第九章行列式與矩陣本章主要內(nèi)容§9.1二階、三階行列式§9.2三階行列式的性質(zhì)§9.3高階行列式克萊姆(Gramer)法則§9.4矩陣的概念及其運算§9.5逆矩陣§9.6分塊矩陣§9.7矩陣的初等變換學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握二階、三階行列式的計算2、理解n階行列式的定義和性質(zhì)3、理解和掌握行列式按行（列）展開的計算方法4、掌握應(yīng)用克萊姆法則的條件及結(jié)論5、理解矩陣的概念；矩陣的元素；矩陣的相等；矩陣的記號等6、了解幾種特殊的矩陣及其性質(zhì)7、掌握矩陣的乘法；數(shù)與矩陣的乘法；矩陣的加減法；矩陣的轉(zhuǎn)置等運算及性質(zhì)8、理解和掌握逆矩陣的概念；矩陣可逆的充分條件；伴隨矩陣和逆矩陣的關(guān)系；當(dāng)可逆時,會用伴隨矩陣求逆矩陣9.1二階、三階行列式2.三階行列式1.二階行列式時,方程組(Ｉ)有唯一解1.二階行列式（Ⅰ）二階行列式:行列式的元素.主對角線次對角線線性方程(Ｉ)的解可以表示為:二階行列式的展開式如果記:則線性方程(Ｉ)的解可以簡單的表示為:行列式D是方程組(Ｉ)的系數(shù)行列式.例1

用行列式解二元一次方程組:解

(Ⅱ)

2.三階行列式三階行列式三階行列式的展開式于是方程組的解可以簡單表示為:例2

計算下列行列式:解三角行列式例3用行列式解三元線性方程組:解

9.2三階行列式的性質(zhì)把行列式的行和列依次互換,得到行列式D的轉(zhuǎn)置行列式性質(zhì)1

行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即例如性質(zhì)2交換行列式的任意兩行(列),行列式僅改變符號.推論

如果行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值為零．性質(zhì)3把行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù),等于以數(shù)乘以此行列式．推論1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2如果行列式某行（列）的元素全為零，則此行列式的值等于零．推論3如果行列式某兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4如果行列式的某一行（列）的各元素都是二項的和，則這個行列式等于兩個行列式的和.性質(zhì)5把行列式的某一行(列)的各元素乘以常數(shù)k,加到另一行上,行列式的值不變.(性質(zhì)4、推論3)例1計算行列式解(性質(zhì)4的推論3)例2

計算行列式：解注意

:互換第i、j兩行．:互換第i、j兩列．:將行列式的第行i（i列）乘以數(shù)k．:將行列式的第j行(j列)乘以k加到第i行(i列)．余子式代數(shù)余子式性質(zhì)6行列式等于它的任意一行(列)的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和.(行列式的展開性質(zhì))例3

用行列式的展開性質(zhì)計算行列式解

性質(zhì)7行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零.例如9.3高階行列式克萊姆法則1.高階行列式2.克萊姆(Gramer)法則劃去元素所在的第i行第j列上所有的元素后形成的n-1階行列式9.3高階行列式克萊姆法則1.高階行列式n階行列式代數(shù)余子式主對角線上元素次對角線上元素階數(shù)n大于3的行列式稱為高階行列式.三階行列式的所有性質(zhì)對于高階行列式都成立.例1

計算解

將行列式按第1行展開,得例2

計算下列三角行列式(即主對角線上方的所有元素都為零的行列式):解

按第一行展開,得對上式中的右邊的n-1階行列式再按第一行展開,得如此下去做n次,得2.克萊姆(Gramer)法則n元線性方程組(Ⅲ)系數(shù)行列式為定理(克萊姆法則)如果線性方程組（Ⅲ）的系數(shù)行列式則該方程組有且只有惟一解證行列式的展開性質(zhì)例3用克萊姆法則解方程組解且注意克萊姆法則有兩個條件：一是方程組的未知數(shù)的個數(shù)等于方程的個數(shù)，二是系數(shù)行列式不等于零．當(dāng)方程組(Ⅲ)的常數(shù)項不全為零時,稱為非齊次線性方程組.(Ⅳ)齊次線性方程組零解推論2

如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式D必為零.推論1

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式,則它只有零解.例4

k取何值時,齊次線性方程組有非零解?解

9.4矩陣的概念及其運算1.矩陣的概念定義1mn矩陣:矩陣的第i行j列的元素.如果矩陣A的元素全為實數(shù),則稱A為實矩陣.如果全為復(fù)數(shù),則稱為復(fù)矩陣.如果全為零,則稱為零矩陣,記作0.行矩陣列矩陣當(dāng)m=n

時,即矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同時,稱矩陣為方陣.對角矩陣

數(shù)量矩陣n階單位矩陣上三角矩陣下三角矩陣

如果都是mn矩陣,并且它們的對應(yīng)元素都相等,則稱矩陣A和矩陣B相等,記作A=B.例1

已知

且A=B,求a,b,c,d.解定義2兩個mn矩陣對應(yīng)的元素相加得到mn矩陣,稱為矩陣A與矩陣B的和,記作A+B.2.矩陣的運算(1)矩陣的加法與減法定義3例如求兩個矩陣和的運算叫作矩陣的加法.把mn矩陣中各元素變號得到的矩陣,稱為矩陣B的和負(fù)矩陣,記作－B.矩陣的減法例如注意只有當(dāng)兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)都分別相同時,才能進(jìn)行加減運算．矩陣運算滿足以下運算規(guī)律：（1）交換律A+B=B+A.（2）結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C).（3）A+0=A.（4）A+(－A)=0．規(guī)定:kA=Ak.

以數(shù)k乘以矩陣的每一個元素所得的矩陣，稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記作kA.．（2）數(shù)與矩陣相乘定義4矩陣運算滿足以下運算規(guī)律：

例2已知解．（3）矩陣的乘法定義5例3已知求AB與BA．解矩陣的乘積不滿足交換律.矩陣的乘法滿足以下規(guī)律（假設(shè)運算是可行的）：（其中k為常數(shù)）．注意兩矩陣的乘法與兩數(shù)的乘法有很大的差別.（1）結(jié)合律（2）分配律在矩陣運算中，如果且也不能推出成立.解

.例4設(shè)一般地有

定義6設(shè)A是n階方陣，k為正整數(shù)，則我們稱為方陣A的k次方冪，簡稱為A的k次冪．矩陣A的方冪滿足以下運算法則：(k,l為正整數(shù))一般來說.

例5

計算

解所以，由二項式定理，得把矩陣A所有行換成相應(yīng)的列所得到的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣.（4）矩陣的轉(zhuǎn)置定義7矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算法則：例6設(shè)

解法一

解法二由n階方陣A的元素構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式.（5）矩陣的行列式定義8矩陣A的行列式滿足下法則:解注意

一般來說

例7設(shè)9.5逆矩陣設(shè)A是一個n階方陣,E是一個n階單位矩陣.如果存在一個n階方陣B,使AB=BA=E,則稱B為A的逆矩陣,簡稱為A的逆陣,或A的逆．這時稱A為可逆矩陣,簡稱可逆陣.1.逆矩陣的概念定義1例如

并非任意一個非零方陣都有逆矩陣.例如因此，矩陣A不可逆.性質(zhì)1如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是惟一的．設(shè)B，C都是A的逆矩陣，所以A的逆矩陣是惟一的．B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C．性質(zhì)2可逆矩陣A的逆矩陣證證性質(zhì)3

可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣證性質(zhì)4兩個同階可逆矩陣A、B的乘積是可逆矩陣，且證注意

一般來說，若n階矩陣A的行列式則稱A為非奇異矩陣.反之,若則稱A是奇異矩陣.

2.逆矩陣的求法定義2定理1

若方陣A可逆，則A為非奇異矩陣.證的行列式中元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的方陣A的伴隨矩陣

定義3例1求下列三階矩陣A的伴隨矩陣

解定理2

推論設(shè)A是n階方陣,如果存在n階方陣B,使AB=E(或BA=E),則證例2

求例1中矩陣A的逆矩陣.

解例3求下列矩陣的逆矩陣：解例4求的逆矩陣，其中

解例5若A是非奇異矩陣，且AB=AC,則B=C.證因為A為非奇異矩陣，所以A可逆.系數(shù)矩陣解

例6解線性方程組1．分塊矩陣的概念以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.例如﹡9.6分塊矩陣2．分塊矩陣的運算(1)分塊矩陣的加法和減法.兩個分塊矩陣的加法和減法可分別定義為例1求下列分塊矩陣的和：解

（2）分塊矩陣的數(shù)乘.例如（3）分塊矩陣的乘法.例2求例1中兩矩陣的乘積矩陣AB.解作分塊矩陣的乘法時,在劃分塊時,必須滿足下面的要求：（1）左矩陣分塊后的列組數(shù)等于右矩陣分塊后的行組數(shù).（2）左矩陣每個列組所含列數(shù)與右矩陣相應(yīng)行組所含行數(shù)相等.

例3設(shè)A、B為二個分塊對角矩陣，即例4設(shè)A為一個分塊對角矩陣證例5求矩陣的逆矩陣.解例6求分塊矩陣的逆矩陣，其中A、B分別為r階與k階可逆方陣，C是r×k階矩陣，0是k×r

階矩陣.解例7設(shè)矩陣解9.7矩陣的初等變換

1.矩陣的初等變換定義1下面的三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：(1)交換矩陣的兩行（列）；(2)用非零數(shù)k乘以矩陣的某行（列）；(3)把矩陣的某一行（列）乘以數(shù)k后加到另一行（列）．矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．例如如果矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣B,就稱矩陣A與矩陣B等價.任意一個矩陣經(jīng)過若干次初等變換，均可化為下面的標(biāo)準(zhǔn)形式：定義2D矩陣?yán)?將下列矩陣A化為D矩陣的形式：解

對單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣．2．初等矩陣定義3（1）交換E的第行（列）與第行（列）得到的初等矩陣.第2、3行交換，得到的初等矩陣是例如第3行乘以k，得到的初等矩陣是(3)用數(shù)k乘E的第j行(i列)加到第i行(j列)上得到的初等矩陣.第3行乘以數(shù)k加到第2行，得到的初等矩陣是例如例2設(shè)解行初等變換:左乘列初等變換:右乘化為D矩陣的形式.3.用矩陣的初等變換求逆矩陣解例3用初等變換，將矩陣用初等行變換求逆陣的方法：作一個n×2n階矩陣(A︱B)，然后對此矩陣施以行的初等變換，使A化為E，則同時E就化為.例4

用初等行變換求方陣