1.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，連接EF．證明：CF＝EF解：過D作DG⊥BC于G．由已知可得四邊形ABGD為正方形，∵DE⊥DC

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC且AD=GD，∴△ADE≌△GDC，∴DE=DC且AE=GC．在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF為公共邊，∴△EDF≌△CDF，∴EF=CF1整理課件2.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中點，AE⊥BD，AE延長線交BC于F，求證：∠ADB=∠FDC。證明：過點C作CG⊥CA交AF延長線于G∴∠G+∠GAC=90°…………①又∵AE⊥BD∴∠BDA+∠GAC=90°…………②綜合①②，∠G=∠BDA在△BDA與△AGC中，∵∠G=∠BDA∠BAD=∠ACG=90°BA=CA∴△BDA≌△AGC∴DA=GC∵D是AC中點，∴DA=CD∴GC=CD由∠1=45°，∠ACG=90°，故∠2=45°=∠1在△GCF與△DCF中，∵GC=CD∠2=45°=∠1CF=CF∴△GCF≌△DCF∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA∴∠ADB=∠FDC2整理課件3.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中點，E是CD延長線上一點，作OF⊥OE交DA的延長線于F，OE交AD于H，OF交AB于G，F(xiàn)O的延長線交CD于K，求證：OE=OF提示：由條件知△BCD為等腰Rt△，連接OC，可證△OCK≌△ODH(AAS)，得OK=OH，再證△FOH≌△EOK(AAS)，得OE=OF3整理課件4.如圖，在正方形ABCD的邊BC上任取一點M，過點C作CN⊥DM交AB于N，設(shè)正方形對角線交點為O，試確定OM與ON之間的關(guān)系，并說明理由．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，又∵CN⊥DM交AB于N，∴∠NCM+∠CMD=90°，而∠CMD+∠CDM=90°，∴∠NCM=∠CDM，∴△DCM≌△CBN，∴CM=BN，再根據(jù)四邊形ABCD是正方形可以得到OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，∴△OCM≌△OBN．∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，∴∠BON+∠MOB=90°．∴∠MON=90°．∴OM與ON之間的關(guān)系是OM=ON；OM⊥ON．4整理課件5.如圖，正方形CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），M是線段AE的中點，DM的延長線交CE于N．探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．證明：根據(jù)題意，知AD∥BC．∴∠EAD=∠AEN（內(nèi)錯角相等），∵∠DMA=∠NME（對頂角相等），又∵M(jìn)是線段AE的中點，∴AM=ME．∴△ADM≌△ENM（ASA）．∴AD=NE,DM=MN．（對應(yīng)邊相等）．連接線段DF，線段FN，線段CE是正方形的對角線，∠DCF=∠NEF=45°，根據(jù)上題可知線段AD=NE，又∵四邊形CGEF是正方形，∴線段FC等于FE．∴△DCF≌△NEF（SAS）．∴線段FD=FN．∴△FDN是等腰三角形．∴線段MD⊥線段MF．5整理課件6.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角∠NDM，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．證明：BM+CN=NM延長AC至E，使CE=BM，連接DE，∵△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等邊三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∵DB=DC，CE=BM，∴△DCE≌△BMD，∵∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已經(jīng)全等）∴DN=ND（公共邊）∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM．6整理課件7.如圖，ABCD為正方形，E為BC邊上一點，且AE=DE，AE與對角線BD交于點F，連接CF，交ED于點G．判斷CF與ED的位置關(guān)系，并說明理由．解：垂直．理由：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，∵BF=BF，∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠BCF，∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC，∴RT△ABE≌△DCE，∴∠BAE=∠CDE，∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠BCF+∠DEC=90°，∴DE⊥CF．7整理課件8.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F，點G為BC中點，連接EG、AF．求證：CF=AB+AF．證明：在線段CF上截取CH=BA，連接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．8整理課件9.如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠CAD=∠CBD=15°．E為AD延長線上的一點，且CE=CA，求證：AD+CD=DE；證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°．∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=30°．∴AD=BD．在DE上截取DM=DC，連接CM，∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，∴△ACD≌△BCD．∴∠ACD=∠BCD=45°．∵∠CAD=15°，∴∠EDC=60°．∵DM=DC，∴△CMD是等邊三角形．∴∠CDA=∠CME=120°．∵CE=CA，∴∠E=∠CAD．∴△CAD≌△CEM．∴ME=AD．∴DA+DC=ME+MD=DE．即AD+CD=DE．9整理課件10.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE，求證：AE=EC+CD．證明：∵AF平分∠DAE，∠D=90°，F(xiàn)H⊥AE，∴∠DAF=∠EAF，F(xiàn)H=FD，在△AHF與△ADF中，∵AF為公共邊，∠DAF=∠EAF，F(xiàn)H=FD（角平分線上的到角的兩邊距離相等），∴△AHF≌△ADF（HL）．∴AH=AD，HF=DF．又∵DF=FC=FH，F(xiàn)E為公共邊，∴△FHE≌△FCE．∴HE=CE．∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，∴AE=EC+CD．10整理課件11.已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中點O．求證：AB+CD=2BE．證明：過D作DM∥AC交BA的延長線于M．∵梯形ABCS中，AD=BC，∴BD=AC．又∵CD∥AM，DM∥AC，∴四邊形CDMA為平行四邊形．∴DM=AC，CD=AM．∵M(jìn)D∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，∴DM⊥BD，DM=BD，∴△DMB為等腰直角三角形．又∵DF⊥BM，∴DF=BF．∴BM=2DF=2BF∴AM+AB=2BF．∵CD=AM，∴AB+CD=2BF．∵AC=BD=AB，∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．∴BE=BF．∵AB+CD=2BF，∴AB+CD=2BE．11整理課件12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E．求證：AD=DE．證明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC．∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．連接BD．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又BD是公共邊，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE．12整理課件13.如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD與BC延長線交于點F，G是DC延長線上一點，AG⊥BC于E．求證：CF=CG；證明：連接AC，∵DC∥AB，AB=BC，∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ADC≌△AEC，∴CD=CE；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，∴△FDC≌△GEC，∴CF=CG．13整理課件14.如圖，已知P為∠AOB的平分線OP上一點，PC⊥OA于C，PA=PB，求證AO+BO=2CO證明：過點P作PQ⊥OB于Q，則∠PQB=90°∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PQ⊥OB∴PC=PQ在Rt△POC與Rt△POQ中，∵PC=PQPO=PO∴Rt△POC≌Rt△POQ（HL）∴OC=OQ∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ在Rt△PCA與Rt△PQB中，∵PC=PQ

PA=PB∴Rt△PCA≌Rt△PQB（HL）∴CA=QB又2OC=OC+OB+BQ∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB14整理課件15.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AE=AC．求證：BG=FG；證明:∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE∴AB=AF．連接AG，∵AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG．∴BG=FG15整理課件解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=DC∴FD=BC，BE=DC∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF≌△EBC，∵AF=FD，AE=DC，EF=CF∴△EAF≌△CDF∴∠CDF=∠EAF，∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC，∠AFE+∠EFD=60°∴∠AFC-∠DFC=60°∴∠AFE=∠DFC∴∠EFC=60°同理，∠FEC=60°∵CF=CE∴△ECF是等邊三角形16.如圖，在平行四邊形ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，連接CE、CF，求證：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊△16整理課件17.已知正方形ABCD中，F(xiàn)為對角線BD上一點，過F點作EF⊥BA于E，G為DF中點，連接EG，CG．求證：EG=CG；證明：延長CG至M，使MG=CG，連接MF，ME，EC，在△DCG與△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE與Rt△CBE中，∵M(jìn)F=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC為直角三角形．∵M(jìn)G=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．17整理課件18.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．解：在AC上取AF=AE，連接OF，則△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=（180°-∠B）=60°則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，

∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，則∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．18整理課件19.已知：如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；說明：AD+BC=AB．解：如圖，在AB上截取AF=AD，∴AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠FAE，∵AF=AD，AE=AE，∴△DAE≌△FAE，∴∠D=∠AFE，∠DEA=∠FEA，∵A