晉江一中2022年秋季高二年期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.直線的頻斜角為（）A.150°B.120°C.60° D.30°2.設(shè)，向量，，，且，，則（）A. B.3 C. D.43.如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C. D.4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在側(cè)棱PC上，且，若，，，則（）AB.C.D.5.已知在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（）A.6B.8C.10 D.126.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，直線y＝kx與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B向x軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則k等于()A．±eq\f(3,2)B．±eq\f(2,3)C．±eq\f(1,2)D．±27.設(shè)是雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為()A. B. C. D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上，且滿足，點(diǎn)在線段、上，設(shè)，將沿翻折，使得平面與平面垂直，要使翻折后的長(zhǎng)度最小，則（）A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.9.如圖所示，一個(gè)底面半徑為4的圓柱被與其底面所成的角的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則下列正確的是（）A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8B.橢圓的離心率為C.橢圓的離心率為D.橢圓的一個(gè)方程可能為10.已知直線：，直線：，則下列命題正確的有（）A.直線恒過(guò)點(diǎn)B.存在m使得直線的傾斜角為C.若，則或D.不存在實(shí)數(shù)m使得11.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中是真命題的有（）A.雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)B.在平面內(nèi)，設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，且，其中常數(shù)為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓C.方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有且僅有3條12.棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.二面角的正切值的取值范圍為C.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面為等腰梯形D.當(dāng)時(shí)，EG與平面所成的角最大三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)點(diǎn)和，則圓的方程是______.14.若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為.

15.已知拋物線方程為y2＝﹣4x，直線l方程為2x+y﹣4＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，點(diǎn)A到直線l的距離為n，則m+n的最小值為．16.已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，P為曲線上一點(diǎn)，，的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該雙曲線的離心率為e，則則___________.四、解答題（17題10分，其他各題每題12分）17.已知直線.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.18.已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．（1）求證：圓C1和圓C2相交；（2）求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng)．19.已知曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是.（1）求曲線的方程；（2）是否存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20.三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，．（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.22.已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)．記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？晉江一中2022年秋季高二年期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.直線的頻斜角為（）A.150° B.120° C.60° D.30°【答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，而，故，故選：D.2.設(shè)，向量，，，且，，則（）A. B.3 C. D.4【答案】C【詳解】解：，，得，又，則，得，，，.故選：C.3.如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在側(cè)棱PC上，且，若，，，則（）AB.C.D.【答案】B【詳解】解：在平行四邊形ABCD中，，在中，，，，，在中，．故選：B．5.已知在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【詳解】圓由題意可得最長(zhǎng)弦為直徑等于6，最短的弦由垂徑定理可得，則四邊形的面積為.故選：D.6．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，直線y＝kx與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B向x軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則k等于()A．±eq\f(3,2)B．±eq\f(2,3)C．±eq\f(1,2)D．±2【答案】A【解析】由題可知，不妨設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－c，－kc)，(c，kc)，∵點(diǎn)A，B均在橢圓上，∴eq\f(c2,a2)＋eq\f(k2c2,b2)＝1.又橢圓的離心率為eq\f(1,2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c,b)＝eq\f(c,\r(a2－c2))＝eq\f(c,\r(4c2－c2))＝eq\f(1,\r(3)).∴eq\f(1,4)＋eq\f(k2,3)＝1，解得k＝±eq\f(3,2).7.設(shè)是雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)，，是的兩個(gè)頂點(diǎn)，上存在一點(diǎn)，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點(diǎn)，則的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】C【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點(diǎn)，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為．故選C.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上，且滿足，點(diǎn)在線段、上，設(shè)，將沿翻折，使得平面與平面垂直，要使翻折后的長(zhǎng)度最小，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】在橢圓中，，，，，因?yàn)?，且點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則，可得，翻折前，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，其中，則，，，，所以，，翻折后，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，平面，平面，，又因?yàn)?，，，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，則在翻折前，在中，為的角平分線，所以，，即.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分.9.如圖所示，一個(gè)底面半徑為4的圓柱被與其底面所成的角的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則下列正確的是（）A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8B.橢圓的離心率為C.橢圓的離心率為D.橢圓的一個(gè)方程可能為【答案】BD【詳解】由題意易知橢圓的短半軸長(zhǎng)，∵截面與底面所成的角為，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，所以，離心率為，當(dāng)建立坐標(biāo)系以橢圓中心為原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸為軸，短軸為軸時(shí)，則橢圓的方程為.故選：BD.10.已知直線：，直線：，則下列命題正確的有（）A.直線恒過(guò)點(diǎn)B.存在m使得直線的傾斜角為C.若，則或D.不存在實(shí)數(shù)m使得【答案】AB【詳解】對(duì)于A，直線：，當(dāng)時(shí)，，故直線恒過(guò)點(diǎn)，A正確；對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，直線：即，的傾斜角為，B正確；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，:即，直線：即，此時(shí)兩直線不平行，故當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)有，則或，當(dāng)時(shí)，:即,:即，兩直線重合，不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，:即，:即，此時(shí)，D錯(cuò)誤，故選：AB.11.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中是真命題的有（）A.雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)B.在平面內(nèi)，設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，且，其中常數(shù)為正實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓C.方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有且僅有3條【答案】AD【詳解】解：對(duì)于A：雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)均為，故A正確；對(duì)于B：根據(jù)橢圓的定義，在平面內(nèi)，設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：方程的兩根為，，不能為橢圓和雙曲線的離心率，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：雙曲線的右焦點(diǎn)為，，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，代入雙曲線中，可得，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其直線方程為，聯(lián)立，可得，顯然，所以，所以，，所以，解得，故D正確.故選：AD.12.棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.二面角的正切值的取值范圍為C.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面為等腰梯形D.當(dāng)時(shí)，EG與平面所成的角最大【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榭傻命c(diǎn)G是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，又因?yàn)檎襟w中,平面平面平面,故平面，所以點(diǎn)G到平面的距離為定值，而,所以三棱錐是定值,又因?yàn)?，故三棱錐的體積為定值，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，此時(shí)都是等腰三角形，設(shè)M為中點(diǎn)，則,則為二面角的平面角，,則,即為鈍角，此時(shí)二面角的平面角大于，此時(shí)二面角的正切值小于0，所以B不正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)即點(diǎn)G為的中點(diǎn)，如圖所示，連接，此時(shí)，在正方體中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，可得,且，在直角中，可得同理所以四邊形為等腰梯形，即平面截正方體所得截面為等腰梯形，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)N為的中點(diǎn)，連接,則平面，,則為EG與平面所成的角，當(dāng)時(shí)，,在中，,故,即,則,即時(shí)，最小，故,當(dāng)最小時(shí)，最大，即當(dāng)時(shí)，EG與平面所成的角最大，D正確，故選：三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)點(diǎn)和，則圓的方程是______.【答案】.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為,點(diǎn)和在圓上，

，即，解之得，可得圓心為.

半徑,圓的方程為.故答案為：.14.若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為.

【詳解】如圖所示,∠CAB=∠BAD=30°,∴直線l的傾斜角θ的取值范圍為0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.∴直線l的斜率的取值范圍為-3【答案】-15.已知拋物線方程為y2＝﹣4x，直線l方程為2x+y﹣4＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，點(diǎn)A到直線l的距離為n，則m+n的最小值為．【答案】－1【詳解】由題意，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離，從而A到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離減1．過(guò)焦點(diǎn)F作直線2x+y﹣4＝0的垂線，此時(shí)m+n＝|AF|+n﹣1最小，∵F（﹣1，0），則＝，則m+n的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．16.已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，P為曲線上一點(diǎn)，，的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該雙曲線的離心率為e，則___________.【答案】【詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)?，故，即，根?jù)雙曲線的定義有，故.所以的面積為.又，故.故內(nèi)切圓半徑滿足，解得.又的外接圓半徑滿足，故，由題意，即，所以，故，故，解得故答案為：四、解答題（17題10分，其他各題每題12分）17.已知直線.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)椋灾本€的斜率為.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.18.已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．（1）求證：圓C1和圓C2相交；（2）求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）4x＋3y－23＝0；公共弦長(zhǎng)【小問(wèn)1詳解】圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圓心C1（1，3），半徑，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圓C2（5，6），半徑，|C1C2|＝，∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，∴圓C1和圓C2相交．【小問(wèn)2詳解】∵兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，∴兩圓相減，得圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程為：8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．圓心C2（5，6）到直線4x＋3y－23＝0的距離，∴圓C1和圓C2的公共弦長(zhǎng)．19.已知曲線在軸右邊，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是.（1）求曲線的方程；（2）是否存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【詳解】（1）設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，由題意可得：，整理可得：，（2）存在，理由如下：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)為，，設(shè)直線的方程為，由得：，，所以，又，，由，可得，所以，，將代入上式可得：對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，所以，解得：，所以存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任一直線，都有，且的取值范圍.20.三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，．（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫嬷?，所以平面平?（2）由（1）問(wèn)知：兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標(biāo)系.則，，，，若存在點(diǎn)M，則點(diǎn)M在上，