概率論主講人：周曉東Email：xdzhou8866@163.com辦公室：B413§2.1

隨機變量第二章隨機變量及其分布隨機變量一、隨機變量概念的產(chǎn)生在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；每天從上海下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵;七月份上海的最高溫度；牛市下股票的價格。2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.隨機變量例如，在拋擲一枚硬幣觀察其出現(xiàn)正面或反面的試驗中，若規(guī)定“出現(xiàn)正面”對應數(shù)1，“出現(xiàn)反面”對應數(shù)-1，則該試驗的每一種可能結(jié)果，都有唯一確定的實數(shù)與之相對應。二、隨機變量的定義定義１設E是隨機試驗，它的樣本空間是，如果對于每一個，都有一個實數(shù)與之對應，這樣的得到的一個定義在上的單值實函數(shù)稱為隨機變量,簡記為r.v.

。隨機變量這種對應關(guān)系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù).e.X(e)R這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？隨機變量（1）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.注：隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示，而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.

如

P(X>1.7)=？P(X≤1.5)=?P(1.5<X<1.7)=?這時,要么x≥1.7米，要么x<1.7米，再去求P(x≥1.7米)就沒有什么意義了.一旦我們實際選定了一個學生并量了他的身高之后，我們就得到X的一個具體的值，記作x.隨機變量三、引入隨機變量的意義有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件{收到不少于1次呼叫}{X≥1}

{沒有收到呼叫}{X=0}隨機變量四、隨機變量的分類

通常分為兩類：如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.§2.2

離散型隨機變量及其概率分布第二章隨機變量及其分布離散性隨機變量引例

引例

且

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為離散性隨機變量一、離散型隨機變量概率分布的定義定義1：設xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.k=1,2,……

其中(k=1,2,…)滿足：k=1,2,…（1）（2）

用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù)離散性隨機變量舉例求離散型隨機變量的分布律例1

設隨機變量X的概率函數(shù)試確定常數(shù)a.例2

某人對隨機變量X的分布表述如下：求X的分布列。k=0,1,2,…,離散性隨機變量例3

（P53例4）在15件同類型的零件中有2件次品，其余都是正品，在其中取3次，每次任取1件，作不放回抽樣，以X表示取出次品的件數(shù)。試寫出X的分布列。例4（P53例5）盒內(nèi)裝有10只螺口、5只卡口燈泡，現(xiàn)需用1只螺口燈泡，從盒中每次任取1只，直到取得螺口燈泡，如果取到卡口燈泡就不再放回去，求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)X的分布。離散性隨機變量例5

（P54例6）自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為0.01，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進行調(diào)整，設隨機變量X表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試寫出X的分布列，并求出X不小于5的概率。

例6

一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的概率分布.常用離散分布二、常用離散分布1.退化分布定義1若一個歲變量X以概率1取某一常數(shù)，即則稱X服從a處的退化分布.注：在所以分布中，最簡單的分布是退化分布，其之所以稱為退化分布，是因為其取值幾乎是確定的，即這樣的隨機變量退化為一個確定的常數(shù)。常用離散分布2兩點分布（0-1分布）定義2

若一個隨機變量X只有兩個可能的取值，且其分布為則稱X服從x1,x2處參數(shù)為p的兩點分布。特別地，若X服從x1=1,x2=0處參數(shù)為p的兩點分布，即則稱X服從參數(shù)為p的0-1分布。常用離散分布3二項分布定義3

若隨機變量X的所有可能取值0,1,…,n，且它的概率分布為

其中,則稱隨機變量X從二項分布，記作

[注]二項分布滿足:(1)(2)常用離散分布例

1)從次品率為p的一批產(chǎn)品中有放回地任取n件產(chǎn)品，記X為n件產(chǎn)品中次品的個數(shù)則

2)擲一顆色子10次，X表示“1”點出現(xiàn)的次數(shù)，則

3)1000人向保險公司購買人身意外保險,在一年的險限內(nèi)投保人發(fā)生意外的概率為0.05,則1000人中出現(xiàn)意外的人數(shù)例1

已知五重貝努利試驗中成功的次數(shù)取不同值的概率不是常數(shù),且

,求概率P{X=4}.常用離散分布例2

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.

例3

已知某公司生產(chǎn)的螺絲釘?shù)拇纹仿蕿?.01，并設各個螺絲釘是否為次品是相互獨立的，這家公司將每10個螺絲釘包成一包出售，并保證若發(fā)現(xiàn)某包內(nèi)多于一個，則可退款，問賣出的某包螺絲釘將被退回的概率是多大？常用離散分布例4

從學校到火車站的途中有3個交通崗,且每次遇紅燈的概率為1/4,假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是1/4,設X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機變量X的分布率及至多遇到一次紅燈的概率。例5

設某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保，每個人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005,且每個人是否死亡是相互獨立的，試求在未來一年中這1000個投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率。常用離散分布例6

設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護,每人負責20臺;其二是由3人共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.常用離散分布對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~B(n,p)當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達到最大值；([x]表示不超過x的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPk常用離散分布對于固定n及p，當k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的圖形特點：X~B(n,p)當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達到最大值.n=13,p=0.5Pkn0常用離散分布4.幾何分布在獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的概率為p。設X為直到A發(fā)生為止所進行的次數(shù)，顯然X的可能取值是全體自然數(shù)，且由貝努利定理知其分布為定義4

若一隨機變量X的概率分布由上式給出，則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布。幾何分布具有下列無記憶性：常用離散分布例7(講義例6)某射手連續(xù)向一目標射擊,直到命中為止,已知他每發(fā)命中的概率是

,求所需射擊發(fā)數(shù)的概率分布.常用離散分布5超幾何分布引例一個袋子中裝有N個球，其中有N1個白球，N2個黑球（N=N1+N2）。從中不放回地抽取n（1≤n≤N）個球，設X表示取到白球的數(shù)目，則根據(jù)古典概型算得X的分布這里規(guī)定：當a<b時，定義5

若一隨機變量X的概率分布有上式給出，則稱X服從超幾何分布。常用離散分布6泊松分布定義6

設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：注:(1)(2)其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().常用離散分布(3)泊松分布的圖形特點：X~P()(4)歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學家泊松引入的.

近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一.常用離散分布在實際中，許多隨機現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布.都可以看作泊松流.某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù)；到某機場降落的飛機數(shù);一個售貨員接待的顧客數(shù);一臺紡紗機的斷頭數(shù);

…一放射性源放射出的粒子數(shù)；例如常用離散分布二項分布的泊松近似對于二項分布b(n,p),當試驗次數(shù)n很大時，計算其概率很麻煩。例如，要計算故須尋求某種近似計算方法，這里先介紹二項分布的泊松近似，在后面還會介紹二項分布的正態(tài)近似。定理（泊松定理）在n重貝努利試驗中，事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為pn(這與試驗的次數(shù)有關(guān))，如果時常用離散分布則對任意給定的k,有注：(1)定理的條件意味著當n很大時，pn必定很小，因此，泊松定理表明，當n很大時，p接近0或1時有下列近似公式：實際計算時，n≥100，np≤10時近似效果比較好。常用離散分布例1

一家商店銷售某一型號的彩色電視機，由該商店過去的銷售紀錄知道，該型號彩色電視機每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)10的普阿松來描述。為了以95%以上的把握保證不脫銷，問該商店在月底至少應進該型號彩色電視機多少臺？(2)把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱為稀有事件，此類事件如：地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等，則由泊松定理知，n重貝努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似服從泊松分布。常用離散分布例2

我國一航天部門組織生產(chǎn)某一型號的運載火箭，其中需要某同一型號的元件100個，該元件的次品率為0.01，問應該一次性購進該元件多少個才能以95%以上的把握不用重新去采購？例3

設有同類型儀器300臺，各儀器的工作相互獨立，且發(fā)生故障的概率為0.01，通常一臺儀器的故障可由一個人排除。(1)問至少配備多少維修工人，才能保證當儀器發(fā)生故障但不能及時排除的概率不超過0.01？（2）若一人包干20臺儀器，求儀器發(fā)生故障而不能及時排除的概率；（3）若有三個人共同維修80臺儀器，則情況又如何。常用離散分布例4

自1875年至1955年中的某63年間,上海市夏季(5—9月)共發(fā)生大暴雨180次,試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.§2.3

隨機變量的分布函數(shù)第二章隨機變量及其分布分布函數(shù)一、隨機變量的分布函數(shù)定義設X是一個r.v，稱為X的分布函數(shù)。記作X～F(x)或FX(x).注:(1)如果將X看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.

———|——>x分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的性質(zhì):(1)(2)對任意兩點當時,有 即任一分不函數(shù)都是單調(diào)不減的;(3)(4)右連續(xù)性:

分布函數(shù)例1

隨機變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)A、B.例2

如下四個函數(shù)哪個是隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)例3

設與分別為隨機變量的分布函數(shù),為使是某一隨機變量的分布函數(shù),在下列給定的各組數(shù)值中應取()A.a=3/5,b=-2/5;B.a=2/3,b=2/3;C.a=-1/2,b=3/2D.a=1/2,b=-3/2分布函數(shù)二、離散型隨機變量的分布函數(shù)例1:設隨機變量X的分布列為(1)X的分布函數(shù);(2)設離散型r.vX

的概率函數(shù)是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…則F(x)=P(X≤x)=由于F(x)是X取的諸值xk

的概率之和，故又稱F(x)為累積概率函數(shù).X-123P1/41/21/4分布函數(shù)例2

具有離散均勻分布,即求X的分布函數(shù).例3

設隨機變量的分布函數(shù)為求的概率分布.§2.4

連續(xù)型隨機變量及其概率密度第二章隨機變量及其分布連續(xù)r.v<引例>設隨機變量X的分布函數(shù),

則

定義對于隨機變量X,如果存在非負可積函數(shù)f(x),x,使得對任意,有則稱X為連續(xù)型r.v,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度.連續(xù)r.v

密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1

性質(zhì)2

注：性質(zhì)1、2具有明顯的幾何意義，反之，可證一個函數(shù)若滿足上述性質(zhì)，則該函數(shù)一定可以作為某連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)。

f(x)xo面積為1連續(xù)r.v.性質(zhì)3性質(zhì)4

對任意常數(shù)a,連續(xù)r.v.性質(zhì)5

F(x)是連續(xù)函數(shù)，且在f(x)的連續(xù)點處有

若x是f(x)的連續(xù)點，則：=f(x)

故

X的密度f(x)在x這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，p(x)相當于線密度.連續(xù)r.v.

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)xo若不計高階無窮小，有：

它表示隨機變量X取值于的概率近似等于.連續(xù)r.v.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.

由于連續(xù)型r.v唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述.

f(x)xo連續(xù)r.v.例：設在區(qū)間上，隨機變量的概率密度函數(shù)為，而在外，，則區(qū)間等于（）。

(A).;(B).;(C).;(D).例1：設隨機變量X的密度函數(shù)為，其中試求:(1)常數(shù)A;(2)隨機變量X落在區(qū)間(0,1/k)的概率。連續(xù)r.v.例2：設隨機變量X的分布函數(shù)為

試求:(1)隨機變量X落在區(qū)間(-a/2,a/2]內(nèi)的概率；(2)隨機變量X的概率密度函數(shù).例3：設隨機變量X的密度函數(shù)為

試求:(1)常數(shù)A;(2)P(0<X<1);(3)分布函數(shù)F(x).連續(xù)r.v.例4：設隨機變量X的分布函數(shù)為試求:(1)常數(shù)a.b;(2)求出X的概率密度函數(shù)；(3)求的概率。常用連續(xù)r.v.的分布常用連續(xù)型隨機變量的分布1.均勻分布

定義1

設隨機變量的密度函數(shù)為其中a<b,則稱X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作X~U[a,b]其中a,b為參數(shù)。

注：在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布的隨機變量X，其取值落在(a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率相同，且與子區(qū)間的長度成正比。事實上，任取子區(qū)間有 此外,X的分布函數(shù)例1

設X~U[1,5],a<1<b<5,則P(a<X<b)的值。例2

已知隨機變量X在(-3,3)上服從均勻分布，現(xiàn)有方程

(1)求方程有實根的概率;[1/2](2)求方程有重根的概率;[0](3)求方程沒有實根的概率.[1/2]常用連續(xù)r.v.的分布例3

設隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布，現(xiàn)有常數(shù)a(0<a<1),如果任取4個值，至少有一個大于a的概率為0.9,問a是多少？[0.5623]2.指數(shù)分布引例設r.v.的分布函數(shù)，求(1)A,B;(2)p(x),(3)P(0<<1).常用連續(xù)r.v的分布定義2

如果X的密度函數(shù)為其中為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為,

其分布函數(shù)為注：服從指數(shù)分布的隨機變量X具有無記憶性。常用連續(xù)r.v的分布例1

某一設備有4個同類型的三級管，它們的壽命X的密度函數(shù)為求:(1)參數(shù)的值；(2)一個三極管壽命超過1250小時的概率；(3)該設備在使用了1250小時后，需要更換三極管的概率。常用連續(xù)r.v.的分布3.正態(tài)分布【引例】：某工廠生產(chǎn)的某種類型的螺母的直徑；考察某地成年男子的身高；某班級概率論期末考試的成績；……定義3

設隨機變量X的密度函數(shù)為常用連續(xù)r.v.的分布常用連續(xù)r.v.的分布其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.

注：1.正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布.德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面.正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.記作

德莫佛高斯常用連續(xù)r.v.的分布

2.正態(tài)分布是一種重要的分布，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；某地區(qū)成年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的性質(zhì)1.正態(tài)分布的分布函數(shù)為：常用連續(xù)r.v.的分布2.當時，正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記做A.相應的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為用 表示B.的圖像常用連續(xù)r.v.的分布3.正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)的圖形呈鐘形，以x軸為漸近線；在出取得最大值，且呈單峰分布；以為對稱軸，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減常用連續(xù)r.v.的分布4參數(shù)為密度函數(shù)的中心位置，稱為位置參數(shù)；的大小直接影響概率的分布：越大，曲線越平坦，越

小，曲線越陡峻，正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布常用連續(xù)r.v.的分布一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布之間的關(guān)系性質(zhì)1：如果，且它們的密度函數(shù)分別為，分布函數(shù)分別為，則

(1)(2)性質(zhì)2：如果,且假設，則性質(zhì)3：如果，則

常用連續(xù)r.v.的分布性質(zhì)4：例1設,

求例2

設某項競賽成績

（65,100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎，問獲獎分數(shù)線應定為多少？例3

將一溫度調(diào)節(jié)器放置在內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在℃，液體的溫度（以℃計）是一個隨機變量，且

(1)若℃，求小于89℃的概率；

(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問至少為多少？常用連續(xù)r.v.的分布例4

某企業(yè)準備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人,臨時工20人;報考的人數(shù)是1657人,考試滿分是400分.考試后得知,考試總平均成績,即分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,問他能否被錄取?能否被聘為正式工?例5

在電源電壓不超過200伏，在200~240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2.假設電源電壓服從正態(tài)分布(220，25)，試求：(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200~240伏的概率.常用連續(xù)r.v.的分布例6某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布,已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?常用連續(xù)r.v.的分布3準則由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974常用連續(xù)r.v.的分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計學上稱作“3準則”（三倍標準差原則）.§2.5隨機變量函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布隨機變量函數(shù)的分布一、隨機變量函數(shù)的分布問題的提出在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.例如，已知圓軸截面直徑d的分布，求截面面積A=的分布.隨機變量函數(shù)的分布又例如已知t=t0

時刻噪聲電壓V的分布，求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.隨機變量函數(shù)的分布定義1

如果存在一個函數(shù)g(X)，使得隨機變量X，Y滿足

Y=g(X)(設g是連續(xù)函數(shù)）則稱隨機變量Y是隨機變量X的函數(shù)。注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時，主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性關(guān)系，例如:導數(shù)、積分等，而在概率論中，我們主要研究是隨機變量函數(shù)的隨機性特征，即由自變量X的統(tǒng)計規(guī)律性出發(fā)研究因變量Y的統(tǒng)計性規(guī)律。一般地，對任意區(qū)間I，令隨機變量函數(shù)的分布因此，隨機變量Y與X的函數(shù)關(guān)系確定，為我們從X的分布出發(fā)導出Y的分布提供了可能。例如，設X是一隨機變量，且Y=X2，則對任意x≥0,有隨機變量函數(shù)的分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布設離散型隨機變量X的概率分布為

易見,X的函數(shù)顯然還是離散型隨機變量如何由X的概率分布出發(fā)導出Y的概率分布?其一般方法是：先根據(jù)自變量X的可能取值確定Y因變量的所有可能取值,然后對Y的每一個可能取值確定相應的 于是隨機變量函數(shù)的分布例1

已知隨機變量X的分布列為求:(1)Y=2X+1的分布列，

(2)Y=X^2的分布列【說明】當?shù)闹涤邢嗟鹊那闆r時，則應根據(jù)概率加法定理把相等值所對應的概率相加，從而得到Y(jié)的概率分布。X－1012P0.4隨機變量函數(shù)的分布例2

設令求隨機變量X的函數(shù)Y的分布列例3

某汽油站替出租汽車公司代營出租汽車業(yè)務。每出租一輛汽車，可從出租汽車公司處得到20元，因代營該業(yè)務，每天汽油站要多支付職工服務費500元，如果每天出租的汽車數(shù)X是一隨機變量，已知其概率分布為隨機變量函數(shù)的分布試求該汽油站因代營該業(yè)務得到的收入大于當天要多支付職工服務費用的概率。三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)1、一般方法(p64)

若X~f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù)

FY(y)＝P{Y<y}＝P{g(X)<y}

＝X10203040P0.050.150.450.25隨機變量函數(shù)的分布例1

設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為試求：隨機變量的密度函數(shù)。

然后再求Y的密度函數(shù)此法也叫“

分布函數(shù)法”例2設X~求Y=2X+8的概率密度.隨機變量函數(shù)的分布例3