第37講指對(duì)函數(shù)問(wèn)題之指數(shù)找基友1．若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：當(dāng)時(shí)，為的增函數(shù)，無(wú)最小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，即為顯然成立；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，由于在遞增，設(shè)的根為，即有，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，可得處取得極小值，且為最小值，由題意可得，即，化為，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，（1），時(shí)，，遞增，可得的解為，則，，綜上可得，，故選：．2．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)．（1）若對(duì)函數(shù)存在極小值，且極小值為0，求的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1），，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，由，可得，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，由已知，，即，；（2）不等式，即，設(shè)，則，，時(shí)，，則在時(shí)為增函數(shù)，．①，即時(shí)，，在時(shí)為增函數(shù)，，此時(shí)恒成立；②，即時(shí)，存在，使得，從而時(shí)，，在，上是減函數(shù)，時(shí)，，不符合題意．綜上，的取值范圍是，．3．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）若在處的切線過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），．，在處的切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)，，．（2）由，可得，令，，，且，，存在，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，對(duì)于任意式恒成立；②當(dāng)時(shí)，，由，得，令，下面研究的最小值．與同號(hào)，且對(duì)成立，函數(shù)在上為增函數(shù)，而，時(shí)，，，函數(shù)在上為減函數(shù)，，．③當(dāng)，時(shí)，，由，得，由②可知函數(shù)在，上為減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，，綜上，．4．已知，．（1）求在處的切線方程；（2）若，證明：在上單調(diào)遞增；（3）設(shè)對(duì)任意，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），，，所以在處的切線方程為，即．（2），則，由于，故，又，，故，故，即在上恒成立，故在遞增．（3），由對(duì)任意，恒成立，設(shè)，則，再設(shè)，則，，因此在上遞增，故，①當(dāng)時(shí)，即，在遞增，故，即適合題意，②當(dāng)時(shí)，，，若，則取，時(shí)，，若，則在上存在唯一零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，，總之，存在使時(shí)，即，故遞減，，故時(shí)，存在使，不合題意，綜上，．所以的取值范圍為，．5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：在上為減函數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（1），，故在上為減函數(shù)．（2）解：等價(jià)于對(duì)于恒成立，設(shè)，則，易知在上為增函數(shù)，所以，所以在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在唯一的，使得，?dāng)，時(shí)，，由得，令，則，所以在，上為減函數(shù)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，由得，由上可知，令，則，易知在上為增函數(shù)，又，因?yàn)?，，所以，又，所以存在唯一，使得，?dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在，上遞減，在上遞增，因?yàn)?，，所以，即，所以在為減函數(shù)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．6．已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；（2）若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，只需證在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)即可．當(dāng)，，記，，，在上遞增，又，在上遞增，又，，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．，，又，所以函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．（2）法一：由，可得，由（1）知：①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，對(duì)于任意，恒成立．②當(dāng)時(shí)，，由，得，令，下面研究的最小值，，令，，對(duì)成立，函數(shù)在上為增函數(shù)，而，又，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在，上遞減，在遞增，，，函數(shù)在上遞減，，．③當(dāng)，時(shí)，，由，得，由②可知，所以函數(shù)在，上為減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，，綜上，．法二：原命題等價(jià)于在，上恒成立，令，則，當(dāng)，時(shí)，，，，①當(dāng)時(shí)，原命題成立，②當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，，由，可得，③當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，，由，可得，綜上，的取值范圍是，．7．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由，得，令，則，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，故，故在單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，且時(shí)，，遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，故為的極小值點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．（2）若，時(shí)，恒成立，則，故，下面證明時(shí)，在，恒成立，，時(shí)，，故時(shí)，，令，，，故，令，則，在區(qū)間，單調(diào)遞增，又，故在，上單調(diào)遞減，又，，故存在，，使得，且，時(shí)，，遞增，，時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，取得最大值，且，，，，故單調(diào)遞減，故，時(shí)，即成立，綜上，若，時(shí)，恒成立，則的取值范圍是，．8．設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立是的導(dǎo)函數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）由題可得．令，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，．因?yàn)?，所以，所以的值域?yàn)椋?）由得，即．設(shè)，則．設(shè)，則．當(dāng)，時(shí)，，，所以．所以即在，上單調(diào)遞增，則．若，則，所以在，上單調(diào)遞增．所以恒成立，符合題意．若，則，必存在正實(shí)數(shù)，滿足：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意綜上所述，的取值范圍是，．9．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)，（1）的切線與軸平行，是的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）求的值及當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)對(duì)于任意，證明．【解答】（Ⅰ）解：由，得，，即．，為減函數(shù)，且（1），當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，．的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）證明：．記，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減．，．令，，在上單調(diào)遞減，．．10．已知函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)且和曲線相切的直線方程；（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，所求直線的斜率為，則過(guò)點(diǎn)且和曲線相切的直線方程為，當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則所求直線的斜率為，所以，①易知，②由①②可得即，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以有唯一的零點(diǎn)，因?yàn)?，所以方程的根為，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求切線的斜率為（1），則過(guò)點(diǎn)且和曲線相切的直線方程為，綜上，所求直線的方程為或，（2）解法一、，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)，所以沒(méi)有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)在上的最小值，當(dāng)上沒(méi)有零點(diǎn)，即在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)上只有一個(gè)零點(diǎn)，即在上只有一個(gè)零點(diǎn)；易知對(duì)任意的，都有，即，所以，即，令，則，所以，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，因此在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；綜上，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解法二、由，令，則函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為，因?yàn)?，并且?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．所以，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．11．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求曲線在，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），（1），（1），所求切線方程為（4分）（Ⅱ）令①當(dāng)時(shí)，，時(shí)，；時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，即（7分）②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，要使，則，解得（9分）③當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，，成立（10分）④當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，要使，則，解得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為（12分）12．已知函數(shù)（其中，為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)，處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的最小值；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，則，因?yàn)榈膱D象在點(diǎn)，處的切線方程為，則，解得，；（2）由（1）可知，，則函數(shù)，所以，令，則，①當(dāng)時(shí)，由，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，故無(wú)最小值；②當(dāng)時(shí)，由，，則，所以在，上單調(diào)遞增，故，則在，上單調(diào)遞增，所以．綜上所述，的最小值為1；（3）對(duì)分情況討論如下：①當(dāng)時(shí)