2022-2023學(xué)年河南省洛陽市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(40題)1.

2.平面x+y一3z+1=0與平面2x+y+z=0相互關(guān)系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合

3.

4.

5.∫cos3xdx=A.A.3sin3x+CB.-3sin3x+CC.(1/3)sin3x+CD.-(1/3)sin3x+C

6.

7.

8.

9.

10.A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件也非必要條件

11.

A.0

B.

C.1

D.

12.下列反常積分收斂的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

13.設(shè)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

14.設(shè)D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在極坐標下二重積分(x2+y2)dxdy可以表示為()A.∫0πdθ∫0ar2dr

B.∫0πdθ∫0ar3dr

C.D.

15.

16.設(shè)f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

17.設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當(dāng)△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

18.A.2B.-2C.-1D.1

19.設(shè)區(qū)域，將二重積分在極坐標系下化為二次積分為()A.A.

B.

C.

D.

20.過點(1，0，O)，(0，1，O)，(0，0，1)的平面方程為（）A.A.x＋y＋z=1

B.2x＋y＋z=1

C.x＋2y＋z=1

D.x＋y＋2z=1

21.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)f(x)>0，則在(0，1)內(nèi)f(x)（）．

A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.為常量D.既非單調(diào)，也非常量

22.微分方程y"-y=ex的一個特解應(yīng)具有的形式為(下列各式中α、b為常數(shù))。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

23.

24.

25.A.A.

B.e

C.e2

D.1

26.

27.

28.

29.若，則下列命題中正確的有()。A.

B.

C.

D.

30.A.A.發(fā)散B.絕對收斂C.條件收斂D.收斂性與k有關(guān)31.A.A.sin(x－1)＋C

B.－sin(x－1)＋C

C.sinx＋C&nbsbr;

D.－sinx＋C

32.一飛機做直線水平運動，如圖所示，已知飛機的重力為G，阻力Fn，俯仰力偶矩M和飛機尺寸a、b和d，則飛機的升力F1為()。

A.(M+Ga+FDb)／d

B.G+(M+Ga+FDb)／d

C.G一(M+Gn+FDb)／d

D.(M+Ga+FDb)／d—G

33.A.A.較高階的無窮小量B.等價無窮小量C.同階但不等價無窮小量D.較低階的無窮小量34.設(shè)y＝sin2x，則y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x35.A.A.e2/3

B.e

C.e3/2

D.e6

36.A.A.3yx3y-1

B.yx3y-1

C.x3ylnx

D.3x3ylnx

37.

38.

39.

40.函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于（）。A.0

B.

C.

D.π

二、填空題(50題)41.

42.設(shè)f(x＋1)=3x2＋2x＋1，則f(x)=_________．

43.

44.

45.

46.

47.不定積分=______．

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.55.

56.

57.

58.冪級數(shù)的收斂半徑為______．

59.60.廣義積分．

61.設(shè)f(x)=x(x-1)，貝f'(1)=_________．

62.級數(shù)的收斂區(qū)間為______．

63.

64.65.66.二元函數(shù)z=x2+3xy+y2+2x，則=______．

67.

68.

69.

70.

71.72.73.74.設(shè)z=x2y+siny，=________。75.微分方程y'+9y=0的通解為______．

76.

77.微分方程y''+6y'+13y=0的通解為______.78.79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.曲線y=x3-6x的拐點坐標為______．86.設(shè)y=x2+e2，則dy=________

87.設(shè)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，且在點x0處取得極小值，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為________。

88.

89.曲線y=x3-3x+2的拐點是__________。

90.

三、計算題(20題)91.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

92.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．93.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．94.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．95.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

96.

97.

98.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．99.證明：100.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．101.102.103.

104.

105.求曲線在點(1，3)處的切線方程．106.求微分方程的通解．107.當(dāng)x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

108.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

109.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

110.四、解答題(10題)111.

112.證明:ex＞1+x(x＞0).

113.

114.

115.設(shè)z=ysup>2</sup>esup>3x</sup>，求dz。

116.

117.求曲線y=x2、直線y=2-x與x軸所圍成的平面圖形的面積A及該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy。

118.

119.求y"+4y'+4y=e-x的通解．120.展開成x-1的冪級數(shù)，并指明收斂區(qū)間(不考慮端點)。五、高等數(shù)學(xué)(0題)121.求y=ln(x2+1)的凹凸區(qū)間，拐點。

六、解答題(0題)122.若y=y(x)由方程y=x2+y2，求dy。

參考答案

1.B解析：

2.Bπ1x+y一3z+1=0的法向量n1=(1，1，一3)π2：2x+y+z=0的法向量n2=(2，1，1)∵n1.n2=(1，1，一3).(2，1，1)=0∵n1⊥n2；∴π1⊥π2

3.C

4.C解析：

5.C

6.C

7.B

8.A

9.C解析：

10.B

11.A

12.DA，∫1+∞xdx==∞發(fā)散；

13.B由導(dǎo)數(shù)的定義可知

可知，故應(yīng)選B。

14.B因為D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令則有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故選B。

15.C

16.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質(zhì)。由于所給定積分的積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)f(x)=x3+x為連續(xù)的奇函數(shù)。由定積分的對稱性質(zhì)可知

可知應(yīng)選A。

17.B

18.A

19.A本題考查的知識點為將二重積分化為極坐標系下的二次積分．

由于在極坐標系下積分區(qū)域D可以表示為

0≤θ≤π，0≤r≤a．

因此

故知應(yīng)選A．

20.A

21.A本題考查的知識點為利用導(dǎo)數(shù)符號判定函數(shù)的單調(diào)性．

由于f(x)在(0，1)內(nèi)有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)增加，故應(yīng)選A．

22.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應(yīng)設(shè)定y*=αxex，因此選B。

23.A

24.D解析：

25.C本題考查的知識點為重要極限公式．

26.B解析：

27.B解析：

28.D

29.B本題考查的知識點為級數(shù)收斂性的定義。

30.C

31.A本題考查的知識點為不定積分運算．

可知應(yīng)選A．

32.B

33.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

34.D本題考查的知識點為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈式法則．

35.D

36.D

37.A

38.A

39.A解析：

40.C本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結(jié)論。

41.2

42.43.5．

本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．

解法1

解法2

44.

解析：

45.π/4

46.(-22)(-2，2)解析：

47.

；本題考查的知識點為不定積分的換元積分法．

48.2

49.2本題考查了定積分的知識點。

50.1/200

51.

本題考查的知識點為函數(shù)商的求導(dǎo)運算．

考生只需熟記導(dǎo)數(shù)運算的法則

52.1/2

53.

54.本題考查的知識點為函數(shù)商的求導(dǎo)運算．

考生只需熟記導(dǎo)數(shù)運算的法則

55.本題考查的知識點為換元積分法．

56.x(asinx+bcosx)

57.058.0本題考查的知識點為冪級數(shù)的收斂半徑．

所給冪級數(shù)為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

59.R60.1本題考查的知識點為廣義積分，應(yīng)依廣義積分定義求解．

61.1

62.(-∞，+∞)本題考查的知識點為求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．

63.(-∞．2)

64.本題考查了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的知識點

65.66.2x+3y+2本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)運算．

則

67.4π

68.

69.

70.

71.

72.73.e-1/274.由于z=x2y+siny，可知。75.y=Ce-9x本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

分離變量

兩端分別積分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

76.-2-2解析：77.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程為r2+6r+13=0，特征根為所以微分方程的通解為y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).78.本題考查的知識點為二重積分的直角坐標與極坐標轉(zhuǎn)化問題。

79.2本題考查的知識點為極限的運算．

80.-ln｜3-x｜+C

81.

82.

83.5/2

84.(03)(0,3)解析：85.(0，0)本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的一般步驟，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在點x1，x2，…，xk兩側(cè)，y"的符號是否異號．若在xk的兩側(cè)y"異號，則點(xk，f(xk)為曲線y=f(x)的拐點．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．當(dāng)x=0時，y=0．

當(dāng)x＜0時，y"＜0；當(dāng)x＞0時，y"＞0．因此點(0，0)為曲線y=x3-6x的拐點．

本題出現(xiàn)較多的錯誤為：填x=0．這個錯誤產(chǎn)生的原因是對曲線拐點的概念不清楚．拐點的定義是：連續(xù)曲線y=f(x)上的凸與凹的分界點稱之為曲線的拐點．其一般形式為(x0，f(x0))，這是應(yīng)該引起注意的，也就是當(dāng)判定y"在x0的兩側(cè)異號之后，再求出f(x0)，則拐點為(x0，f(x0))．

注意極值點與拐點的不同之處!86.(2x+e2)dx

87.y=f(x0)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，且y=f(x)有極小值f(x0)，這意味著x0為f(x)的極小值點。由極值的必要條件可知，必有f"(x0)=0，因此曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)為所求切線方程。

88.

89.(02)

90.1/e1/e解析：

91.解：原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

92.

93.函數(shù)的定義域為

注意

94.

95.

列表：

說明

96.

97.由一階線性微分方程通解公式有

98.

99.

100.由二重積分物理意義知

101.

102.

103.

則

104.105.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

106.107.由等價無窮小量的定義可知

108.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

109.

110.

111.(11/3)(1,1/3)解析：

112.

113.

114.

115.

116.

117.

1