第五節(jié)平面及其方程一、平面的點法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角返回在本節(jié)和下一節(jié)里，我們將以向量為工具，在空間直角坐標系中討論最簡單的曲面和曲線——平面和直線.一、平面的點法式方程如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量.容易知道，平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直.

和它的一個法線向量

因為過空間任一點可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線，所以當平面II上一點為已知時，平面Π的位置就完全確定了.下面我們來建立平面Π的方程.設

是平面II任一點(圖7－51).

那么向量必與平面II的法線向量n垂直，即它們的數量積等于零：

由于

,

(1)這就是平面II上任一點M的坐標

所滿足的方程.

,所以有：反過來，如果

不在平面II上,那么向量

與法線向量

不垂直,從而

,即不在平面II上的點M的坐標x，y，z不滿足方程(1).及它的一個法線向量由此可知，平面II上的任一點的坐標x，y，z都滿足方程(1)；不在平面II上的點的坐標都不滿足方程(1).這樣，方程(1)就是平面II的方程，而平面II就是方程(1)的圖形.由于方程(1)是由平面II上的一點確定的，所以方程(1)叫做平面的點法式方程.例1求過點(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)位法線向量的平面的方程.

解

根據平面的點法式方程(1)，得所求平面的方程

(x-2)–2(y+3)+3z=0,即

x–2y+3z–8=0

例2

求過三點M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面的方程.解先找出這平面的法線向量n.由于向量n與向量

都垂直，而

＝(-3,4,-6),

=(-2,3,-1)，

所以可取它們的向量積為n：

n=

=

=14i+9j–k,

根據平面的點法式方程(1)，得所求的平面的方程為14(x-2)+9(y+1)–(z–4)=0,14x+9y–z–15=0.返回二、平面的一般方程由于平面的點法式方程(1)式x、y、z的一次方程，而任意平面都可以用它上面的一點及它的法線向量來確定，所以任一平面都可以用三元一次方程來表示.反過來，設有三元一次方程Ax+By+Cz

+D=0.我們任取滿足方程的一組數x0,y0,z0，即

Ax0+B

y0+C

z0+D=0.把上述兩等式相減，得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.把上述兩等式的點法式方程(1)作比較，可以知道方程(4)是通過點M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)為法線向量的平面方程.但方程(2)與方程(4)同解，這是因為由(2)減去(3)即得(4)，又由(4)加上(3)就得(2).由此可知，任一三元一次(2)的圖形總是一個平面.方程(2)稱為平面的一般方程，其中x,y,z的系數就是該平面的一個法線向量n的坐標，即n=(A,B,C).例如，方程3x–4y+z-9=0

表示一個平面，n=(3,-4,1)是這平面的一個法線向量.對于一些特殊的三元一次方程，應該熟悉它們的圖形的特點.當D=0時，方程(2)成為Ax+By+Cz=0，它表示一個通過原點的平面.當A=0時，方程(2)成為Bx+Cz+D=0，法線向量n(0,B,C)垂直于x軸，方程表示一個平行于x軸的平面.同樣，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0，分別表示一個平行于y軸和z軸的平面.當A=B=0時，方程(2)成為Cz+D=0或z=-n(0,0,C)同時垂直x軸和y軸，方程表示一個平行于xOy面的平面.，法線向量例3求通過x軸和點(4,-3,-1)的平面的方程.解由于平面通過x軸，從而它的法線向量垂直于x軸，于是法線向量在x軸上的投影為零，即A=0；又由平面通過x軸，它必通過原點，于是D=0.因此可設這平面的方程為By+Cz

=0.

又因這平面通過點(4,-3,-1)，所以有

-3B–C=0,或C=-3B.以此代入所設方程并除以B(B

0)，便得所求的平面方程為y–3z=0.例4

設一平面與x、y、z軸的交點依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(圖7－52)，求這平面的方程(其中a

0,b

0,

c

0).

解設所求平面的方程為

Ax+By+Cz=0

因P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點都在這平面上，所以點P、Q、R的坐標都滿足方程(2)；即有得A=-

，B=-

，C=-

方程(5)叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.返回以此代入(2)并除以D(D

0)，便得所求的平面方程為

三、兩平面的夾角兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.按兩向量夾角余弦的坐標表示式，平面II1和平面II2的夾角θ可由

來確定.從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結論：

II1、II2互相垂直相當與

II1、II2互相平行或重合的相當于

(-n1,n2)=

-(n1,n2)兩者中的銳角，

因此，cosθ=|cos(n1,n2)|.

設平面II1和II2的法線向量依次為n1=(A1,B1,C1)和n2=(A2,B2,C2),那么平面II1和II2的夾角

(圖7-53)應是

(

)和n1,n2例5求兩平面x–y+2z–6=0和2x+y+z–5=0的夾角.

解由公式(6)有因此，所求夾角

例6一平面通過兩點M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解設所求平面的一個法線向量為n=(A,B,C).

因

=(-1,0,-2)在所求平面上，它必與n垂直，所以有-A-2C=0.

又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.

由(7)、(8)得到

A=-2C,

B=C.

由平面的點法式方程可知，所求平面方程為A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0,

將A=-2C及B=C代入上式，并約去C(C≠0)，使得

-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0.

或

2x-y-z=0.

這就是所求的平面方程.例7

設P0(x0,y0,z0)，并作一法線向量n，由圖7-54，并考慮到

與n的夾角也可能是鈍角，得所求的距離(圖7-54).

解

在平面上任取一點P0(x1,y1,z1)，并作一法線向量n，由圖7-54，并考慮到

與n的夾角也可

能是鈍角，得所求的距離設en為與向量n方向一致的單位向量，那么有

d=|Prjn

|.

Prjn

=

而