第81講圓錐曲線常見題型解法【知識要點】圓錐曲線常見的題型有求圓錐曲線的方程、幾何性質、最值、范圍、直線與圓錐曲線的關系、圓錐曲線與圓錐曲線的關系、軌跡方程、定點定值問題等.【方法講評】題型一求圓錐曲線的方程解題方法一般利用待定系數法解答.【例1】已知橢圓1( (=>&>°)的左、右焦點為網'用，點上在橢圓上，且叫與x軸垂直.(1)求橢圓的方程;(2)過工作直線與橢圓交于另外一點B,求8面積的最大值.1解析】⑴育已知：￡=2"—=^2.',￡?= 75*=4,故褥提!E程為￡十號=口㈡)當月3斜率不存在時：$皿石，當y8斜率存在時：設其方程為：yYS與,由卜………―M+A=8由已知：也=161點—工時M 好+1)[(&-2#)：-4]=式2上+應y>0即：——|AB|=石淳_?? >綜上所求：當工3斜率不存在或斜率存在時：1M面積取最大值為20.【點評】（1）求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數法，先定位，后定量.（2）本題用到了橢圓雙曲線的通徑公式 以，這個公式很重要，大家要記熟.【反饋檢測1】已知橢圓股：1（ （=>s>°）的離心率為3，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6+40.（1）求橢圓服的方程;（2）設直線'與橢圓肱交于工、§兩點，且以乩5為直徑的圓過橢圓的右頂點仃，求△超C面積的最大值.題型二圓錐曲線的幾何性質解題方法利用圓錐曲線的幾何性質解答.【例2】已知橢圓厘b 的左頂點和上頂點分別為&3,左、右焦點分別是用'片，在線段工B上有且只有一個點F滿足尸與,F與，則橢圓的離心率的平方為()

A.TOC\o"1-5"\h\zy/3—1 -1A.\o"CurrentDocument"B. 2 C. 3 D. 21解析】由題設可知以月片為直徑的圓與直線AB相切，而直線的方程為二匚+二=1,即—ab5工一卬十口5=0,故圓心0(0.0)到直線白比一卬+次1=0的距離d=, ==——=c■，即o5=￡?*,\o"CurrentDocument"+曠 c也即—1)=不,所以/+/=1,解之得r二寸、］，故應選D.【點評】求值一般利用方程的思想解答，所以本題的關鍵就是找到關于的方程.【反饋檢測2】已知雙曲線【反饋檢測2】已知雙曲線)的左、右焦點分別為及厘以國片3+八1 廠為直徑的圓被直線1截 截得的弦長為"62，則雙曲線的離心率為()B.2A.3B.2題型三圓錐曲線的最值問題解題方法一般利用數形結合和函數的方法解答.~2+T2~=^(a>8>口) pp【例3】已知橢圓盤白 上任意一點到兩焦點巧'仃距離之和為近4瓶，離心率為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線［的斜率為之，直線？與橢圓C交于其8兩點.點尸(2J)為橢圓上一點，求心出2?的面積的最大值.

【解析】（1）由條件得:解得方程為<2）設『的方程為丁=由韋達定理得西+町一【解析】（1）由條件得:解得方程為<2）設『的方程為丁=由韋達定理得西+町一1當且僅當附“=2,即溶=±皿時取得最大值.令△=4"—*討4-16>0>解得則由弦長公式得M3=J1十—所以橢圓的面積的最大值為2.【點評】圓錐曲線的最值問題一般利用函數和數形結合解答【反饋檢測3】在平面直角坐標系0中，直線1與拋物線丁=4*相交于不同的兩點（I）如果直線？過拋物線的焦點，求刀.屈的值;

(II)在此拋物線上求一點尸，使得產到◎◎◎的距離最小，并求最小值.題型四圓錐曲線的范圍問題解題方法一般利用函數、基本不等式、數形結合等解答.【例4】已知橢圓。的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在工軸上，有一個頂點為…，(1)求橢圓°的方程；(2)過點坑一10作直線'與橢圓。交于夙尸兩點，線段下F的中點為股，求直線必的斜率上的取值范圍.［睥析】(1)因為橢圓得一個頂點為^4(-4=0),故長軸點=41又二16,從而存;口=4,c=2鏟=12,橢圓石的方程巳+看=1/(2)依題意，直線,過點3(-10)目斜率不為零.(1)當直線與軸垂直時，取點的坐標為為一L°),此時，上二°(2)當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為T二陽(工+由方程組(y=陽(丈+1)二+1=1L1612消去!并整理得0/+3)/+加、+4加-42=0,設成孫乃）,FOL,M（加九），又有融一4⑼，則,..。＜1處"鏟鵬飛,..。＜1處"鏟鵬飛且手綜合（1）、（2）可知直線必的斜率小的取值范圍是：3【點評】利用基本不等式求函數的最值時，要注意創(chuàng)設情景，保證一正二定三相等【反饋檢測4】設橢圓后中心在原點，焦點在工軸上，短軸長為4,點口（2,血）在橢圓上.（1）求橢圓下的方程；（2）設動直線￡交橢圓下于工石兩點，且。上―o-*，求^^^45的面積的取值范圍.（3）過般（位'乃）的直線'1：i+2y/=心也與過N（町兇）的直線生叼工+功爐二心口的交點F（稱為）在橢圓總上，直線九W與橢圓月的兩準線分別交于5*兩點，求OG-O8的值.題型五直線與圓錐曲線的關系問題解題方法一般利用判別式、韋達定理、弦長公式、點差法等解答.

【例5】已知雙曲線一【例5】已知雙曲線一2 ，經過點能否作一條直線‘，使'與雙曲線交于工、B,且點航是線段45的中點.若存在這樣的直線'，求出它的方程，若不存在，說明理由.【解析】設存在被點M平分的弦AB,且就為j'J、E（三二打）貝I」巧十巧=2V'l+Vn=-父-1=1,X7-g=1兩式相減，得（%+XjX^i-Xj）+>,2X>,1->,2）=0 kAS=h__k=21 工1—x2故直線WB：y—1=五工—1）\'-l=2（x-l）由J 工/i 消去>,得2——4工+3=0 A=（-4）1-4x2x3=-S<0這說明直線工5與雙曲線不相交，故被點取平分的弦不存在，即不存在這樣的直線.【點評】（1）這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線，然后驗證它是否滿足題設的條件.本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理.（2）本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心.由此題可看到中點弦問題中判斷點的取位置非常重要.（1）若中點河在圓錐曲線內，則被點M平分的弦一般存在；（2）若中點服在圓錐曲線外，則被點戰(zhàn)平分的弦可能不存在.【反饋檢測5】過點7（-1,0）作直線'與曲線兇：/二二交于工田兩點，在x軸上是否存在一點總（曲，0），使得口BE是等邊三角形，若存在，求出兩；若不存在，請說明理由.題型六圓錐曲線與圓錐曲線的關系問題解題方法一般利用判別式和數形結合解答.—+1【例6】已知曲線 2及5產一*十?有公共點,求實數2的取值范圍.【解析】聯立兩個方程可得：』=2（1—口如+『—4=0.A=4（l-a）1-4（￡72-4）>0,.\a<如下圖可知：橢圓中心［6日）,半軸長"=應,拋物線頂點為（W）,所以當圓錐曲線在下方相切或相交時，￡7之1 在.綜上所述，當1—點三口三：時，曲線G與G相交.【點評】直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用來處理.但用心3口來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的.解決這類問題：方法1，由“心3°”與直觀圖形相結合；方法2，由“心3°”與根與系數關系相結合.【反饋檢測6】設橢圓a： °），拋物線7:/+切二吐ab（i）若q經過a的兩個焦點，求g的離心率；⑵設』（Q⑵設』（Q切,，又取，“為5與弓不在7軸上的兩個交點，若h4M的垂心為'且AQk?的重心在三上，求橢圓G和拋物線J的垂心為'題型七圓錐曲線的定點和定值問題解題方法過定點的問題，一般先求曲線的方程，再證明曲線過定點；定值的問題，就是求值問題，直接求解就可以了.【例7】在直角坐標系立功中，點取到點片（一/，0）3式召曲的距離之和是4,點航的軌跡是c與工軸的負半軸交于點工，不過點工的直線「y二丘+s與軌跡C交于不同的兩點產和口.（I）求軌跡C的方程；（II）當*a時，求化與8的關系，并證明直線上過定點.【解析】⑴丁點M'到（-用mG反0）的距離之和是h--M的軌跡C是長軸為4,焦點在工軸上焦中為工忑的橢圓，方程為—+/=1（2）將＞"8，代入曲線c的方程，整理得（1+4/）/+區(qū)岳工+”°因為直線與曲線C交于不同的兩點F和0所以八64百-4(1+4此，華-4)=16(4/U+1)＞。.①_片每_ 4設尸（"）◎"）,，則仃戶一由②且"L網+政也+占）二東/對）+煙西+屯）+出③顯然，曲線。與X軸的負半軸交于點金（-2,0）,所以<F=6+2,乃）,AQ=（后+2Ml由正.亞=0,得（位+認町+2）+乃為=0.將②、③代入上式，整理得12爐—16揚+$*=0.所以（%-切?（品一%）二口，b=2碗=-k,即 5經檢驗，都符合條件①當5=2日寸，直線J的方程為>=衣+2匕顯然j此時直線『經過定點"2,0）點.即直線『經過點與題意不符.當日=:日寸，直線『的方程為v=H+:k=k（x+1）.顯然，此時直線］經過定點（一；0）點，且不過點A.綜上，上與5的關系是：1=注直線『經過定點（一■|以點』【點評】證明曲線過定點，一般先求曲線的方程，再證明它過定點.【反饋檢測7】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.（I）求橢圓C的標準方程；（II）若直線'：T=七+海與橢圓°相交于工，兩點（兒不不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線？過定點，并求出該定點的坐標.題型八軌跡問題10

解題方法一般利用直接法、待定系數法、代入法、消參法解答解題方法一般利用直接法、待定系數法、代入法、消參法解答【例8】已知拋物線,和點現鋁)，E為拋物線上一點，點尸在線段地上且即:E4=l:2,當點3在該拋物線上移動時，求點R的軌跡方程._一八"，I【解析】設點尸舊＞')7附,J，］，由的=如且，貝U ［二］，-2又瓦點在拋物線上，貝(寫j=”-1.整理得；\-；;=半里-為所求軌跡方程.【點評】點F之所以在動，就是因為點B在動，所以點F是被動點，點B是主動點，這種情景，應該利用代入法求軌跡方程.【反饋檢測8】已知.西的頂點區(qū)-孫依此，頂點工在拋物線上運動，求△池C的重心5的軌跡方程.題型九存在性問題解題方法一般先假設存在，再探求，最后檢驗.【例9】已知中心在原點，焦點在工軸上的橢圓d的離心率為2,且經過點2，過點F(2，D的直線’與橢圓q在第一象限相切于點取.(1)求橢圓°的方程；(2)求直線’的方程以及點舷的坐標；(3))是否存過點F的直線4與橢圓°相交于不同的兩點A*,滿足可?再二瓦片？若存在，求出11

直線’1的方程；若不存在，請說明理由.t解析】￡I）設橢圓。的方程為?二+1=ig>5>0）「由題意得￡=三04b? a2解得了=4:獷=3?故福圓。的方程為一十二二L（IIX因為過點產。1）的直線『與橢圓在第一象限相切，所以，’的斜率存在，故可調直線,的議程為。二找工—2）+1一匕匚］由+4 3-:得〔3+4/1，一2就2工-1）工+16必一16上一￡=0?①_y=k（x-2）+l因為直線與橢圓相切，所以也二［告21）『-4（3+W26--16—整理，得32（阮+3）>0解得了［y=-<0-2）+1=-<工+2.所以直線方程為2 2k=--將 2代入①式，可以解得航點橫坐標為1,故切點股坐標為（III）若存在直線/滿足條件，的方程為丁二叫E一團十^代入橢圓仃的方程得(3+4^)x2-8^(2^-l)x+16^2-16^-8=0.因為直線4與橢圓c相交于不同的兩點'乃，設』乃兩點的坐標分別為（孫h）,（孫均），所以A+跟儂-1）『-4?+W26M-16j"32g+A0-12k所以1 幽（2片一1） 1品；一1時一8.又(^-2)(^-2)+^-1)(^-1)=|,所以國-2股-2）（1+增二|[金石—2(、網+勺)+4](1+^2)=即所以*31篝-2'與篝。+4貝+用=左第=?解得網=土，因為4m為不同的兩點、，所以｛=?「于是存在直線f:滿足條件，其方程為工，=:工【點評】存在性問題，一把先假設存在，再探究，最后檢驗【反饋檢測9】在平面直角坐標系中，已知拋物線C：丁=2"初＞0），在此拋物線上一點版Q，㈤到焦點的距離是3.（1）求此拋物線的方程；（2）拋物線°的準線與x軸交于腸點，過腸點斜率為上的直線'與拋物線C交于工、B兩點.是否存在這樣的小，使得拋物線C上總存在點0（/沙。）滿足04_LQ3,若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.13高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第81講:圓錐曲線常見題型解法參考答案—+-【反饋檢測1答案】（1）§ ；（2）【反饋檢測1詳細解析】門）:橢圓也上一點和它的兩個焦點構成的三角形的周長為6+40又橢圓的離心率為手，即（=不，',=孚皿=3,C=14if：,b=\f橢圓鼠的方程為三十『=1.（2）不妨設近的方程尸網犬一笏（心0），則公的方程為y=^（x-3）,于+/=1, —6超。+9用之一1二0口_81?2-9 _27^-3設3M,昭心?產二1777,.?「=177?I5（71=71+??同理可得21S皿=產+巴=承受蘭后1+TI5（71=71+??同理可得21S皿=產+巴=承受蘭后1+T'+工，當且僅當§時等號成立，???△^c面積的最大值為G14

【反饋檢測2答案】【反饋檢測2詳細解析】由已知可得圓心到直線的距離~—a2c2+/=0=2J-5e2+2=0 =2=e=2 ，故選門【反饋檢測3答案】(I)-3；(II)4.【反饋檢測3詳細解析】(I)由題意：拋物線焦點為%0>設]:x=7-1代入；拋物線/=由口消去天春6-4。,-4=0;設劉二當)二弟馬二打)貝U =射；二?OA03=巧第-苴此=(M-lX<k,j-1)-J,ji；=i隆-工&-y;).1-乃=—4廠+4尸+1—4=—3(II)忸Q|=?工-?"二=J1-伊+25，,當工=3時，忸。，二二4,此時FQ±2的)【反饋檢測4答案】(1)(3)-8.【反饋檢測4【反饋檢測4答案】(1)(3)-8.【反饋檢測4詳細解析】(1)因為橢圓下:S=1「「丁 (鼻>"0過期⑵￡),犯=4故可求得&=2,〃=2/橢圓總的方程為⑵設外工城工皿允田每，乃)，當直線￡斜率存在時設方程為：：-..".一：,v=Ax+ffl解方程組「了十了―得,+現辰+陋＞=*,即Q+2好)^+4協+?加一*=0,解方程組則△=" "二；」『函…一：??[即幻「一；一一一；口(*)15,2zm3—8zm2—kFULIULiJ. + 要使Q4_L0B,需使u,即］-二丁-二二2_8^+8所以3；-一三；一一三二"即黑3 ①將它代入（*）式可得d產到上的距離為d產到上的距離為當AB的斜率不存在時，$二］，綜上占及韋達定理代入可得（3）點P（兩'八）在直線'i：/x+2y/=.也和白：與工+2”=%也上/沖+2yl%=872心/+2”口=8^/2

，16故點股（和乃）（產心）在直線犬而+2y八二遇上故直線劃的方程，-。+2川。=8正上設0,區(qū)分別是直線與橢圓準線，工=±4的交點47上+上/I由工通+2小口二￡點和工…得GI,丁42-2工n由-0+2^0"應和.4得以⑷ 「32-4x02故0G.eW=—16+ 必又尸（兩名）在橢圓/8+4一［有2+4/故4工J=32fJ【反饋檢測5答案】=—【反饋檢測5答案】=—8【反饋檢測5詳細解析】依題意知：，直線的斜率存在，且不等于①設直線1-'=奴工+1）,正工。，工（工rJi）,B（x,:y2）.由整理，得 也f+（、號-l1x+F=0 ①由直線和拋物線交于兩點，得也=（2標-1）：—4/=-4^+1>0,即0<:標<:二 ②由韋達定理，得：為+句=—七二f三二i.則線段AB的中點為（―。^二之）.k Ik2k1i]_?L-2線段的垂直平分線方程為：>」上=-二二一）IkkIk令k0,得2?-217v 為正三角形，現擊-舁）到直線AB的距離d為網二依-了+3一四）-土運解得13滿足②式，此時現擊-舁）到直線AB的距離d為網二依-了+3一四）-土運解得13滿足②式，此時【反饋檢測6答案】（1）;（2）橢圓方程為，拋物線方程為工+2y=4【反饋檢測6詳細解析】（1）由已知橢圓焦點在拋物線上，可得：1二V，由由題設可知N關于>軸對稱，設￡（—藥=刈）加（應二均乂均>0）,由上外必「的垂心為B,有崩一4=口=_父+（勸一之陽當一百）=0.4由點￥（為：網）在拋物線上，才+如1=/,解得：M=-2或^=白管去）4故甬=9故甬=9瓦A￡（—咚瓦一由重心在拋物線上得：3+1=吐所以白=?,廿〔一6「二）二陽：在「三），又因為明：》在橢圓上得:A.?.―一果橢圓方程為拋物魴程為八""318二十二二1【反饋檢測7答案】(1)4 3

修。；(2)直線過定點，定點坐標為%+「=ig>b>0)【反饋檢測7詳