第6章信號(hào)的采樣與重建6.1理想的連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣與重建6.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理6.3模數(shù)和數(shù)模轉(zhuǎn)換器6.4連續(xù)時(shí)間帶通信號(hào)的采樣與重建6.5離散時(shí)間信號(hào)采樣6.6過(guò)采樣A/D和D/A轉(zhuǎn)換器6.7小結(jié)和參考文獻(xiàn)1理想的連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣與重建.如果模擬信號(hào)的譜能夠從離散時(shí)間信號(hào)的譜中完全恢復(fù)，那么就沒(méi)有損失信息。通過(guò)尋找模擬信號(hào)的譜和離散時(shí)間信號(hào)的譜之間的關(guān)系來(lái)研究取樣過(guò)程。如果是非周期且能量有限的信號(hào)

從取樣得到離散時(shí)間信號(hào)

注意到周期取樣在信號(hào)和中的變量和之間帶來(lái)關(guān)系和的頻率變量和之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:例如，假定一個(gè)帶限模擬信號(hào)的譜如圖

(a)所示。當(dāng)時(shí)，譜為0。如果，則離散時(shí)間信號(hào)的譜將如圖(b)所示，清晰可見(jiàn)。

如果,那么的周期延拓將導(dǎo)致譜重疊如果,那么的周期延拓將導(dǎo)致譜重疊離散時(shí)間信號(hào)的譜包含了模擬信號(hào)譜的混疊頻率分量，最終使得無(wú)法從取樣中恢復(fù)出原始信號(hào)。

當(dāng)不存在混疊時(shí)

用取樣信號(hào)重構(gòu)原始模擬信號(hào)的內(nèi)插公式

內(nèi)插函數(shù)

利用理想內(nèi)插公式重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號(hào)

在所有其他時(shí)刻，可以通過(guò)內(nèi)插函數(shù)的時(shí)移形式的加權(quán)求和準(zhǔn)確得到。

取樣定理

最高頻率(帶寬)為的連續(xù)時(shí)間帶限信號(hào)，當(dāng)取樣率時(shí)，可以從它的取樣信號(hào)惟一恢復(fù)出原始信號(hào)。根據(jù)取樣定理和重構(gòu)公式,從取樣恢復(fù)模擬信號(hào)需要無(wú)限個(gè)取樣。僅關(guān)心從有限個(gè)取樣恢復(fù)有限時(shí)寬的信號(hào)。如果取樣率太低，則出現(xiàn)混疊，該效果可以用模擬信號(hào)的頻率變量在頻率軸上多重折疊來(lái)描述。

時(shí)域和頻域函數(shù)之間的關(guān)系

假定模擬信號(hào)是帶限的并且對(duì)其進(jìn)行取樣的取樣率等于或者高于Nyquist率。

實(shí)際中，在取樣之前都要做抗混疊預(yù)濾波

例6.1.1正弦信號(hào)中的混疊

連續(xù)時(shí)間信號(hào)

在處具有如圖(a)所示線譜的離散譜。用取樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣，導(dǎo)致原來(lái)信號(hào)頻譜在的倍頻上復(fù)制。圖(b)給出了當(dāng)時(shí)的頻譜。為了重構(gòu)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，應(yīng)該在基本頻率范圍內(nèi)選擇頻率分量。圖(c)給出了所得到的譜。重構(gòu)的信號(hào)為現(xiàn)在，如果選取取樣頻率滿足，則取樣信號(hào)的頻譜如圖(d)所示。重構(gòu)信號(hào)如圖(e)所示，可表示為在這兩種情況下，都出現(xiàn)了混疊，以致于重構(gòu)信號(hào)的頻率是原始信號(hào)的頻率的混疊形式。例6.1.2非帶限信號(hào)的取樣與重建

考慮連續(xù)時(shí)間雙邊指數(shù)信號(hào):1.確定取樣信號(hào)的譜。2.畫(huà)出和的信號(hào)和的波形及其頻譜圖。3.畫(huà)出用理想帶限插值方法重建后的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的波形。解:(a)如果用取樣頻率對(duì)取樣，得到

如果直接計(jì)算傅里葉變換，就可以很容易得到的譜很明顯，因?yàn)槭侵芷跒榈闹芷谛盘?hào)，因此也是周期信號(hào)。(b)由于不是帶限的，混疊不可避免。圖

(a)示出了時(shí)的原始信號(hào)和它的譜，圖

(b)和(c)分別示出了時(shí)的取樣信號(hào)及該信號(hào)的譜。很清楚，在頻域混疊失真值得注意。由混疊所引起的失真可通過(guò)提高取樣率來(lái)有效地減輕。(c)重構(gòu)信號(hào)的譜為

利用理想內(nèi)插公式計(jì)算由混疊所引起的失真可通過(guò)提高取樣率來(lái)有效地減輕

6.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理模擬信號(hào)數(shù)字處理的系統(tǒng)(圖6.2.1)

預(yù)濾波器是一個(gè)模擬濾波器，有雙重目的:確保被取樣的信號(hào)的帶寬限制在所需要的頻率范圍內(nèi)。限制加性噪聲譜和其他破壞理想信號(hào)的干擾。

規(guī)定好了預(yù)濾波器的需求，并選好所需要的取樣率，就可著手設(shè)計(jì)用于離散時(shí)間信號(hào)的數(shù)字信號(hào)處理運(yùn)算。

理想A/D轉(zhuǎn)換器在時(shí)域和頻域的輸入和輸出特性理想D/A轉(zhuǎn)換器的輸入和輸出特性

D/A是線性時(shí)變系統(tǒng)，具有離散時(shí)間輸入和連續(xù)時(shí)間輸出.現(xiàn)在假設(shè)給出一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)是否存在一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng),使圖6.2.1中整個(gè)系統(tǒng)等價(jià)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)?如果是帶限信號(hào)且，那么對(duì)于，就可以得到。因此，圖6.2.1的系統(tǒng)輸出為：為了確保，需要選擇一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，使得連續(xù)時(shí)間信號(hào)做離散時(shí)間濾波的理論基礎(chǔ)：在是帶限信號(hào)且這種特殊情況下，將A/D轉(zhuǎn)換器（線性時(shí)變系統(tǒng)）與LTI系統(tǒng)和D/A轉(zhuǎn)換器（線性時(shí)變系統(tǒng)）級(jí)聯(lián)，等價(jià)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。6.3模數(shù)和數(shù)模轉(zhuǎn)換器1模數(shù)轉(zhuǎn)換器2量化與編碼3量化誤差分析1模數(shù)轉(zhuǎn)換器在關(guān)于連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間信號(hào)處理的等效性討論中，做了一個(gè)隱含的假設(shè)，即，模數(shù)轉(zhuǎn)換中的量化誤差和數(shù)字信號(hào)處理中的舍入誤差可忽略不計(jì)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，由于模擬系統(tǒng)中的電子元件有公差，它們?cè)谶\(yùn)算期間引入噪聲，所以模擬信號(hào)處理運(yùn)算不能非常精確地完成。一般說(shuō)來(lái)，數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)者比正在設(shè)計(jì)等效的模擬系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)者能更好地控制數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中的公差。(a)A/D轉(zhuǎn)換器基本元件框圖；(b)理想S/H電路的時(shí)域響應(yīng)

2量化與編碼

A/D轉(zhuǎn)換器的基本任務(wù)是將輸入的連續(xù)幅度范圍轉(zhuǎn)換成一組離散的數(shù)字碼字集。這種轉(zhuǎn)換包含量化和編碼的過(guò)程。量化是一個(gè)非線性不可逆過(guò)程，它將時(shí)刻的給定幅度映射成取自一組有限集合內(nèi)的幅度。用個(gè)判定級(jí)將信號(hào)的幅度區(qū)域分成個(gè)區(qū)間：量化器的可能輸出如果用數(shù)字系統(tǒng)處理所得到的數(shù)字信號(hào)，通常都要求采用均勻量化：在像語(yǔ)音之類的信號(hào)的傳輸和存儲(chǔ)應(yīng)用中，經(jīng)常利用非線性和時(shí)變量化器。如果零被安排為一個(gè)量化級(jí)，則量化器是中平型，如果安排零為一個(gè)判定級(jí)，則稱量化器為中升型。量化誤差中平型量化器的輸入幅值被四舍五入到最近的量化級(jí)。

Δ是量化器的步長(zhǎng)

圖6.3.2量化過(guò)程和L=8級(jí)的中平型量化器圖6.3.3中平型量化器示例A/D轉(zhuǎn)換器中，編碼過(guò)程

編碼過(guò)程把一個(gè)惟一的二進(jìn)制數(shù)指定給一個(gè)量化級(jí)，如果我們有級(jí)，則我們至少需要個(gè)不同的二進(jìn)制數(shù)。

A/D轉(zhuǎn)換器的步長(zhǎng)或者說(shuō)分辨率

二進(jìn)制編碼方法各式各樣，每一種都有優(yōu)缺點(diǎn)。在大多數(shù)字信號(hào)處理器使用的表數(shù)方法是補(bǔ)碼表示。理想A/D轉(zhuǎn)換器引入的惟一退化是量化誤差，并且可以通過(guò)增加位數(shù)來(lái)減少。實(shí)際的A/D轉(zhuǎn)換器與理想的A/D轉(zhuǎn)換器在多個(gè)方面有所不同。

3量化誤差分析量化誤差取決于輸入信號(hào)的特征和量化器的非線性性，采用統(tǒng)計(jì)方法確定量化對(duì)A/D轉(zhuǎn)換器性能的影響。在統(tǒng)計(jì)方法中，假定量化誤差在本質(zhì)上是隨機(jī)的。將該誤差視為加在原信號(hào)（未被量化）上的噪聲。如果輸入模擬信號(hào)在量化器的范圍之內(nèi)，則量化誤差的幅度是有界的，稱所造成的誤差為粒狀噪聲。當(dāng)輸入信號(hào)落在量化器的范圍之外，變成無(wú)界，并造成過(guò)載噪聲。當(dāng)這類噪聲出現(xiàn)時(shí)，可能引起嚴(yán)重的信號(hào)失真，我們處理這種情況的惟一辦法是為輸入信號(hào)定標(biāo)，以便它的動(dòng)態(tài)范圍落在量化器的動(dòng)態(tài)范圍之內(nèi)。量化誤差的數(shù)學(xué)模型在沒(méi)有過(guò)載噪聲的基礎(chǔ)上假設(shè)：1.在區(qū)間上均勻分布。2.是平穩(wěn)白噪聲序列。3.與信號(hào)序列不相關(guān)。4.信號(hào)序列是零均值平穩(wěn)序列。一般說(shuō)來(lái)，這些假設(shè)是不成立的，但是當(dāng)量化步長(zhǎng)小，并且兩個(gè)相繼的樣本之間信號(hào)序列跨過(guò)幾個(gè)量化級(jí)時(shí)，就是成立的。加性噪聲對(duì)理想信號(hào)的影響

假如均勻分布在區(qū)間上，則誤差的均值為零，方差（量化誤差功率）為４．?dāng)?shù)模轉(zhuǎn)換器

在實(shí)際中，D/A轉(zhuǎn)換通常由具有取樣保持（S/H）功能的D/A轉(zhuǎn)換器緊接一個(gè)低通（平滑）濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)．在理想情況下，對(duì)一個(gè)3位雙極信號(hào)，其輸入輸出特性如圖6.3.7所示。連接點(diǎn)的線是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，在實(shí)際的D/A轉(zhuǎn)換器中，連接點(diǎn)的線可能偏離理想情形，一些典型的偏離是偏移誤差、增益誤差和輸入輸出中的非線性特性等，圖6.3.7說(shuō)明了這些類型的誤差。(a)理想D/A轉(zhuǎn)換器的特性；(b)實(shí)際D/A轉(zhuǎn)換器中的幾種典型的偏移6.4連續(xù)時(shí)間帶通信號(hào)的采樣與重建帶寬為、中心頻率為的連續(xù)時(shí)間帶通信號(hào)，在兩個(gè)頻段都有頻率分量，其中。有一些采樣技術(shù)可以使采樣率只與帶寬有關(guān)，而與信號(hào)頻譜的最高頻率無(wú)關(guān)。帶通信號(hào)采樣在數(shù)字通信、雷達(dá)、聲納系統(tǒng)領(lǐng)域具有重要意義。內(nèi)容1均勻或一階采樣2交叉或非均勻二階采樣3帶通信號(hào)的表示4