§7-5位移法的基本體系為了分析計算的需要，引用兩種附加約束裝置：

附加剛臂：只阻止結(jié)點轉(zhuǎn)動，不阻止結(jié)點移動。附加鏈桿：只阻止結(jié)點沿某一方向的移動，不能阻止結(jié)點轉(zhuǎn)動。本節(jié)介紹通過位移法的基本體系建立位移法典型方程的方法。如圖：FP基本結(jié)構(gòu)1、位移法基本體系結(jié)點B被完全固定。桿AB—兩端固定（剛結(jié)）的單跨梁；桿BC—一端固定（剛結(jié)）一端鉸支的單跨梁。實際為單跨超靜定桿的組合體?；倔w系與原結(jié)構(gòu)的區(qū)別在于：增加了人為約束，把基本未知量由被動的位移變成為受人工控制的主動的位移?；倔w系是用來計算原結(jié)構(gòu)的工具與橋梁。一方面，它可以代表原結(jié)構(gòu)；另一方面它的計算又比較簡單。利用基本體系建立位移法基本方程。分兩步考慮：第一步，控制附加約束，使結(jié)點位移全部為零，這時，剛架處于鎖住狀態(tài)，即基本體系。施加荷載后，可求出基本體系中的內(nèi)力，同時，在附加約束上會產(chǎn)生約束力矩。第二步，再控制附加約束，使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生結(jié)點位移，這時，附加約束中的約束力將隨之改變。如果控制結(jié)點，使與原結(jié)構(gòu)的實際值正好相等，則約束力即完全消失。這時基本體系形式上雖然還有附加約束，但實際上它們已經(jīng)不起作用，基本體系實際上處于放松狀態(tài)，與原結(jié)構(gòu)完全相同?；倔w系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件是：

基本結(jié)構(gòu)在給定荷載以及結(jié)點位移的共同作用下，在附加約束中產(chǎn)生的總約束力應(yīng)該等于零。整體結(jié)構(gòu)（變形協(xié)調(diào)）鎖住放松(還原)原結(jié)構(gòu)若干根單跨桿件的組合體（平衡條件）以兩個基本未知量的結(jié)構(gòu)為例。基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件：基本結(jié)構(gòu)在給定荷載和結(jié)點位移Δ

1，Δ

2共同作用下，在附加約束中產(chǎn)生的總約束反力F1，F(xiàn)2應(yīng)等于零。即：

F1

=0F2

=0FPBCADll/2l/2EI=常數(shù)BCADΔ1Δ1Δ2基本結(jié)構(gòu)（7-15）BCAD基本結(jié)構(gòu)FPBCADll/2l/2EI=常數(shù)Δ1Δ

1Δ

2F1

=0BCADFPΔ1Δ2基本體系BMBAMBCF1=0F2=0FQBAFQCD

F2

=0F11F21

BCADBCADΔ2F12F22F1PF2PF1=F11+F12+F1P=0F2=F21+F22+F2P=0BCADFPΔ1ABCDΔ1=1k11k21

M1

圖ABCDΔ2=1M2

圖k22k12ABCDFPF1PF2Pk11

Δ1+k12Δ2+F1P=0k21

Δ1+k22Δ2+F2P=0位移法典型方程。計算系數(shù)和自由項：1234k11k21

Δ

1=1k121234Δ

2=1M1

圖M2

圖4i3i1k11

=7ik21=-

6i/l3i4i2i-6i/l001k12

=-6i/lk22=15i/l2-6i/l12i/l23i/l26i/l6i/l3i/lk221234F1PF2PFPMP圖10F1P=FPl/8F2P=-FP

/2FPl/8FPl/8FPl/8-FP

/20k11=3i+4i=7ik21=-

6i/lk12=-

6i/lk22=12i/l2+3i/l2=15i/l2F1P=FP

l/8F2P=-FP

/2由反力互等，有：

k12=k21

將系數(shù)和自由項代入位移法典型方程

7iΔ1

-

6i/lΔ2+FPl/8=0-6i/lΔ1+15i/l2Δ2

-FP

/2=0解出：所設(shè)的Δ1

、

Δ2方向與實際位移方向一致。求出Δ

1

、Δ

2后，可用疊加法計算剛架最后彎矩圖。FP183/552·FP

lM=Δ

1M1+Δ

2M2+MP27/552·FP

l60/552·FP

l66/552·FP

l請注意：（1）基本體系與原結(jié)構(gòu)變形相同：荷載作用下，附加剛臂產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角Δ1

，附加鏈桿產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的水平線位移Δ2。（2）基本體系與原結(jié)構(gòu)受力相同：原結(jié)構(gòu)上無附加人為約束，結(jié)點力為零。基本體系上附加人為約束后令反力為零。總結(jié)－基本體系法步驟:確定獨立位移未知量數(shù)目，選取基本結(jié)構(gòu)（加剛臂與鏈桿約束節(jié)點位移）。根據(jù)附加約束對結(jié)構(gòu)的作用力與原結(jié)構(gòu)的節(jié)點荷載一致建立位移法基本方程。讓附加約束發(fā)生單位位移，作基本結(jié)構(gòu)的Mi、MP圖。由上述彎矩圖取結(jié)點、隔離體求kij、Fip

。解位移法基本方程求節(jié)點位移。按迭加法作最終彎矩圖。取任意部分用平衡條件進(jìn)行校核。力法、位移法對比力法基本未知量：多余未知力;基本結(jié)構(gòu)：一般為靜定結(jié)構(gòu)，能求M的超靜定也可。作單位和外因內(nèi)力圖;由內(nèi)力圖自乘、互乘求系數(shù)，主系數(shù)恒正。建立力法方程（協(xié)調(diào)）:位移法基本未知量：獨立結(jié)點位移;基本結(jié)構(gòu)：無位移超靜定次數(shù)更高的結(jié)構(gòu);作單位和外因內(nèi)力圖;由內(nèi)力圖的結(jié)點、隔離體平衡求系數(shù)，主系數(shù)恒正。建立位移法方程（平衡）:解方程求多余未知力;迭加作內(nèi)力圖;用變形條件進(jìn)行校核;只用來求解超靜定結(jié)構(gòu)。

解方程求獨立結(jié)點位移;迭加作內(nèi)力圖;用平衡條件進(jìn)行校核;靜定、超靜定結(jié)構(gòu)均可。2、位移法典型方程（n個基本未知量）

k11

Δ1+k12

Δ2+…+k1n

Δn+F1P=0k21

Δ1+k22

Δ2+…+k2n

Δn+F2P=0

(7-19)

…+…+…kn1

Δ1+kn2

Δ2+…+knn

Δn+FnP=0可寫成矩陣形式

[k]{Δ}+{FP}={0}

(7-19)其中，[k]稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣討論：主系數(shù)、副系數(shù)（反力系數(shù)，剛度系數(shù)）、自由項

主系數(shù)kii（主反力）：

Δ

i=1時，附加約束i方向的反力（或反力矩）。恒為正，不為零。副系數(shù)kij（i≠j）（副反力）：

Δ

j=1時，附加約束i方向的反力（或反力矩）?？烧?，可負(fù)，可為零。由反力互等定理：

kij=kji

自由項FiP

：荷載單獨作用下，附加約束i方向上的反力（或反力矩）。可正，可負(fù)，可為零?；痉匠淌前匆欢ㄒ?guī)則寫出的，它不依結(jié)構(gòu)的形式不同而異?；痉匠讨忻恳粋€系數(shù)都是由結(jié)構(gòu)的結(jié)點單位位移引起的附加約束反力。結(jié)構(gòu)的剛度愈大，反力（或反力矩）數(shù)值愈大。因此，基本方程又成為剛度方程；位移法稱為剛度法。基本體系法與轉(zhuǎn)角位移方程法（直接利用平衡方程法），本質(zhì)完全相同，所用方法（途徑）不同。

直接平衡法—先拆后搭，根據(jù)結(jié)點或截面平衡列基本方程。

基本體系法—先鎖后松，根據(jù)放松原則建立位移法基本方程。請大家思考：力法只能計算超靜定結(jié)構(gòu)，不能計算靜定結(jié)構(gòu)。而位移法既能計算超靜定結(jié)構(gòu)，也可計算靜定結(jié)構(gòu)。為什么？進(jìn)一步討論：思考題：左圖所示剛架，用位移法求解時有兩個未知量θD

、⊿DE。

1、當(dāng)寫各桿的桿端彎矩，桿端剪力表達(dá)式時，應(yīng)注意些什么？

2、取什么樣的隔離體，建立什么樣的平衡方程。桿AD、BE的側(cè)移為正；桿CD的側(cè)移為負(fù)。取結(jié)點D為隔離體，建立力矩平衡方程。取桿DE為隔離體，建立截面剪力平衡方程?！?-6對稱結(jié)構(gòu)的計算對稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用很多。對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變形和受力均為正對稱的。對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，結(jié)構(gòu)的變形和受力均為反對稱的。在以上情況下，可取半結(jié)構(gòu)計算。什么是結(jié)構(gòu)的對稱性（1）結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況，對某軸（或點）對稱。（2）桿件的截面和材料性質(zhì)，對此軸（或點）也對稱?？紤]兩種荷載情況

（1）對稱荷載作用FPFPFPFPX1X2FPFPFPFP

MP圖是對稱的，有⊿3P=0

因此反對稱未知力X3=0；只有正對稱未知力X1，X2。故：M=M1X1+M2X2+MP

最后彎矩圖也是正對稱的。

結(jié)論：正對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下，反對稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及變形均為正對稱的。（2）反對稱荷載FPFPX3FPFPFPFPFPFP

MP圖是反對稱的，有⊿1P=0，⊿2P=0。因此正對稱未知力X1=0，X2=0。

只有反對稱未知力X3。

故：M=M3X3+MP

最后彎矩圖也是反對稱的。結(jié)論：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，正對稱未知力必為零，結(jié)構(gòu)所有的反力、內(nèi)力及變形均為反對稱的。

一、奇數(shù)跨對稱剛架

1、正對稱荷載2、反對稱荷載FPFPFPFPFPFP思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？

注意：對稱軸上的變形特點，應(yīng)具體分析。FPFPFPFPqqqq二、偶數(shù)跨對稱剛架

1、正對稱荷載FPFPFP2、反對稱荷載FPFPFPFPFPFPFP思考：下列各圖所示結(jié)構(gòu)可取什么樣的半結(jié)構(gòu)？

注意：對稱軸上的變形特點，應(yīng)具體分析。FPFPFPFP上圖所示結(jié)構(gòu)最終可簡化成什么樣的半結(jié)構(gòu)，進(jìn)行計算？FPFPFPFPqq上圖所示結(jié)構(gòu)最終可簡化成什么樣的半結(jié)構(gòu)，進(jìn)行計算？FPFP2E