2022-2023學年湖南省長沙市A佳教育聯(lián)盟高二上學期12月月考數(shù)學試題一、單選題1．設集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由補集和交集的概念即可求解.【詳解】由題可知：，，所以.故選：C2．已知，為不共線的非零向量，，，，則（

）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量逐項判斷作答.【詳解】，為不共線的非零向量，，，，則，，因，則與不共線，，，三點不共線，A不正確；因，即與共線，且有公共點B，則，，三點共線，B正確；因，則與不共線，，，三點不共線，C不正確；因，則與不共線，，，三點不共線，D不正確.故選：B3．已知等比數(shù)列，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】故選：C.4．橢圓：的焦點坐標為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的方程及性質(zhì)求解即可.【詳解】因為橢圓中，，所以，即，又因為焦點在軸上，所以焦點坐標為和.故選：B.5．將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮變換法則可得，進而可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得；再將的圖像上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得，即，所以.故答案為：A6．若等差數(shù)列的前項和為，則“，”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷，由時，即可說明不必要性.【詳解】由，可得單調(diào)遞增，且公差大于0，故，，即，，即，因此，當時，此時單調(diào)遞減，則不可能滿足，，因此“，”是“”的充分不必要條件，故選：C7．已知直線：和圓：交于A，B兩點，則弦AB所對的圓心角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用幾何法求弦長，再利用余弦定理即可求解.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長，在中，由余弦定理可得：.故選：C8．已知某拋物線的焦點為，拋物線上一點在的正上方，過點的直線與拋物線交于另一點，滿足，則鈍角（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出點的坐標，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可求得點的坐標，求出直線的傾斜角，進而可求得鈍角的大小.【詳解】由題知，拋物線的焦點為，準線方程為，因為點在的正上方，所以點的坐標為，因為為鈍角，則點在軸下方，所以，解得，即點坐標為（舍去）或．因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故鈍角．故選：D.二、多選題9．若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用作差法判斷AD，利用不等式的同向可加性判斷B，利用特殊值判斷C即可.【詳解】選項A：因為，所以，所以，即，A錯誤；選項B：因為，所以，所以，B正確；選項C：取，，則，，即，C錯誤；選項D：因為，所以，即，D正確；故選：BD10．已知某圓錐的母線長為1，其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中正確的有（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形D．圓錐的內(nèi)切球表面積為【答案】ABC【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B；根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖與圓錐的數(shù)量關系，可得扇形的半徑以及弧長，即可求得圓心角，即可判斷C項；根據(jù)圓錐的軸截面，可知圓錐內(nèi)切球的半徑即等于內(nèi)切圓的半徑.根據(jù)等面積法即可求得外切圓的半徑（即外切球的半徑），代入球的表面積公式可判斷D.【詳解】如圖1為圓錐的軸截面，圓錐母線，且.則，所以底面半徑，圓錐的高.對于A項，圓錐的體積，故A正確；對于B項，圓錐的表面積，故B正確；對于C項，圓錐的側(cè)面展開圖的半徑，弧長為，則圓心角，故C正確；對于D項，如圖2，作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，設圓錐的內(nèi)切球半徑為，易知，圓錐內(nèi)切球的半徑即等于內(nèi)切圓的半徑.，又，所以，所以.圓錐的內(nèi)切球表面積，故D錯誤.故選：ABC.11．已知，是雙曲線：的左、右焦點，過作傾斜角為45°的直線分別交y軸與雙曲線右支于點M，P，，下列判斷正確的是（

）A． B．C．E的離心率等于 D．E的漸近線方程為【答案】BC【分析】根據(jù)題意得，，；由知：，又，，求解離心率，根據(jù)離心率求解漸近線方程即可判斷.【詳解】如下圖所示，因為，即為中點，為中點，所以，因為，所以，所以，，A錯誤，B正確；由知，所以，又，，所以，即，所以，解得：，C正確；因為，所以，所以，所以，所以的漸近線方程為，D錯誤．故選：BC．12．斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第項，則數(shù)列滿足：，，記，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由數(shù)列的遞推公式可判斷AB，由累加法可判斷CD.【詳解】由知，的前10項依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，即，A項正確；根據(jù)遞推公式，得，B正確；，，，，所以，即，故C正確；由遞推式，得，，…，，累加得，所以，所以，即，D項錯誤；故選：ABC.三、填空題13．已知數(shù)列滿足，且，則__________.【答案】##【分析】根據(jù)遞推公式判斷這是一個等比數(shù)列，根據(jù)其公比和可求出首項.【詳解】故答案為：14．已知向量，，且，則實數(shù)的值為__________.【答案】【分析】根據(jù)垂直向量數(shù)量積等于0，同時按照向量數(shù)乘和向量相乘的坐標表示即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以所以，所以，故答案為：.15．已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是__________.【答案】【分析】依題意有直線過圓心，得到，再利用重要不等式求的最小值【詳解】圓上存在兩點關于直線對稱，所以直線過圓心，有，即，，當且僅當，即，時等號成立.∴，即，所以，時，的最小值為8.故答案為：8.16．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，平面PAD，E是線段PD上的動點（不含端點），若線段AB上存在點F（不含端點）、使得異面直線PA和EF所成的角的余弦值為，則線段AF長的取值范圍是___________.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法列方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得AF長的取值范圍.【詳解】設O是AD的中點，則，由于平面PAD，平面PAD，所以，由于，平面ABCD，所以平面ABCD，由于平面PAD，所以平面平面ABCD，以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設，；設，，則，設PA與EF所成角為，，整理得，函數(shù)的開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在上遞增，所以，而，，所以，解得.所以AF的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．設內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a,b,c,已知,.(1)求角B的大小;(2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)正弦定理和余弦定理對進行化簡,得到的值,進一步得到角B的大小;(2)先根據(jù)正弦定理求出的值,結(jié)合角的取值范圍,即可得到角的大小,再依據(jù)三角形內(nèi)角和求得角的大小,利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）∵,∴,∴,∴,又,故.（2）由正弦定理得:即,所以,又,所以,則,,所以.18．已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且，.(1)求的通項公式；(2)設，求.【答案】(1)(2)20【分析】（1）由得到，結(jié)合得到，所以數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項公式；（2）在第一問的基礎上得到，從而分組求和得到答案.【詳解】（1）因為，所以，因為是各項均為正數(shù)的數(shù)列，所以，故所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，則.（2），則，所以.19．如圖，直三棱柱中，，，為棱AB的中點，是的中點．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，證明出CM，ME，BM兩兩垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，從而得到，進而證明出平面；（2）求出平面的法向量，從而利用空間向量求解線面角的正弦值.【詳解】（1）連接CM，因為，為棱AB的中點，所以CM⊥AB，過點M作，因為三棱柱為直三棱柱，所以⊥平面ABC，因為平面ABC，所以ME⊥BM，ME⊥CM，故以M為坐標原點，MB，MC，ME所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，因為，所以BM=AM=1，由勾股定理得：，所以，則，設平面的法向量為，則，解得：，令，則，故，所以，所以，平面，故平面；（2）則，設平面的法向量為，則，令，則，故，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.20．已知圓C的方程為，且圓C與直線相交于M、N兩點.(1)若，求圓的半徑；(2)若（為坐標原點），求圓的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知，可在直角三角形中求解出圓的半徑；（2）聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)韋達定理，用表示出坐標關系.由已知可得，，代入坐標，即可求得的值，從而得到圓的方程.【詳解】（1）如圖，是的中點，則，.由得，圓心為.圓心到直線的距離為.在中，有，，，所以，故圓的半徑為.（2）由得，∴，即，由題意聯(lián)立，可得.則，所以.設、，由韋達定理可得，，因為，所以，則，又，，即有，整理可得，即有，解得，滿足，且.則圓的方程為.21．若拋物線：上的一點到它的焦點的距離為.(1)求C的標準方程；(2)若過點的直線與拋物線C相交于A，B兩點.求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由拋物線的定義即可求解；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理即可求解.【詳解】（1）拋物線的準線的方程為，根據(jù)拋物線的定義知點到它的焦點的距離即為點到準線的距離，所以，解得，所以C的標準方程為.（2）顯然直線的斜率存在，可設直線的方程為，，，聯(lián)立，消去，得，所以，，，又，同理.所以所以為定值.【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強化有關直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、定值定點、三角形的面積等問題．22．雙曲線：的離心率為，且點在雙曲線上.(1)求曲線的方程；(2)動點M，N在曲線上，已知點，直線PM，PN分別與y軸相交的兩點關于原點對稱，點在直線MN上，，證明：存在定點，使得為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由雙曲線過點和離心率為，列方程即可求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)直線PM，PN與y軸的兩交點關于原點對稱結(jié)合韋達定理即可求解.【詳解】（1）由題意可知：且，解得，故雙曲線方程為：.（2）證明：當直線的斜率不存在時，此時兩點關于軸對稱，若直線PM，PN與y軸的兩交點