波利亞的數(shù)學(xué)解題理論及其在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的應(yīng)用羅平縣阿崗一中王書文不看航拍，你永遠(yuǎn)不知羅平有多美●PCK是指教師在面對特定的學(xué)科主題或問題時，如何針對學(xué)生的不同興趣與能力，將學(xué)科知識組織、調(diào)整與呈現(xiàn)，以進(jìn)行有效教學(xué)的知識?！?/p>

PCK與其說是一種知識，不如說是一種教師所特有的“轉(zhuǎn)化”智能，即將學(xué)科知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生有效獲得的學(xué)科教學(xué)智能。學(xué)科的知識教學(xué)的知識學(xué)生的知識教學(xué)設(shè)計教學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識（數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識PedagogicalContentKnowledge，簡稱數(shù)學(xué)PCK）PCK古已有之波利亞及其解題理論介紹

一、波利亞數(shù)學(xué)教育思想簡介喬治·波利亞(GeorgePolya,1887-1985)，是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。在數(shù)學(xué)教育方面他有3部世界名著:《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)與猜想》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)———對解題的理解、研究和講授》。這3本書在我國有5個譯本,其中《怎樣解題》發(fā)行量已過百萬冊。著名數(shù)學(xué)家瓦爾登曾高度評價這本書:“每個大學(xué)生、每個學(xué)者,特別是每個教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”。波利亞及其解題理論介紹

二、波利亞的怎樣解題表波利亞將解題過程分為四個基本階段：理解問題，制定計劃，實(shí)施計劃，回顧。

第一，理解問題，也即要清楚已知條件是什么，問題是什么等。

第二，制定計劃，也就是在面對條件和問題時，我們要理解條件中各個項目有什么關(guān)聯(lián)，未知量與己知數(shù)據(jù)有什么聯(lián)系等等，以形成解題的思路，并形成解題計劃。

第三，實(shí)施自己的解題計劃。

第四，回顧整個解題過程，包括自己是如何理解問題，如何形成解題思路，如何實(shí)施計劃，并對得到的問題答案進(jìn)行檢驗(yàn)。列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟： (1)_______； (2)_______； (3)找出包含未知數(shù)的___________； (4)_______________； (5)___________________； (6)_____________．審題設(shè)元等量關(guān)系列出方程(組)求出方程(組)的解檢驗(yàn)并作答列方程解應(yīng)用題的策略成功屬于每天都努力學(xué)習(xí)的人！在列方程（組）解應(yīng)用題時，一般采用直接設(shè)元法，但有時也使用間接設(shè)元。不論采用什么方法設(shè)元，要首先尋找題目中的數(shù)量關(guān)系，然后再尋找等量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系列出的方程，一般情況下，列出的方程的個數(shù)要與未知數(shù)的個數(shù)相同。根據(jù)題意列出的方程（組）可能是各種各樣的，這些方程（組）和我們學(xué)解方程（組）時解過的方程（組）不一樣，因此，我們要利用學(xué)過的知識來判斷是什么方程（組），然后，根據(jù)不同類型方程（組）的解法去解方程（組）。解方程（組）時步驟可以少一些，但是應(yīng)該有這類方程（組）的標(biāo)準(zhǔn)形式。（一）解方程的的基本步驟

1、“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確題目中的已知量，未知量，以及它們之間的關(guān)系，審題時也可以利用圖示法，列表法來幫助理解題意．2、“設(shè)”是指設(shè)元，也就是未知數(shù)．包括設(shè)直接未知數(shù)和設(shè)間接未知數(shù)以及設(shè)輔助未知數(shù)(較難的題目)．3、“列”就是列方程，這是非常重要的關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程．4、“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．5、“驗(yàn)”就是驗(yàn)解，即檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義．6、“答”就是寫出答案(包括單位名稱)

數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)。數(shù)學(xué)語言具有簡潔、無歧義的特點(diǎn)，但同時內(nèi)涵豐富，具有一定的抽象性。尤其是符號語言和圖表語言要在閱讀中進(jìn)行語意轉(zhuǎn)換，給閱讀帶來了一定的困難，因而指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)有效的閱讀能起到事半功倍的效果。

培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力中國人一年平均讀書0.7本

第一，略讀識大意。應(yīng)用題實(shí)際上就是一篇說明文，一般文字比較多，信息量比較大。這就需要快速地瀏覽一遍，了解題目的大意:題目敘述的是什么事，是哪一類問題(函數(shù)問題、方程問題、不等式問題、概率問題等)。條件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念。同時，要求學(xué)生手腦結(jié)合，一邊讀，一邊記，一邊畫出相應(yīng)的示意圖，避免信息的遺漏。第二，細(xì)讀抓關(guān)鍵。題目中關(guān)鍵詞語和重要語句往往是重要信息所在，將其辨析出來是實(shí)現(xiàn)綜合認(rèn)知的出發(fā)點(diǎn)。因此，要求學(xué)生在略讀識大意的基礎(chǔ)上逐字、逐詞、逐句進(jìn)行研讀，弄清含義及其相互之間的聯(lián)系。比如，“至多”、“至少”、“都是”、“不都是”、“增加了”、“增加到”等詞語在解題中往往起著關(guān)鍵作用，務(wù)必抓住、用準(zhǔn)。第三，精讀勤轉(zhuǎn)換。閱讀數(shù)學(xué)教材重在領(lǐng)會，而領(lǐng)會的關(guān)鍵是“內(nèi)部轉(zhuǎn)化”。即把一個抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的內(nèi)容；把符號、圖表轉(zhuǎn)化為文字表述；把文字表述的關(guān)系轉(zhuǎn)化為符號或圖表等。數(shù)學(xué)閱讀要加強(qiáng)轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，使大腦建立起靈活的轉(zhuǎn)化機(jī)制。所謂數(shù)學(xué)建模就是在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并對獲取的信息進(jìn)行分析加工、去粗取精、抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。從實(shí)際問題到純數(shù)學(xué)問題，既有對新信息的分析加工，又有對記憶中的原有信息的提取再加工，是一個復(fù)雜艱難的過程。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。培養(yǎng)學(xué)生的建模能力1、注重課本，打好基礎(chǔ)新教材中提供了豐富的實(shí)際問題.如面積問題、體積問題、航行問題、郵資問題、細(xì)胞分裂問題、分配問題、造價問題、利率問題、規(guī)劃問題等，這些都是數(shù)學(xué)建模的最基本的實(shí)例，在教學(xué)中要給予高度重視。結(jié)合生活中的這些簡單、常見的實(shí)例進(jìn)行教育，可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，打好數(shù)學(xué)建模的2、歸類整理，準(zhǔn)確建模應(yīng)用題文字較長，數(shù)據(jù)信息較多，對學(xué)生閱讀理解、信息篩選的能力要求較高，同時還必須提取已儲存的信息，迅速實(shí)現(xiàn)信息轉(zhuǎn)換，使實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號、數(shù)量關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型。信息加工理論告訴我們，在提取存貯的信息時，提取線索起著重要的作用。提取線索與記憶痕跡越接近，提取越有效。為此，在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)用題進(jìn)行歸類整理，并提供一般的建模思路，使之能迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。3、改題編題，鼓勵創(chuàng)新在教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生對教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行改編。通過改變條件、改變結(jié)論、改變數(shù)量關(guān)系等，對習(xí)題所提供的信息縱橫審視、反復(fù)琢磨，從而體會編題者的意圖，提高信息加工的速度。另外，也可讓學(xué)生自己搜集素材，大膽編制新題，進(jìn)行建模練習(xí)。要表揚(yáng)編題有新意的學(xué)生，以充分調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性。1、精心研究算法第一，運(yùn)算要合乎算理。運(yùn)算過程中的每一步都要有依據(jù)，或根據(jù)概念，或根據(jù)公式，或根據(jù)法則，要養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮昧?xí)慣。

第二，運(yùn)算要簡捷。運(yùn)算過程中選擇的運(yùn)算路徑要短，運(yùn)算步驟要少，運(yùn)算時間要短。為此，教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生掌握計算方法和技巧，從而使學(xué)生抓住關(guān)鍵計算步驟，節(jié)省計算時間。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力

2、書寫嚴(yán)格要求一是步驟書寫要規(guī)范。解、證、文字說明、列式、計算結(jié)果、計量單位、答案等都要嚴(yán)格按照要求書寫，條理清楚，一目了然。二是符號書寫要規(guī)范。運(yùn)算符號、關(guān)系符號、代數(shù)符號、幾何符號、三角符號等的書寫必須規(guī)范清晰、準(zhǔn)確無誤。三是文字書寫要規(guī)范。在解題和答題過程中，必須書寫工整、筆畫正確、標(biāo)點(diǎn)符號使用得當(dāng)，完整地表述解題過程。規(guī)范的書寫不僅能準(zhǔn)確地輸出信息，更能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)真、做事精細(xì)的良好品質(zhì)。

開發(fā)生活中的應(yīng)用題課程資源，發(fā)展學(xué)生解決應(yīng)用題的能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用題教學(xué)始終是困擾學(xué)生和教師的一個難點(diǎn)，學(xué)生害怕應(yīng)用題，認(rèn)為應(yīng)用題枯燥無味，老師害怕應(yīng)用題，是因?yàn)閼?yīng)用題情景平淡空洞，缺少情景載體，不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。究其根源，教材中編寫的應(yīng)用題由于帶有普遍性、公共性，所以對人就是“甲、乙兩人”，對地點(diǎn)就是“A,B兩地”等，這樣的應(yīng)用題，缺乏具體的、貼近學(xué)生生活的情感體驗(yàn)，沒有學(xué)生感興趣的情景載體，僅僅是為了學(xué)會解決一類應(yīng)用題的方法。

而忽視了數(shù)學(xué)應(yīng)用題的形成過程與應(yīng)用過程，忽視了數(shù)學(xué)情感態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)，教師教學(xué)是就“本”講“本”，就“題”講“題”，在教學(xué)中就很難激起學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用題的情感和興趣，也就自然導(dǎo)致應(yīng)用題教學(xué)的失敗。其實(shí)，在我們生活實(shí)踐中有許多有意義、也很有趣的應(yīng)用題課程資源，只要教師善于開發(fā)和利用，創(chuàng)設(shè)合理、有趣、貼進(jìn)學(xué)生生活的應(yīng)用題情景和載體，營造一種富有吸引力的學(xué)習(xí)背景，就能有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用題的興趣，學(xué)生就會積極、主動地去思考和探索應(yīng)用題。應(yīng)用題的解法很多，以下幾種：1）列表法2）圖示法3）演示法4）實(shí)踐法設(shè)未知數(shù)的技巧：1、設(shè)直接未知數(shù)，即求什么設(shè)什么。2、設(shè)間接未知數(shù)。3、設(shè)輔助未知數(shù)，即“設(shè)而不求”在列方程解決實(shí)際問題的過程應(yīng)注意哪些問題？（1）設(shè)未知數(shù)時，要仔細(xì)分析問題中的數(shù)量關(guān)系，找出題中的已知條件和未知數(shù)，一般采用直接設(shè)法，有些問題可用間接設(shè)法，要注意未知數(shù)的單位，不要漏寫。（2）找等量關(guān)系時，可借助圖表分析題中的數(shù)量關(guān)系，列出兩個代數(shù)式，使它們都表示一個相等或相同的量。（3）列方程時，要注意方程各項是同類量，單位要一致，方程左右兩邊應(yīng)是等量。（4）解出方程的解后，要驗(yàn)證它的合理性，再解釋它的意義，并要注意單位。初中應(yīng)用題的類型及解法任何人都可以成為自己想成為的那種人,任何人都可以實(shí)現(xiàn)自己的愿望,只要你愿意!

義務(wù)初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“在教學(xué)中，要注意從學(xué)生所熟悉的生活，生產(chǎn)和其他學(xué)科的實(shí)際出發(fā)，進(jìn)行觀察，比較，分析，綜合，抽象，概括和必要的邏輯推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，使學(xué)生受到把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到生活和生產(chǎn)的實(shí)際，包括商品經(jīng)濟(jì)的實(shí)際中去…”在這個指導(dǎo)思想下，近幾年中考中著重考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決簡單實(shí)際問題能力的應(yīng)用題所占的比重一年年增大，題型設(shè)計越來越新穎，也越來越聯(lián)系實(shí)際，貼近生活。這些熊孩子試卷初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要有：方程應(yīng)用題，不等式應(yīng)用題，一次函數(shù)應(yīng)用題，二次函數(shù)應(yīng)用題，統(tǒng)計應(yīng)用題，解直角三角形應(yīng)用題等。就這幾年中考數(shù)學(xué)試題中的應(yīng)用題來說，在各種題型中都有出現(xiàn)，涉及的背景問題有行程問題，增長率問題，東西部人均收入差距問題，用車費(fèi)用問題，商品打折問題，廣告印刷問題，拱橋、隧道設(shè)計問題，小區(qū)規(guī)劃問題，儲蓄問題，環(huán)境污染問題，鋪地磚問題等等方程應(yīng)用題不等式應(yīng)用題一次函數(shù)應(yīng)用題二次函數(shù)應(yīng)用題統(tǒng)計應(yīng)用題解直角三角形應(yīng)用題其他應(yīng)用題初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題類型分類七年級八年級九年級一、方程應(yīng)用題羋月傳中的數(shù)學(xué)題

例1：為了有效地控制沙塵暴等惡劣天氣對人類生存環(huán)境的破壞，我國北方某地決定加快植樹造林的速度，計劃用兩年的時間將防風(fēng)林面積從現(xiàn)在的20,000公頃擴(kuò)大到2.4萬公頃。求平均每年增長的百分率。例2：某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售。如果按定價的七五折出售將賠25元，而按定價的九折出售將賺20元，問這種商品的定價是多少。方程應(yīng)用題的解題步驟可用六個字概括，即審(審題)，設(shè)(設(shè)未知數(shù))，列(列方程)，解(解方程)，檢(檢驗(yàn))，答。考試內(nèi)容多結(jié)合當(dāng)前一些熱點(diǎn)話題，如儲蓄問題，人均收入問題，環(huán)保問題，商品打折問題等。例3：某城市平均每天產(chǎn)生垃圾700噸，由甲乙兩個垃圾加工廠處理，已知甲廠每小時可處理垃圾55噸，需費(fèi)用550元，乙廠每小時可處理垃圾45噸，需費(fèi)用495元。1、甲乙兩廠同時處理該城市的垃圾，每天需幾小時完成。2、如果規(guī)定該城市每天用于處理垃圾的費(fèi)用不得超過7,370元，甲廠每天處理垃圾至少需要多少小時？例4、某企業(yè)為了適應(yīng)市場經(jīng)濟(jì)的需要，決定進(jìn)行人員結(jié)構(gòu)調(diào)整。該企業(yè)現(xiàn)有生產(chǎn)性行業(yè)人員100人，平均每人每年可創(chuàng)造產(chǎn)值a元，現(xiàn)欲從中分流出X人去服務(wù)性行業(yè)，假設(shè)分流后，繼續(xù)從事生產(chǎn)性行業(yè)的人員平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值可增加20%，而分流從事服務(wù)性行業(yè)的人員平均每人每年可創(chuàng)造產(chǎn)值3.5a元。如果要保證分流后該廠生產(chǎn)性行業(yè)的全年總產(chǎn)值不少于分流前生產(chǎn)性行業(yè)的全年總產(chǎn)值的一半，試確定分流后從事服務(wù)性行業(yè)的人數(shù)。二、不等式應(yīng)用題不等式應(yīng)用題是近年來中考命題的熱點(diǎn)。這個問題中通常帶有“不少于”，“不多于”，“不超過”，“最多”，“至少”等關(guān)鍵詞，還常常用到求不等式整數(shù)解問題。函數(shù)應(yīng)用題主要有一次函數(shù)問題和二次函數(shù)問題。一次函數(shù)問題大致可分為：求實(shí)際問題中的函數(shù)解析式，經(jīng)濟(jì)核算的方案比較，運(yùn)用一次函數(shù)增減性求最值問題等。二次函數(shù)問題主要分為求函數(shù)解析式，求最值和拱橋或噴泉等設(shè)計方案問題等等。例5：遼南素以“蘋果之鄉(xiāng)”著稱，某鄉(xiāng)組織20輛汽車裝運(yùn)A、B、C三種蘋果42噸到外地銷售，按規(guī)定每輛車只能裝同一種蘋果，且必須裝滿，每種蘋果不少于2車。1)設(shè)有X輛車裝運(yùn)A種蘋果，用Y輛車裝運(yùn)B種蘋果，根據(jù)上表提供的信息，求Y與X的函數(shù)關(guān)系式，并求出X的取值范圍。2)設(shè)此次外銷活動的利潤為Ｗ(百元)，求W與X的函數(shù)關(guān)系式，以及最大利潤，并安排相應(yīng)的車輛分配方案。三、一次函數(shù)應(yīng)用題蘋果品種ABC車數(shù)XY20－X－Y數(shù)量2.1X2.1Y2（20－X－Y）獲利12.6X12.6Y10（20－X－Y）例6：如圖，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25米，有柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下，為了使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計成水流在離OA距離為1米處達(dá)到距水面最大高度2.25米。1)如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外；2)若水流噴出的拋物線形狀與1)中相同，水池的半徑為3.5米，要使水流不落到池外，此時水流最大高度應(yīng)達(dá)到多少米？四、二次函數(shù)應(yīng)用題OAXYCD實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型抽象近幾年來，中考中對學(xué)生收集整理數(shù)據(jù)的能力的考查在連年增加，就我省近十年來由開始的幾分增加到了近年的十幾分，統(tǒng)計應(yīng)用題由此誕生。例7：某魚塘放養(yǎng)魚苗100,000條，根據(jù)這幾年的經(jīng)驗(yàn)知道魚苗成活率為95%，一段時間后，準(zhǔn)備打撈，第一次從中網(wǎng)出40條，稱得平均每條重2.5千克，第二次網(wǎng)出25條，稱得平均每條重2.2千克，第三次網(wǎng)出35條，稱得平均每條重2.8千克，請估計魚塘中魚總重量約為多少萬千克？五、統(tǒng)計應(yīng)用題加權(quán)平均數(shù)樣本平均數(shù)總體平均數(shù)樣本總體估計這類應(yīng)用題是初中階段數(shù)形結(jié)合，溝通代數(shù)和幾何的內(nèi)在聯(lián)系的最好體現(xiàn)。例8：由于過度采伐森林和破壞植被，使我國許多地區(qū)頻頻受到沙塵暴的侵害，近日，A市氣象站測得沙塵暴中心在A市的正西方向300千米的B處，以10千米/小時的速度向東偏南30度的方向移動，距沙塵暴中心200米的范圍是受其影響的區(qū)域。1)通過計算說明A市必受到這次沙塵暴的影響；

2)計算A市受沙塵暴影響的時間？六、解直角三角形應(yīng)用題CBA北南DE例9：我們常常見到如圖那樣圖案的地面，他們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣形狀的材料能鋪成平整無空隙的地面?，F(xiàn)問，1)向上面那樣鋪地面，能否全用正五邊形材料，為什么？2)你能不能另外想出一個用一種多邊形(不一定是正多邊形)的材料鋪地方案3請你再畫出一個用兩種不同的正多邊形鋪地的草圖。.七、其他應(yīng)用題1.所用材料的形狀不能是正五邊形。因?yàn)橐伋善秸?，無空隙的地面，必須使多邊形的內(nèi)角拼成一個周角，而正五邊形的內(nèi)角為1800，故不能用正五邊形的材料鋪地面一、日歷中的方程(找規(guī)律解方程)例1如圖某月日歷，如果用正方形所圈出4個數(shù)的和是76，這4天分別是幾號？日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930問題：日歷中陰影中的9個數(shù)的和能等于136嗎？初中應(yīng)用題具體分類舉例如下圖，將一張正方形紙片，剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一個小正方形再按同樣的方法剪成四個小正方形，再將其中的一個小正方形剪成四個小正方形，如此循環(huán)進(jìn)行下去；（1）填表：剪的次數(shù)

12345正方形個數(shù)

（2）如果剪n次，共剪出多少個小正方形？（3）如果共剪出301個小正方形，則剪了幾次？47101316有一些分別標(biāo)有6,12,18,24,30,36,…..的卡片，小明從中任意拿到了相鄰的3張卡片，發(fā)現(xiàn)這些卡片上的數(shù)字的和為342猜猜小明拿到了哪3張卡片？小明能否拿到相鄰的3張卡片，使得它們的和為86？說明理由？6個人圍成一圈，每人心里想一個數(shù)，并把這個數(shù)告訴左、右兩個人，然后每一個人把左、右兩個相鄰人告訴自己的數(shù)的平均數(shù)亮出來，如圖，問亮出11的人原來心中想的那個數(shù)是多少？如圖：一個長方形被劃分成6個正方形，已知中間的最小的正方形面積為1平方厘米，求這個正方形的面積二、等積變形及比例、調(diào)配內(nèi)容：（1）等積問題：變形前的體積＝變形后的體積。例題1：要鍛造一個半徑為5cm，高為8cm的圓柱形毛坯，應(yīng)截取截面半徑為4cm的圓鋼多長？例題2：直徑為30cm,高為50cm的圓柱形瓶里放滿了飲料，現(xiàn)把飲料倒入底面直徑為10cm的圓柱形小杯，剛好倒?jié)M30杯，求小杯的高（2）周長為一定時，當(dāng)長和寬相等時面積最大。例題：用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形，（1）使得長方形的長比寬多1.4米，此時長方形的長、寬各為多少米？（2）使得長方形的長比寬多0.8米，此時長方形的長、寬各為多少米？它所圍成的長方形與（1）中所圍長方形相比，面積有什么變化？

例1：甲倉庫有存糧120噸，乙倉庫有存糧食80噸，現(xiàn)從甲庫調(diào)部分到乙?guī)欤粢笳{(diào)運(yùn)后甲庫的存糧是乙?guī)斓?問應(yīng)從甲庫調(diào)多少噸糧食到乙?guī)欤坷?：某公司原有職員60名，其中女職員占20%，今年又有幾位男職員辭職，公司又補(bǔ)招了3名女職員，女職員的比例提高到25%，問公司離開公司的男職員一共有幾人？甲、乙兩個倉庫要向A、B兩地運(yùn)送水泥，已知甲倉庫可調(diào)100噸水泥乙倉庫可調(diào)水泥80噸，A地需70噸水泥，B地需110噸水泥，兩倉庫到A，B兩地的路程和運(yùn)費(fèi)如下表路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/千米.噸）甲倉庫乙倉庫甲倉庫乙倉庫A地B地202525201210128（1）設(shè)甲倉庫運(yùn)往A地水泥x噸，試用x的一次式表示總運(yùn)費(fèi)W?

(2)你能確定當(dāng)甲、乙兩倉庫各運(yùn)往A，B多少噸水泥時，總運(yùn)費(fèi)461000元？最省的總運(yùn)費(fèi)是多少？2、比例分配應(yīng)用題例1、我國四大發(fā)明之一的黑火藥是用硝酸鈉、硫磺、木炭三種，原料按15：2：3的比例配制而成，現(xiàn)要配制這種火藥150公斤，則這三種原料各需要多少公斤？解：設(shè)需要硝酸鈉15x公斤，硫磺2x公斤，木炭3x公斤依題意得：15x+2x+3x=150x=7.515x=15×7.5=112.52x=2×7.5=153x=3×7.5=22.5答：硝酸鈉應(yīng)取112.5公斤，硫磺取15公斤，木炭應(yīng)取22.5公斤。設(shè)元是間接設(shè)元，一般設(shè)其中的一份為x，必要時要求連比相等關(guān)系一般是總量等于部分量的和或找題中的話，也可以是整個題中始終不變的量

按比例分配的應(yīng)用題的設(shè)元和找相等關(guān)系各有什么特點(diǎn)？三、行程問題一、明確行程問題中三個量的關(guān)系三個基本量關(guān)系是：速度×?xí)r間=路程分析方法輔助手段：線型圖示法分析方法輔助手段：線型圖示法相遇問題：甲的路程+乙的路程＝全程追及問題：（1）同地不同時：慢者行程＋先行路程＝快者路程（2）同時不同地：快者路程—慢者行程＝間隔距離1、甲、乙兩地相距162公里，一列慢車從甲站開出，每小時走48公里，一列快車從乙站開出，每小時走60公里試問：1）兩列火車同時相向而行，多少時間可以相遇？

2）兩車同時反向而行，幾小時后兩車相距270公里？3）若兩車相向而行，慢車先開出1小時，再用多少時間兩車才能相遇？4）若兩車相向而行，快車先開25分鐘，快車開了幾小時與慢車相遇?5）兩車同時同向而行（快車在后面），幾小時后快車可以追上慢車？6）兩車同時同向而行（慢車在后面），幾小時后兩車相距200公里？

2：從甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十時，一艘輪船從甲地駛往乙地，下午1時一輛汽車從甲地駛往乙地，結(jié)果同時到達(dá)終點(diǎn)。已知輪船的速度是每小時24千米，汽車的速度是每小時40千米，求甲、乙兩地水路、公路的長，以及汽車和輪船行駛的時間？解：設(shè)水路長為x千米，則公路長為（x+40）千米等量關(guān)系：船行時間－車行時間=3小時答：水路長240千米，公路長為280千米，車行時間為7小時，船行時間為10小時依題意得：

x+40=280,x=2403某連隊從駐地出發(fā)前往某地執(zhí)行任務(wù)，行軍速度是

6千米/小時，18分鐘后，駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王必須在一刻鐘內(nèi)把命令傳達(dá)到該連隊，小王騎自行車以14千米/小時的速度沿同一路線追趕連隊，問是否能在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)？等量關(guān)系：小王所行路程=連隊所行路程答：小王能在指定時間內(nèi)完成任務(wù)。解：設(shè)小王追上連隊需要x小時，則小王行駛的路程為

14x千米，連隊所行路程是千米依題意得：一列客車和一列貨車在平行的軌道上同向行駛，客車的長是200米，貨車的長是280米，客車速度與貨車的速度比是5：3，客車趕上貨車的交叉時間是1分鐘，求各車的速度；若兩車相向行駛，它們的交叉時間是多少分鐘？解：設(shè)客車的速度是5x米/分，則貨車的速度是3x米/分。

依題意得：5x–3x=280+200x=2405x=1200，3x=720設(shè)兩車相向行駛的交叉時間為y分鐘。依題意得：1200y+720y=280+200y=0.255：一架飛機(jī)飛行兩城之間，順風(fēng)時需要5小時30分鐘，逆風(fēng)時需要6小時，已知風(fēng)速為每小時24公里，求兩城之間的距離？

等量關(guān)系：順風(fēng)時飛機(jī)行駛的路程=逆風(fēng)時飛機(jī)行駛的路程。答：兩城之間的距離為3168公里注：飛行問題也是行程問題。同水流問題一樣，飛行問題的等量關(guān)系有：順風(fēng)飛行速度=飛機(jī)本身速度+風(fēng)速逆風(fēng)飛行速度=飛機(jī)本身速度－風(fēng)速5.5(x+24)=6(x-24)解得：x=552解：靜風(fēng)的速度為x公里/小時，由題意得：

∴6（x-24)=3168練習(xí)1、甲、乙兩人環(huán)繞周長是400米的跑道散步，如果兩人從同一地點(diǎn)背道而行，那么經(jīng)過2分鐘他們兩人就要相遇。如果2人從同一地點(diǎn)同向而行，那么經(jīng)過20分鐘兩人相遇。如果甲的速度比乙的速度快，求兩人散步的速度？等量關(guān)系：甲行的路程－乙行的路程=環(huán)形周長注：同時同向出發(fā)：快車走的路程－環(huán)行跑道周長=慢車走的路程(第一次相遇)

同時反向出發(fā)：甲走的路程+乙走的路程=環(huán)行周長（第一次相遇）

練習(xí)2、甲乙兩人從同一村莊步行去縣城，甲比乙早1小時出發(fā)，而晚1小時到達(dá)，甲每小時走4千米，乙每小時走6千米，求村莊到縣城的距離？練習(xí)2、甲乙兩人從同一村莊步行去縣城，甲比乙早1小時出發(fā)，而晚1小時到達(dá)，甲每小時走4千米，乙每小時走6千米，求村莊到縣城的距離？3、兩地相距28公里，小明以15公里/小時的速度。小亮以30公里/小時的速度，分別騎自行車和開汽車從同一地前往另一地，小明先出發(fā)1小時，小亮幾小時后才能追上小明？解：設(shè)小亮開車x小時后才能追上小明，則小亮所行路程為30x公里，等量關(guān)系：小亮所走路程=小明所走路程依題意得：30x=15（x+1）x=1檢驗(yàn)：兩地相距28公里，在兩地之間，小亮追不上小明四、工程問題中的數(shù)量關(guān)系：1）工作效率=工作總量完成工作總量的時間———————————2）工作總量=工作效率×工作時間3）工作時間=工作總量—————工作效率4）各隊合作工作效率=各隊工作效率之和5）全部工作量之和=各隊工作量之和例1修筑一條公路，甲工程隊單獨(dú)承包要80天完成，乙工程隊單獨(dú)承包要120天完成1）現(xiàn)在由兩個工程隊合作承包，幾天可以完成？

2）如果甲、乙兩工程隊合作了30天后，因甲工作隊另有任務(wù)剩下工作由乙工作隊完成，則修好這條公路共需要幾天？解：1）設(shè)兩工程隊合作需要x天完成。2）設(shè)修好這條公路共需要y天完成。等量關(guān)系：甲30天工作量+乙隊y天的工作量=1答：兩工程隊合作需要48天完成，修好這條公路還需75天。等量關(guān)系：甲工作量+乙工作量=1依題意得

依題意得y=75x=48例2已知開管注水缸，10分鐘可滿，撥開底塞，滿缸水20分鐘流完，現(xiàn)若管、塞同開，若干時間后，將底塞塞住，又過了2倍的時間才注滿水缸，求管塞同開的時間是幾分鐘？分析：注入或放出率注入或放出時間注入或放出量注入放出設(shè)兩管同開x分鐘

等量關(guān)系：注入量－放出量=缸的容量

依題意得：

x=4

答：管塞同開的時間為4分鐘x+2x=3x（分鐘）x（分鐘）解：設(shè)再經(jīng)過x小時水槽里的水恰好等于水槽的等量關(guān)系：甲管流進(jìn)水的水+乙管流出的水=水槽的依題意得：

答：再經(jīng)過小時水槽里的水恰好是水槽容量的例6一個水池裝甲、乙、丙三根水管，單開甲管10小時可注滿水池，單開乙管15小時可注滿，單開丙管20小時可注滿。現(xiàn)在三管齊開，中途甲管關(guān)閉，結(jié)果6小時把水池注滿，問甲管實(shí)際開了幾個小時？解：設(shè)甲管實(shí)際開了x小時等量關(guān)系：甲管x小時的工作量+乙、丙兩管同開

6小時的工作量）=1

答：甲管實(shí)際開了3小時。依題意得：

x=3等量關(guān)系：4天的工作量+改進(jìn)后（x–4)工作量=0.5解：設(shè)一共x天可以修完它的一半。

依題意得×4+（x—4）=0.5

答：一共天可以修完它的一半。例7分析：x=五、數(shù)字應(yīng)用題1、弄清數(shù)字問題中的特殊關(guān)系1234=1×103+2×102+3×10+4

2）自然數(shù)abcdefg=a×106+b×105+c×104+d×103+e×102+f×10+g3)abcdefg中的字母取值范圍1≤a≤90≤b、c、d、e、f、g≤92、例題舉例

1)一個三位數(shù)，它的百位上的數(shù)比十位上的數(shù)的2倍大1，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)的3倍小1，如果把這個三位數(shù)的百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字對調(diào)，那么得到的三位數(shù)比原來的三位數(shù)大99，求原來的三位數(shù)。解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則百位上的數(shù)字為2x+1

個位上的數(shù)字為3x－1等量關(guān)系：新三位數(shù)－原三位數(shù)=99依題意，得：[100(3x－1)+10x+(2x+1)]－

[100(2x+1)+10x+(3x－1)]=99x=32x+1=73x－1=8答：原來這個三位數(shù)為7382)有一個七位數(shù)若把首位5移到末位，則原數(shù)比新數(shù)的3倍還大8，求原數(shù)。分析：原數(shù)=3×新數(shù)+8————5abcdef=3×abcdef5+8————關(guān)鍵是把a(bǔ)bcdef求出來，不妨設(shè)abcdef=x七位數(shù)5abcdef如何表示？——————————5abcdef=5×106+abcdef=5×106+x———————新數(shù)abcdef5如何表示？abcdef5=abcdef×10+5=10x+5———————————解：設(shè)這個七位數(shù)的后六位為x。依題意，得：5×106+x=3(10x+5)+8x=172413∴原數(shù)為5×106+172413=51724133、練習(xí)

1)一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的數(shù)字之和是15，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)多5，求這個三位數(shù)。解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為x+5。等量關(guān)系：個位數(shù)字+十位數(shù)字+百位數(shù)字=15依題意，得：3x+x+x+5=15x=23x=6x+5=7答：這個三位數(shù)是726已知四位數(shù)ab52的三倍比四位數(shù)52ab大39，求四位數(shù)ab52？——————解：設(shè)ab=x，則ab52=100x+52

———等量關(guān)系：原數(shù)的3倍=新數(shù)+39依題意，得：3(100x+52)=(5200+x)+39

答：四位數(shù)ab52為1752。————52ab=5200+x

x=17六、濃度問題應(yīng)用題1、有關(guān)濃度問題的數(shù)量關(guān)系：溶液=溶質(zhì)+溶劑稀釋：加水，溶質(zhì)不變，溶液增加

加濃：加溶質(zhì)，水不變，溶液增加蒸發(fā)水，溶質(zhì)不變，溶液減少2、例題舉例

1)(稀釋)：現(xiàn)有含鹽16%的鹽水30斤，要配制成含鹽

10%的鹽水，需加水多少斤？分析：加水前加水后前后情況溶液重量

30濃度

16%溶質(zhì)重量30×16%30+x10%(30+x)10%不變等量關(guān)系：加水前溶質(zhì)的重量=加水后溶質(zhì)的重量

解：設(shè)需加水x斤依題意，得：30×16%=(30+x)×10%答：需加水18斤。x=18變變2)(濃縮)現(xiàn)有含鹽16%的鹽水30斤,要配制成含鹽20%的鹽水,需蒸發(fā)掉水多少斤?分析：蒸發(fā)前蒸發(fā)后前后情況溶液重量

濃度

溶質(zhì)重量不變解：設(shè)需要蒸發(fā)掉x斤水

等量關(guān)系：蒸發(fā)前溶質(zhì)的重量=蒸發(fā)后溶質(zhì)的重量依題意，得：30×16%=20%(30－x)

3016%30×16%30－x20%20%(30－x)變變x=6

答：需要蒸發(fā)掉水6斤3)(加濃)現(xiàn)有含鹽16%的鹽水30斤，要配制成含鹽20%

的鹽水，需加鹽多少斤？

等量關(guān)系：混合前溶質(zhì)重量的和=混合后溶質(zhì)的重量

依題意，得：30×16%+x=(30+x)×20%x=1.5解：設(shè)需要加鹽x斤3016%30×16%30+x20%20%(30+x)

等量關(guān)系：混合前水重量=混合后水的重量

依題意，得：30×（1–16%）=(30+x)×（1–20%）

溶液重量濃度溶質(zhì)重量混合前鹽水混合前鹽混合后x100%x

甲種酒精含純酒精70%，乙種酒精含純酒精55%?，F(xiàn)在要用這兩種酒精配制成含純酒精60%的混合酒3000克，那么甲種酒精、乙種酒精各要取多少克？酒精的重量含酒精百分率酒精重量甲種酒精

乙種酒精

混合酒精

解：設(shè)甲種酒取x克,則乙種酒取(3000－x)克等量關(guān)系：兩種酒酒精重量的和=混合酒酒精的重量

依題意得：70%x+55%(3000－x)=3000×60%x=1000答：甲種酒精要取1000克，乙種酒精要取2000克。3000－x=2000x3000－x

300070%55%60%70%x55%(3000－x)3000×60%練習(xí)：

有銀和銅合金200克，其中含銀2份，含銅3份。現(xiàn)在要改變合金成分，使它含銀3份，含銅7份，應(yīng)加入銅多少克？分析：合金重量銀所占比例含銀量(克)加銅前

加銅后

200+x解：設(shè)應(yīng)加入銅x克等量關(guān)系：加銅前合金的含銀量=加銅后合金的含銀量

200依題意，得：七、百分率應(yīng)用題1、打折銷售主要內(nèi)容：利潤＝售價－進(jìn)價

售價＝標(biāo)價×折數(shù)/10

利潤率＝利潤/進(jìn)價×100％例題：一商店把貨品按標(biāo)價的九折出售，仍可獲利12.5％，若貨品近價為380元，則標(biāo)價為多少元？例題：一商店經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨價格降低了6.4％，使得利潤率提高了8個百分點(diǎn)，求原來經(jīng)銷這種商品的利潤率.例題：編一道“打折銷售”的應(yīng)用題，并能列方程（1+40%）?80%x-x=270來解答。

小穎的服裝店同時賣出兩套服裝，每套均為168元，按成本計算，其中一套盈利20%，另一套虧本20%，請你幫小穎算算，在這次買賣中是虧了還是賺了，還是不虧不賺？例2小明的爸爸前年存了年利率為2.43%的兩年期定期儲蓄。今年到期后，扣除利息稅20%，所得利息正好為小明買了一個價值48.6元的計算器，問小明爸爸前年存了多少錢？解：設(shè)小明爸爸前年存了x元。依題意得：2×2.43%x（1－20%）=48.6x=12502）存款利息應(yīng)用題答：小明爸爸前年存了1250元錢等量關(guān)系：利息－利息稅=應(yīng)得利息利息=本金×年利率×期數(shù)利息稅=本金×年利率×期數(shù)×稅率（20%）3）增長率應(yīng)用題某工廠食堂第三季度一共節(jié)煤7400斤，其中八月份比七月份多節(jié)約20%，九月份比八月份多節(jié)約25%，問該廠食堂九月份節(jié)約煤多少公斤？依題意得：x+(1+20%)x+(1+20%)(1+25%)x=7400

答:該食堂九月份節(jié)約煤3000公斤.（間接設(shè)元）解：設(shè)七月份節(jié)約煤x公斤。

則八月份節(jié)約煤(1+20%)x公斤，九月份節(jié)約煤(1+20%)(1+25%)x公斤x=2000(1+20%)(1+25%)x=3000練習(xí)1學(xué)校準(zhǔn)備添置一批課桌椅，原訂購60套，每套100元。店方表示：如果多購可以優(yōu)惠，結(jié)果校方購了72套，每套減價3元，但商店獲得同樣多的利潤，求每套課桌椅的成本是多少？（直接設(shè)元）解：設(shè)每套課桌椅的成本價為x元。依題意得：60（100－x）=72（100–3–x）

x=82答：每套課桌椅的成本是82元。等量關(guān)系：60套時總利潤=72套時總利潤練習(xí)2、某商店經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨價降低了5%，售出價不變，使得利潤率有原來的m%提高到（m+6）%，求m的值。分析:等量關(guān)系是售出價不變，兩種不同利潤率下的售價各如何表示？成本我們可以設(shè)為“1”解:（1+m%）=（1–5%）[1+（m+6）%]解得：m=14練習(xí)3：小穎的父母存三年期教育儲蓄，三年后取出了5000元錢，你能求出本金是多少嗎？2.88六年2.70三年2.25一年教育儲蓄利率有理數(shù)應(yīng)用題舉例例1：每袋小麥的標(biāo)準(zhǔn)重量為90千克，10袋小麥稱重記錄如下：919191.58991.291.388.788.891.891.110袋小麥總計超過多少千克或不足多少千克？10袋小麥總重是多少千克？解：以90千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的重量記為正數(shù)，不足的重量記為負(fù)數(shù)。則10袋小麥對應(yīng)的數(shù)分別為：＋1，＋1，＋1.5，-1，＋1.2，＋1.3，-1.3，-1.2，＋1.8，＋1.1。

1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（-1.3）+（-1.2）+1.8+1.1＝[1+（-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)=5.4(千克)90×10+5.4=905.4(千克）所以10袋小麥總計超過標(biāo)準(zhǔn)重量5.4千克，總重量為905.4千克。

練習(xí)：女子排球隊共有10名隊員，身高分別為173cm，174cm，170cm，176cm，180cm，175cm，177cm，179cm，174cm，172cm。你能用比較簡單的方法計算這個隊隊員的平均身高嗎中？（175cm)例2：麻橋中學(xué)定于11月舉行運(yùn)動會，組委會在修整跑道時，工作人員從甲處開工，規(guī)定向南為正，向北為負(fù)，從開工處甲處到收工處乙處所走的路程為：＋10，—3，＋4，—2，＋13，—8，—7，—5，—2