《向量的坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)1.了解基本單位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；會用坐標(biāo)表示向量；會用兩向量的坐標(biāo)形式的和、差及實數(shù)與向量的積等運(yùn)算解決相關(guān)問題.2.經(jīng)歷如何將位置向量及任意向量表示為基本單位向量的線性組合這一正交分解的過程，以及經(jīng)歷如何通過向量的正交分解的本質(zhì)概括抽象出向量的坐標(biāo)表示的過程，初步形成抽象思維的能力；理解平面向量與一對有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，理解向量的坐標(biāo)表示方法及其運(yùn)算法則；體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.感知數(shù)學(xué)中的運(yùn)動、變化、相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，加深對辯證唯物主義觀點的體驗；發(fā)展從數(shù)學(xué)的角度分析和解決問題的能力，以及通過積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決的過程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主體意識，形成數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、慎密的思維習(xí)慣.二、教學(xué)重點及難點教學(xué)重點：如何寫向量的坐標(biāo)以及向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算及其應(yīng)用；教學(xué)難點：對向量的正交分解的過程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐標(biāo)表示的過程的理解.課時安排1課時四、教學(xué)過程設(shè)計（一）.情境引入上海市莘莊中學(xué)的健美操隊四名隊員A、B、C、D在一個長10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進(jìn)行健美操表演.（1）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊形.隊員A位于點F處，隊員B在邊FG上距F點3米處，隊員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？[說明]此時隊員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個圖形比較特殊，學(xué)生很快就會得到答案，這時教師引入第二個問題.（2）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊形.隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？[說明]不要求學(xué)生寫出結(jié)果，只引導(dǎo)學(xué)生思考.這個圖形更為一般一些，學(xué)生解決的可能不是很順，這時，教師就可以說，這一節(jié)我們就來學(xué)習(xí)一個新的內(nèi)容：向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算，學(xué)習(xí)了這個內(nèi)容之后，同學(xué)們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時間就可以解決這個問題了，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與探究的欲望.（二）學(xué)習(xí)新課1.向量的正交分解我們稱在平面直角坐標(biāo)系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為，如圖，稱以原點O為起點的向量為位置向量，如下圖左，即為一個位置向量.思考1：對于任一位置向量，我們能用基本單位向量來表示它嗎？如上圖右，設(shè)如果點A的坐標(biāo)為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來表示嗎？（依向量與實數(shù)相乘的幾何意義可得），于是可得：由上面這個式子，我們可以看到：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一位置向量都能表示成兩個相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解.2.向量的坐標(biāo)表示思考2：對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左.顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點O為起點作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個向量都存在一個與它相等的位置向量.由于這一點，我們研究向量的性質(zhì)就可以通過研究其相應(yīng)的位置向量來實現(xiàn).由于任意一個位置向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內(nèi)任意的一個向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即：==上式中基本單位向量前面的系數(shù)x,y是與向量相等的位置向量的終點A的坐標(biāo).由于基本單位向量是固定不可變的，為了簡便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來，得到有序?qū)崝?shù)對（x,y）.可知有序?qū)崝?shù)對（x,y）與向量的位置向量是一一對應(yīng)的.因而可用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示向量，并稱（x,y）為向量的坐標(biāo)，記作：=（x,y）[說明]（x,y）不僅是向量的坐標(biāo)，而且也是與相等的位置向量的終點A的坐標(biāo)！當(dāng)將向量的起點置于坐標(biāo)原點時，其終點A的坐標(biāo)是唯一的，所以向量的坐標(biāo)也是唯一的.這樣，我們就將點與向量、向量與坐標(biāo)統(tǒng)一起來，使復(fù)雜問題簡單化.例1.（課本例題）如圖，寫出向量的坐標(biāo).解：由圖知與向量相等的位置向量為：與向量相等的位置向量為：[說明]對于位置向量，它的終點的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)；對于起點不在原點的向量，我們是通過先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標(biāo)得到它們的坐標(biāo).那么，有沒有不通過位置向量，直接就寫出任意向量的坐標(biāo)的方法呢？答案是肯定的，而且很簡便，但我們需幾分鐘后再來解決這個問題.讓我們先學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算：3.向量的坐標(biāo)表示的運(yùn)算我們學(xué)過向量的運(yùn)算，知道向量有加法、減法、實數(shù)與向量的乘法等運(yùn)算，那么，在學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示以后，我們怎么用向量的坐標(biāo)形式來表示這些運(yùn)算呢？[說明]上面第一個式子用語言可表述為：兩個向量的和(差)的橫坐標(biāo)等于它們對應(yīng)的橫坐標(biāo)的和(差)，兩個向量的和(差)的縱坐標(biāo)也等于它們對應(yīng)的縱坐標(biāo)的和(差)，可籠統(tǒng)地簡稱為：兩個向量和(差)的坐標(biāo)等于對應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；同樣，第二個式子用語言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標(biāo)等于數(shù)與向量的橫坐標(biāo)的積，數(shù)與向量的積的縱坐標(biāo)等于數(shù)與向量的縱坐標(biāo)的積，也可籠統(tǒng)地簡稱為：數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于數(shù)與向量對應(yīng)坐標(biāo)的積.4.應(yīng)用與深化下面我們來研究剛才提出的不通過位置向量，如何直接寫出任意向量的坐標(biāo)的問題：例2.如下圖左，設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點，如何用P、Q的坐標(biāo)來表示向量？[說明]上面這個式子告訴我們：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量的橫坐標(biāo)等于它終點的橫坐標(biāo)與它起點的橫坐標(biāo)的差，縱坐標(biāo)也等于它終點的縱坐標(biāo)與它起點的縱坐標(biāo)的差，可簡稱為“任意向量坐標(biāo)=終點坐標(biāo)-起點坐標(biāo)”.例3.（課本例題）如圖，平面上A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（-1,7）、(3,6)、(2,8).（1）寫出向量的坐標(biāo)；（2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標(biāo).解：（1）（2）在上圖中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以設(shè)點D的坐標(biāo)為，于是有又故由此可得解得因此點D的坐標(biāo)為.練習(xí)：（1）請大家用兩分鐘的時間解答本節(jié)課一開始我們所提出的在某時刻，健美操隊員C的位置問題.即：在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊形.如下圖左，隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？解：以點F為坐標(biāo)原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系.則依題意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),設(shè)C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得：又故于是x=8,y=7,即C（8，7）.答：隊員C位于距EF邊8米、距FG邊7米處.（2）在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持平行四邊形隊形.已知隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區(qū)域內(nèi)（包括邊界）某一位置.你能確定此時隊員D可能的位置區(qū)域嗎？解：以點F為坐標(biāo)原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所