樁預(yù)處的位移x0、φ0而直接由已知的Mz、Qz求得。

1．對(duì)于αh>2.5的摩擦樁、αh>3.5的柱承樁將式(3-77)代大式(3-69)得：

(3-79a)式中：Ax=(A1Ax0-B1Aφ0+D1);Bx=(A1Bx0-B1Bφ0+C1)。（二）樁身在地面以下任一深度處內(nèi)力及位移的簡(jiǎn)捷方法(無量綱法)

同理，將式(3-77)分別代入式(3-71)、(3-73)、(3-75)再經(jīng)整理歸納即可得（二）樁身在地面以下任一深度處內(nèi)力及位移的簡(jiǎn)捷方法(無量綱法)

2.對(duì)于αh>2.5的嵌巖樁，將式(3-78)分別代入式(3-69)、(3-71)、(3-73)、(3-75)再經(jīng)整理得式(3-69)、(3-70)即為樁在地面下位移及內(nèi)力較簡(jiǎn)捷的計(jì)算公式，其中Ax….為無量（二）樁身在地面以下任一深度處內(nèi)力及位移的簡(jiǎn)捷方法(無量綱法)

綱系數(shù)，其中Ax….為無量綱系數(shù)，均為αh和αZ的函數(shù)，已將其制成表格供查用(見附表1一12)。使用時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同的樁底支承條件，選擇不同的計(jì)算公式，然后按αh和αZ查出相應(yīng)的無量綱系數(shù)，再將這些系數(shù)代入式(3-79)、(3-80)求出所需的未知量。當(dāng)αh≥4時(shí)，無論樁底支承情況如何，均可采用式(3-69)或式(3-70)及相應(yīng)的系數(shù)來計(jì)算。其計(jì)算結(jié)果極為接近。

由式(3-69)及(3-70)可較迅速地求得樁身各截面的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力，以及樁側(cè)土抗力。從而就可驗(yàn)算樁身強(qiáng)度、決定配筋量，驗(yàn)算樁側(cè)土抗力及樁上墩臺(tái)位移等。（二）樁身在地面以下任一深度處內(nèi)力及位移的簡(jiǎn)捷方法(無量綱法)

back(三)樁身最大彎矩位置

樁身各截面處彎矩Mz的計(jì)算，主要是檢驗(yàn)樁的截面強(qiáng)度和配筋計(jì)算(關(guān)于配筋的具體計(jì)算方法，見結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理教材內(nèi)容)。為此要找出彎矩最大的截面所在的位置ZMmax及相應(yīng)的最大彎矩Mmax值。一般可將各深度Z處的況值求出后繪制Z—Mz圖，即可從圖中求得，也可用數(shù)解法求得如下:在最大彎矩截面處，其剪力Q等于零，因此Qz=0處的截面即為最大彎矩所在的位置ZMmax。

根據(jù)（3-69）令Qz=Q0AQ+αM0BQ=0(3-71)

式中CQ及DQ也為與αZ有關(guān)的系數(shù)，當(dāng)αh≥4.0時(shí)，可按附表3-13采用。CQ或DQ值從式(3-71)求得后即可從附表13中求得相應(yīng)的αZ值，因?yàn)棣烈阎?，所以最大彎矩所在的位Z=ZMmax值即可求得。由（3-71）得：(三)樁身最大彎矩位置

(三)樁身最大彎矩位置

（3-72）將（3-72）代入（3-69C）得：

(3-73)式中：Km=AmDQ+Bm；KQ=Am+BmCQ

由上式可知Km與KQ為αZ的函數(shù)，由于附表13是按αh≥4.0編制的，當(dāng)αh<4.0時(shí)，可根據(jù)最大彎矩所在的位置ZMmax得到αZMmax值，再從附表13得Km或KQ，然后代入式(3-87)之一即可得到Mmax值，當(dāng)αh<4.0時(shí)，可另查有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。

(三)樁身最大彎矩位置

back(四)樁頂位移的計(jì)算公式

如左圖為置于非巖石地基中的樁，已知樁露出地面長(zhǎng)l0，若樁頂點(diǎn)為自由端，其上作用了Q及M，頂端的位移可應(yīng)用疊加原理計(jì)算。設(shè)樁頂?shù)乃轿灰茷閤1，它是由：樁在地面處的水平位移x0、地面處轉(zhuǎn)角φ0所引起在樁頂?shù)奈灰痞?l0、樁露出地面段作為懸臂梁樁頂在水平力Q作用下產(chǎn)生的水平位移xQ以及在M作用下產(chǎn)生的水平位移xm組成，即X1=X0-φ0l0+Xq+Xm

(3-74a)因φ0逆時(shí)針為正，故式中用負(fù)號(hào)。樁頂轉(zhuǎn)角φ1則由：地面處的轉(zhuǎn)角φ0，樁頂在水平力Q作用下引起的轉(zhuǎn)角φQ及彎矩作用下所引起的轉(zhuǎn)角φM組成φ1=φ0+φq+φm(3-81b)上兩式中的x0、φ0可按計(jì)算所得的M0=Ql0十M

Q0=Q(四)樁頂位移的計(jì)算公式

分別代入(3-69a)及式(3-69b)(此時(shí)式中的無量綱系數(shù)均用Z=o時(shí)的數(shù)值)求得。式(3-74a)、(3-74b)中的xQ、φQ、xM、φM是把露出段作為下端嵌固、跨度為l0的懸臂梁計(jì)算而得，即

(3-75)

(四)樁頂位移的計(jì)算公式

由式x0、φ0、xQ、φQ、xM、φM代入(3-74a)、(3-74b)再經(jīng)整理歸納，便可寫成如下表達(dá)式：(3-76)式中：Ax1、Bx1=Aφ1、Bφ1均為αh及αl0的函數(shù)，現(xiàn)列于表14-16。

對(duì)于樁底嵌固于巖基中，樁頂為自由端的樁頂位移計(jì)算，只要按式(3-70a)、(3-70b)計(jì)算出Z=0時(shí)的x0、φ0即可按上述方法求出樁頂水平位移x1及轉(zhuǎn)角φ1，其中xQ、φQ、xM、φM仍可按式(3-75)計(jì)算。

(四)樁頂位移的計(jì)算公式

當(dāng)樁露出地面部分為變截面，其上部截面抗彎剛度為E1I1(直徑為d1，高度為h1)，下部截面抗彎剛度為EI(直徑為d，高度為h2)。設(shè)n=E1I1/EI，如圖3-64所示，則：

(3-84)然后代入式(3-74a)、(3-74b)計(jì)算x1、φ1。(四)樁頂位移的計(jì)算公式

back(五)單樁、單排樁

計(jì)算步驟及驗(yàn)算要求

綜合前述，對(duì)單樁及單排樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)計(jì)算，首先應(yīng)根據(jù)上部結(jié)構(gòu)的類型，荷載性質(zhì)與大小，地質(zhì)與水文資料，施工條件等情況，初步擬定出樁的直徑、承臺(tái)位置、樁的根數(shù)及排列等，然后進(jìn)行如下的計(jì)算:1．計(jì)算各樁樁頂所承受的荷載Pi、Qi、Mi;2．確定樁在最大沖刷線下的入土深度(樁長(zhǎng)的確定)，一般情況可根據(jù)持力層位置，荷載大小，施工條件等初步確定，通過驗(yàn)算再予以修改;在地基土較單一，樁底端位置不易根據(jù)土質(zhì)判斷時(shí)，也可根據(jù)已知條件用單樁容許承載力公式計(jì)算樁長(zhǎng)。

3．驗(yàn)算單樁軸向承載力;4．確定樁的計(jì)算寬度小;5．計(jì)算樁的變形系數(shù);6．計(jì)算地面處樁截面的作用力Q0,M0，并驗(yàn)算樁在地面或最大沖刷線的橫向位移不大于6mm，以符合表3-16條件。然后求算樁身各截面的內(nèi)力，進(jìn)行樁身配筋，樁身截面強(qiáng)度和穩(wěn)定性驗(yàn)算;7．計(jì)算樁頂位移和墩臺(tái)頂位移，并逆行驗(yàn)算8．彈性樁樁側(cè)最大土抗力，是否需驗(yàn)算，目前無一致意見，現(xiàn)行《公橋基規(guī)》對(duì)此未作要求驗(yàn)算的規(guī)定。

(五)單樁、單排樁

計(jì)算步驟及驗(yàn)算要求

back三、“m”法彈性多排樁

基樁內(nèi)力與位移計(jì)算

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

(二)豎直對(duì)稱多排樁的計(jì)算back

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

如右圖所示為多排樁基礎(chǔ)，它具有一個(gè)對(duì)稱面的承臺(tái)，且外力作用于此對(duì)稱平面內(nèi)，在外力作用面內(nèi)由幾根樁組成，并假定承合與樁頭的聯(lián)結(jié)為剛性的。各樁與荷載的相對(duì)位置不相同，樁頂在外荷載作用下其變位不同，外荷載分配到樁頂上的Pi、Qi、Mi也不同，不能用簡(jiǎn)單的單排樁計(jì)算方法計(jì)算。

一般將外力作用平面內(nèi)的樁作為一平面框架，用結(jié)構(gòu)位移法解出各樁頂上的作用力Pi、Qi、Mi后，即可應(yīng)用單樁的計(jì)算方法來進(jìn)行樁的承載力與強(qiáng)度驗(yàn)算。目標(biāo)：

計(jì)算群樁在外荷載N、H、M作用下各樁樁頂?shù)腜i、Qi、Mi的數(shù)值。思路：

先要求得承臺(tái)的變位，并確定承臺(tái)變位與樁頂變位的關(guān)系然后再由樁頂?shù)淖兾粊砬蟮酶鳂俄斒芰χ怠?/p>

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

假設(shè)：

承臺(tái)為一絕對(duì)剛性體，樁頭嵌固于承合內(nèi)，當(dāng)承臺(tái)在外荷載作用下產(chǎn)生變位后，各樁頂之間的相對(duì)位置不變，各樁樁頂?shù)霓D(zhuǎn)角與承臺(tái)的轉(zhuǎn)角相等。設(shè)：承臺(tái)中心點(diǎn)o在外荷載N、H、M作用下，產(chǎn)生橫軸向位移a0，豎軸向位移b0及轉(zhuǎn)角β0(a0、b0以坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，?以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正)，則可得第i排樁樁頂(與承臺(tái)聯(lián)結(jié)處)沿x軸和z軸方向的線位移ai0、bi0和樁頂?shù)霓D(zhuǎn)角βi0分別為：

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

(3-78)式中：xi第i排樁樁頂至承臺(tái)中心的水平距離。若以ai、bi、βi分別代表第i排樁樁頂處沿樁軸向的軸向位移、橫軸向位移及轉(zhuǎn)角，則樁頂軸向位移為樁頂轉(zhuǎn)角：(3-79)

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

樁頂轉(zhuǎn)角式中：αi第i根樁樁軸線與豎直線夾角即傾斜角，見左圖所示。若第i根樁樁頂產(chǎn)生的作用力Pi、Qi、Mi，如圖右。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

back

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

則可以利用下圖中樁的變位圖式計(jì)算Pi、Qi、Mi值，若

令:1）當(dāng)?shù)趇根樁樁頂處僅產(chǎn)生單位軸向位移(即bi=1)時(shí)，在樁頂引起的軸向力為ρ1；2）當(dāng)?shù)趇根樁樁頂處僅產(chǎn)生單位橫軸向位移(ai=1)時(shí)，在樁頂引起的橫軸向力為ρ2;3）當(dāng)?shù)趇根樁樁頂處僅產(chǎn)生單位橫軸向位移(ai=1)時(shí)，在樁頂引起的彎矩為ρ3；或當(dāng)樁頂產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角(βi=l)時(shí)，在樁頂引起的橫軸向力為ρ3；4）當(dāng)?shù)趇根樁樁頂處僅產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角(βi=l)時(shí)，在樁頂引起的彎矩為ρ4。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

由此，當(dāng)承臺(tái)產(chǎn)生變位a0、b0、β0時(shí)，第i根樁樁頂引起的軸向力Pi、橫軸向力Qi及彎矩Mi值為：（3-80）只要解出a0、b0、β0及ρ1、ρ2、ρ3、ρ4(單樁的樁頂剛度系數(shù))后，即可以從式(3-80)求解出任意根樁樁頂?shù)腜i、Qi、Mi值，然后就可以利用單樁的計(jì)算方法求出樁的內(nèi)力與位移。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

1．ρ1的求解

樁頂受軸向力P而產(chǎn)生的軸向位移包括：樁身材料的彈性壓縮變形δc及樁底處地基土的沉降δk兩部分。計(jì)算樁身彈性壓縮變形時(shí)應(yīng)考慮樁側(cè)土的摩阻力影響。對(duì)于打入摩擦樁和振動(dòng)下沉摩擦樁，考慮到由于打入和振動(dòng)會(huì)使樁側(cè)土愈往下愈擠密，所以可近似地假設(shè)樁側(cè)土的摩阻力隨深度成三角形分布，如圖3-70a)所示。對(duì)于鉆、挖孔樁則假定樁側(cè)土摩阻力在整個(gè)入土深度內(nèi)近似地沿樁身成均勻分布，如圖3-70b)所示。對(duì)柱承樁則不考慮樁側(cè)土的摩阻力的作用。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)back當(dāng)樁側(cè)土的摩阻力按三角形分布時(shí)，設(shè)樁底平面A0處的摩阻力為τh樁身周長(zhǎng)為U，樁底承受的荷載與總荷載P之比值為γ’，則：

作用于地面以下深度Z處樁身截面上的軸向力Pz為(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

因此樁身的彈性壓縮為：（3-81）式中：ξ—系數(shù)ξ=2（1+γ’/2）/3，摩阻力均勻分布時(shí)ξ=（1+γ’）/2A—樁身的橫截面積;E—樁身的受壓彈性模量。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

樁底平面處地基沉降的計(jì)算：假定外力借樁側(cè)土的摩阻力和樁身作用目地面以φ/4角擴(kuò)散至樁底平面處的面積A0上(φ為土的內(nèi)摩擦角)，如此面積大于以相鄰底面中心距為直徑所得的面積，則A0采用相鄰樁底面中心距為直徑所得的面積(參看圖3-67)。因此樁底地基土沉降δk即為式中：C0為樁底平面的地基土豎向地基系數(shù)，C0=m0h，比例系數(shù)m0按"m"法規(guī)定取用。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

因此樁頂?shù)妮S向變形為（3-82）

式(3-81)，式(3-82)中廣目前一般都認(rèn)為可暫不考慮?！豆珮蚧?guī)》對(duì)于打入樁和振動(dòng)樁由于樁側(cè)摩阻力假定為三角形分布取ξ=2/3，鉆挖孔樁采用ξ=1/2;柱樁則取ξ=1。由式(3-82)知當(dāng)b1=1時(shí)，求得的P值即為ρ1，因此可得（3-83）

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

2．ρ2、ρ3、ρ4的求解

從單樁的計(jì)算公式中得知樁頂?shù)臋M軸向位移x1及轉(zhuǎn)角φ1為解此兩式，得

（3-84）

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

當(dāng)樁頂僅產(chǎn)生單位橫軸向位移ai=1而轉(zhuǎn)角βi=0時(shí)，代入上式得（3-85a）

(3-85b)

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

又當(dāng)樁頂僅產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角βi=l而橫軸向位移ai=0時(shí)，代入(3-81)得(3-85c)

如令(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

則式(3-82a)、(3-82b)、(3-82c)為

(3-85d)

上列式中xQ、xm、φm、也是無量綱系數(shù)，均是l0=αl0及h=αh。的函數(shù)，已制成附表17、18、19，當(dāng)設(shè)計(jì)的樁符合下列條件之一時(shí)可查用：αh>2.5的摩擦樁；αh≥2.5的柱承樁；αh≥4的嵌巖樁。對(duì)于2.5≤αh≤4的嵌巖樁另有表格，可在有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中查用。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

3．a(chǎn)0、b0、β0的計(jì)算

a0、b0、β0可按結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法求得。沿承臺(tái)底面取隔離體;如下圖所示，考慮作用力的平衡，即：(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

可列出位移法的典型方程如下:(3-86)

式中：γba、γaa……γββ九個(gè)系數(shù)為樁群剛度系數(shù)，

即當(dāng)承臺(tái)產(chǎn)生單位橫軸向位移時(shí)（a0=1），所有樁頂對(duì)承臺(tái)作用的豎軸向反力之和、橫軸向反力之和及反彎矩之和為γba、γaa、γβa(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

(3-87)

式中：n表示樁的根數(shù)。

承臺(tái)產(chǎn)生單位豎向位移時(shí)(b0=1)所有樁頂對(duì)承臺(tái)作用的豎軸向反力之和、橫軸向反力之和及反彎矩之和為γbb、γab、γβb。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

(3-88)

承臺(tái)繞坐標(biāo)原點(diǎn)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)(β0=1)所有樁頂對(duì)承臺(tái)作用的豎軸向反力之和、橫軸向反力之和及反彎矩之和為γbβ、γaβ、γββ

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

(3-89)

聯(lián)解式（3-86）可得承臺(tái)位移a0、b0、β0：

求得a0、b0、β0及ρ1、ρ2、ρ3、ρ4后，可一并代入式(3-80)即可求出各樁樁頂所受作用力Pi、Qi、Mi值，然后則可按單樁來計(jì)算樁身內(nèi)力與位移。

(一)計(jì)算公式及其推導(dǎo)

back(二)豎直對(duì)稱多排樁的計(jì)算

上面討論的樁可以是斜的，也可以是直的。目前鉆孔灌注樁常采用全部為豎直樁，且設(shè)置成對(duì)稱型，這樣計(jì)算就可簡(jiǎn)化。將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)于承臺(tái)底面豎向?qū)ΨQ軸上，此時(shí)γab=γba=γbβ=γβb=0，代入式(3-86)可得

（3-90）

（3-91）

（3-92）

當(dāng)樁基中各樁直徑相同時(shí)：（3-93）（3-94）(二)豎直對(duì)稱多排樁的計(jì)算

（3-95）

因?yàn)闃毒鶠樨Q直且對(duì)稱，式(3-80)可寫成

（3-96）

求得樁頂作用力，樁身任一截面內(nèi)力與位移可按前述單樁計(jì)算方法計(jì)算。

(二)豎直對(duì)稱多排樁的計(jì)算

back四、基樁自由長(zhǎng)度承受

土壓力時(shí)的計(jì)算

如下圖所示這種橋臺(tái)圖式，應(yīng)考慮橋頭路堤填土直接作用于露出地面段樁身l0上的土壓力影響，除此之外，它基本上與前述形式的高樁承臺(tái)樁基礎(chǔ)的受力情況一樣。四、基樁自由長(zhǎng)度承受

土壓力時(shí)的計(jì)算

因此，同樣可應(yīng)用式(3-86)來計(jì)算各樁的受力值，而不同之處僅是式中外力這一頂多了路堤填土土壓力及其引起的彎矩，式(3-86)可改用下式來表達(dá)

（3-97）式中：Mq、Qq

由于土壓力作用于樁身露出段l0上而在樁頂(即承臺(tái)與樁聯(lián)結(jié)處)產(chǎn)生的彎矩與剪力，如左圖所示各值均為正值；n’—第i排樁承受側(cè)向土壓力的樁數(shù)Mq、Qq的計(jì)算：認(rèn)為樁頂與承合為剛性聯(lián)結(jié)，下端與上的聯(lián)結(jié)為彈性嵌固。四、基樁自由長(zhǎng)度承受

土壓力時(shí)的計(jì)算

如下圖所示，按力學(xué)原理則：（3-98）

式中：q1、q2樁頂及地面處作用土壓力值。由右圖c)按材料力學(xué)變位計(jì)算及將式(3-98)代入可得：四、基樁自由長(zhǎng)度承受

土壓力時(shí)的計(jì)算

（3-99）