第2課時

等比數(shù)列前n項和的性質及應用第2章

2.3.3等比數(shù)列的前n項和學習目標1.理解等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征.2.熟練應用等比數(shù)列前n項和公式的有關性質解題.3.會用錯位相減法求和．問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學知識點一等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征思考假設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1，那么數(shù)列{an}是不是等比數(shù)列？假設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－1呢？答案

當Sn＝2n－1時，當Sn＝2n＋1－1時，梳理當公比q≠1時，設A＝

，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指數(shù)型函數(shù)．當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù)．知識點二等比數(shù)列前n項和的性質思考假設公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列嗎？答案由題意可知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不為0，設{an}的公比為q，那么Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn＝qn(S2n－Sn)，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，公比為qn.梳理等比數(shù)列{an}前n項和的三個常用性質：(1)數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構成等比數(shù)列．(2)假設{an}是公比為q的等比數(shù)列，那么Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．(3)假設{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，那么：①在其前2n項中，＝q；②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1[思考辨析判斷正誤]1.對于公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和公式，其qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).()2.當{an}為等差數(shù)列，{bn}為公比不是1的等比數(shù)列時，求數(shù)列

的前n項和，適用錯位相減法.(

)√√題型探究例1數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列.類型一等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征應用證明證明

當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；當n＝1時，a1＝a－1，滿足上式，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.跟蹤訓練1假設{an}是等比數(shù)列，且前n項和為Sn＝3n－1＋t，那么t＝________.解析

顯然q≠1，此時應有Sn＝A(qn－1)，答案解析類型二等比數(shù)列前n項和的性質命題角度1連續(xù)n項之和問題例2等比數(shù)列前n項，前2n項，前3n項的和分別為Sn，S2n，S3n，證明證明方法一設此等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，當q＝1時，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，方法二根據(jù)等比數(shù)列的性質有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，反思與感悟處理等比數(shù)列前n項和有關問題的常用方法：(1)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進展消元.(2)靈活運用等比數(shù)列前n項和的有關性質整體處理.解答跟蹤訓練2在等比數(shù)列{an}中，Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解由等比數(shù)列前n項和的性質得，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，∴122＝48(S3n－60)，解得S3n＝63.命題角度2不連續(xù)n項之和問題解析

∵a2＋a4＋a6＋a8＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，－3答案解析反思與感悟注意觀察序號之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機；整體思想能使問題的解決過程變得簡潔明快.跟蹤訓練3設數(shù)列{an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，那么＝____.126∴{

}是首項為b2，公比為2的等比數(shù)列.答案解析解析

∵

＝

＝2，類型三錯位相減法求和解答反思與感悟一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和時，可采用錯位相減法.跟蹤訓練4

求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).解答當x≠1時，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1達標檢測答案1.等比數(shù)列{an}的公比為2，且其前5項和為1，那么{an}的前10項和為_____.1234解析設{an}的公比為q，由題意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，那么a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.解析33答案解析2.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝x·3n－1－，那么x的值為____.1234當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比數(shù)列，∴n＝1時也應適合an＝2x·3n－2，答案解析3.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋bn＋c，等比數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝3n＋d，那么向量a＝(c，d)的模為___.12341解析

由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模為1.答案12344.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，假設q＝2，S100＝36，那么a1＋a3＋…＋a99＝____.12解析解析設a1＋a3＋…＋a99＝S，那么a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.1.在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；假設{an}是等比數(shù)列，且an>0，那么{l