PAGE -9--2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試四川卷理數(shù)第一卷〔選擇題共50分〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，集合，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A．【解析】∵，，∴A∩B={-2}，選A．2．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，那么圖中表示的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B．【解析】假設(shè)〔〕，那么，選B．3．一個(gè)幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的直觀圖可以是〔〕【答案】D．【解析】由俯視圖可排除A、B，由正視圖可排除C，選D．4．設(shè)，集合是奇數(shù)集，集合是偶數(shù)集．假設(shè)命題，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D．【解析】此題考查命題的否認(rèn)，將改為，將改為，選D．5．函數(shù)的局部圖象如下列圖，那么的值分別是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A．【解析】由圖可知，，，又點(diǎn)在圖像上，那么，又，那么，選A．6．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B．【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，那么到漸近線的距離，選B．7．函數(shù)的圖象大致是〔〕【答案】C．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋懦鼳；當(dāng)時(shí)，，排除B；當(dāng)時(shí)，遠(yuǎn)大于，∴，選C．8．從這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為，共可得到的不同值的個(gè)數(shù)是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C．【解析】因?yàn)椋?，所以，選C．9．節(jié)日家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，假設(shè)接通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在內(nèi)4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C．【解析】考查幾何概型.兩串彩燈的第一次閃亮的時(shí)刻分別為，那么，作圖，故，選C．10．設(shè)函數(shù)〔，為自然對數(shù)的底數(shù)〕．假設(shè)曲線上存在使得，那么的取值范圍是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A．【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)樵诤瘮?shù)上，所以所以問題轉(zhuǎn)化為在上有解，假設(shè)在上恒成立，那么，那么在上無解，同理假設(shè)在上恒成立，那么。所以在上有解等價(jià)于所以在上有解即令，所以所以，選A．第二局部〔非選擇題共100分〕二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．11．二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是____________．〔用數(shù)字作答〕【答案】．【解析】因?yàn)槎?xiàng)式，所以的系數(shù)為．12．在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，，那么____________．【答案】2．【解析】，那么．13．設(shè)，，那么的值是____________．【答案】．【解析】，那么，又，那么，．14．是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)≥時(shí)，，那么，不等式的解集是____________．【答案】．【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，那么的解為；所以，即是，即．故填．15．設(shè)為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，假設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小，那么稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)〞．例如，線段上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)的中位點(diǎn)．那么有以下命題：①假設(shè)三個(gè)點(diǎn)共線，在線段上，那么是的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③假設(shè)四個(gè)點(diǎn)共線，那么它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．其中的真命題是____________．〔寫出所有真命題的序號〕【答案】①④【解析】①直接由題意可知是真命題；②假設(shè)直角三角形不是等腰直角三角形，斜邊上的高與斜邊的交點(diǎn)到斜邊兩端點(diǎn)的距離與中點(diǎn)到斜邊兩端點(diǎn)的距離相等，但高的交點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離比中點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離要小，所以斜邊的中點(diǎn)不是中位點(diǎn)，錯(cuò)誤；③存在但不唯一，假設(shè)四個(gè)點(diǎn)依次是，那么線段上的任意一點(diǎn)到的距離之和都是的長，只需要在找出的中位點(diǎn)即可，那么的中位點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，錯(cuò)誤；④利用三角形的兩邊之和大于第三邊即可得到是真命題．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．(本小題總分值12分)在等差數(shù)列中，，且為和的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和．【答案】，，【解析】由題意可知，即，解得,或,〔1〕當(dāng)時(shí)，；〔2〕當(dāng)時(shí)，．17．(本小題總分值12分)在中，角的對邊分別為，且．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假設(shè)，，求向量在方向上的投影．【解析】〔Ⅰ〕由題意可知所以；〔Ⅱ〕由正弦定理，，那么，又由余弦定理有，解得或〔舍〕，故向量在方向上的投影．18．(本小題總分值12分)某算法的程序框圖如下列圖，其中輸入的變量在這個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生．〔Ⅰ〕分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出的值為的概率；〔Ⅱ〕甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出的值為的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的局部數(shù)據(jù)．運(yùn)行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)…………甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表〔局部〕乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表〔局部〕運(yùn)行次數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)輸出的值為的頻數(shù)…………當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為的頻率〔用分?jǐn)?shù)表示〕，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大；〔Ⅲ〕按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，即輸出的數(shù)為奇數(shù)，奇數(shù)有個(gè)，那么；當(dāng)時(shí)，即輸出的數(shù)為能整除的偶數(shù)，有個(gè)，那么；當(dāng)時(shí)，即輸出的數(shù)為剩下的個(gè)，那么，即，，;〔Ⅱ〕甲：乙：根據(jù)頻率的趨勢與概率可知，乙編寫的程序更符合算法要求.〔Ⅲ設(shè)輸出的值為2為事件，且，那么該實(shí)驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)事件，次數(shù)的分布列為0123，，，，.19．(本小題總分值12分)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕在平面內(nèi)，試作出過點(diǎn)與平面平行的直線，說明理由，并證明直線平面；〔Ⅱ〕設(shè)〔Ⅰ〕中的直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求二面角的余弦值．【解析】〔1〕由題意可知，直線，又，是的中點(diǎn)，那么，又在三棱柱中，，且，那么，所以直線平面〔2〕連接，過作于，過作于，連接.由〔1〕知，平面，所以平面平面，所以平面，那么.所以平面，那么.故為二面角的平面角〔設(shè)為〕.設(shè)，那么由，，有，，，又為的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，且，，所以，在,,在在,,從而所以20．(本小題總分值13分)橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．〔Ⅰ〕求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】〔Ⅰ〕橢圓過焦點(diǎn)，故，…………①又因橢圓過點(diǎn)……………………②由①②解得故橢圓的離心率為〔Ⅱ〕當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程由得解得或再令方程兩個(gè)根分別為，，那么…………………③令，，設(shè)由得，將③代入上式化簡得，其中.21．(本小題總分值14分)函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且．〔Ⅰ〕指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)的