《回歸分析的基本思想及其初步應用》教學設計教學目標：1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理；2．了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的基本模式，能利用“三段論”進行簡單的推理.教學重點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題.教學難點：用歸納和類比進行合情推理，做出猜想。教學課時：1課時學習策略：①合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢。②合情推理中的歸納、類比都是具有創(chuàng)造性的或然推理.不論是由大量的實例，經過分析、概括、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的歸納，還是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的類比，它們的共同點是，結論往往超出前提所控制的范圍，所以它們是“開拓型”或“發(fā)散型”的思維方法.也正因為結論超出了前提的管轄范圍，前提也就無力保證結論必真，所以歸納類比都是或然性推理.③演繹推理所得的結論完全蘊含于前提之中，所以它是“封閉型”或“收斂型”的思維方法.只要前提真實，邏輯形式正確，結論必然是真實的.知識要點梳理知識點一：推理的概念根據(jù)一個或幾個已知事實(或假設)得出一個判斷，這種思維方式叫做推理．從結構上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結論．知識點二：合情推理根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果、個人的經驗和直覺等，經過觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納、類比等推測出某些結果的推理過程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。1.歸納推理（1）定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。（2）一般模式：部分整體，個體一般（3）一般步驟：①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；②從已知的相同的性質中猜想出一個明確表述的一般性命題；③檢驗猜想.（4）歸納推理的結論可真可假歸納推理一般都是從觀察、實驗、分析特殊情況開始，提出有規(guī)律性的猜想；一般地，歸納的個別情況越多，就越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠.由于歸納推理的前提是部分的、個別的事實，因此歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以歸納推理所得的結論不一定是正確的.2.類比推理（1）定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對象，但類比的原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇恰當?shù)念惐葘ο?（4）一般步驟：①找出兩類對象之間的相似性或一致性；②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）；③檢驗猜想.（5）類比推理的結論可真可假類比推理中的兩類對象是具有某些相似性的對象，同時又應是兩類不同的對象；一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質越相關，那么類比得出的命題就越可靠.類比結論具有或然性，所以類比推理所得的結論不一定是正確的。知識點三：演繹推理（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，按照嚴格的邏輯法則，推出某個特殊情況下的結論的推理，叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情況；結論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的結論.（3）用集合的觀點理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質，是的子集，那么中所有元素都具有性質（4）演繹推理的結論一定正確演繹推理是一個必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結論一定是正確的，它是完全可靠的推理。規(guī)律方法指導合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系（1）從推理模式看：①歸納推理是由特殊到一般的推理．②類比推理是由特殊到特殊的推理．③演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）從推理的結論看：①合情推理所得的結論不一定正確，有待證明。②演繹推理所得的結論一定正確。（3）總體來說，從推理的形式和推理的正確性上講，二者有差異；從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的。合情推理的結論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的內容一般是通過合情推理獲得的；演繹推理可以驗證合情推理的正確性，合情推理可以為演繹推理提供方向和思路.經典例題透析類型一：歸納推理1．用推理的形式表示數(shù)列的前項和的歸納過程.思路點撥：依題意，表示數(shù)列的前項和，即.為此，我們先根據(jù)該公式，算出數(shù)列的前幾項，通過觀察進一步歸納得出與的對應關系式.解析：對數(shù)列的前項和分別進行計算：，，，，.觀察可得，數(shù)列{Sn}的前五項都等于1到相應序號的自然數(shù)之和的平方，由此猜想數(shù)列的前項和.總結升華：①本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來，然后尋找規(guī)律，概括出整體的情況，是典型的歸納推理.②歸納常常從觀察開始，觀察、實驗、對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，是數(shù)學研究的基本方法之一③歸納猜想是一種重要的思維方法，但結果的正確性還需進一步證明.在歸納猜想數(shù)列的前項和公式時，要認真觀察數(shù)列中各項數(shù)字間的規(guī)律，分析每一項與對應的項數(shù)之間的關系.④雖然由歸納推理所得到的結論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般，由具體到抽象的認知功能，對于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的.舉一反三：【變式1】用推理的形式表示等差數(shù)列1，3，5，…，（2－1），…的前項和的歸納過程.【答案】對等差數(shù)列1，3，5，…，（2－1），…的前1，2，3，4，5，6項的和分別進行計算：；；；；；：觀察可得，前項和等于序號的平方，由此可猜想.【變式2】設，計算的值，同時歸納結果所具有的性質，并用驗證猜想的結論是否正確.【答案】，，.∵43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都為質數(shù)由此猜想，為任何正整數(shù)時，都是質數(shù).驗證：當時，，為合數(shù)，因此猜想的結論不正確.【變式3】在數(shù)列中，a1=1，且，計算a2、a3、a4，并猜想的表達式.解析：，，，猜想：.2．平面內的1條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點的直線把平面分成7部分，n條彼此相交而無三條共點的直線，把平面分成多少部分？思路點撥：可通過畫當直線條數(shù)n為3，4，5時，分別計算出它們將平面分成的區(qū)域數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再歸納出結論.解析：設平面被n條直線分成部分，則：當n=1時，S1=1+1=2；當n=2時，S2=1+1+2=4；當n=3時，S3=1+1+2+3=7；當n=4時，S4=1+1+2+3+4=11.據(jù)此猜想，得.舉一反三：【變式1】平面中有n個圓，每兩個圓都相交于兩點，每三個圓都無公共點，它們將平面分成塊區(qū)域，有，，，……，則的表達式是___________.【答案】【變式2】圖（a）、（b）、（c）、（d）為四個平面圖形（1）數(shù)一數(shù)，每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？它們將平面各分成了多少個區(qū)域？（2）推斷一個平面圖形的頂點數(shù)，邊數(shù)，區(qū)域數(shù)之間的關系.【答案】（1）各平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)如下表：平面圖形頂點數(shù)（)邊數(shù)()區(qū)域數(shù)()a332b8126c695d10157（2）觀察：3+2－3=2；8+6－12=2；6+5－9=2；10+7－15=2.通過觀察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的關系為：.類型二：類比推理3．在三角形中有下面的性質：(1)三角形的兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊；(3)三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形的內心；(4)三角形的面積，（為三角形的三邊長，為三角形的內切圓半徑)．請類比寫出四面體的有關性質．思路點撥：利用三角形的性質，通過觀察四面體的結構，比較二者的內在聯(lián)系，從而類比出四面體的相似命題，提出猜想．解析：(1)四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積；(2)四面體的中位面的面積等于第四個面面積的四分之一，且平行于第四個面；(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體的內切球的球心；(4)四面體的體積，(為四面體的四個面的面積，為四面體的內切球半徑).總結升華：1.把平面幾何的問題類比立體幾何的問題，常常有如下規(guī)律：(1)平面中的點類比為空間中的線；(2)平面中的線類比為空間中的面；(3)平面中的區(qū)域類比為空間中的空間區(qū)域；(4)平面中的面積類比成空間中的體積．2．運用類比推理必須尋找合適的類比對象，充分挖掘事物的本質及內在聯(lián)系.即進行類比的對象必須具有某些類似特征，并且已知其中一類對象的某些已知特征，否則會使類比成為“亂比”，對兩個“風馬牛不相及”的事物，沒有可比性，也沒有類比的價值.可從不同角度選擇類比對象，但要強調類比的原則是根據(jù)當前問題的需要.3．類比推理是數(shù)學教學中經常采用的推理形式，如向量的運算性質與實數(shù)的運算性質的類比，立體幾何中的許多定理性質與平面幾何中的有關定理、性質的類比等.舉一反三：【變式1】在平面幾何中有命題“正三角形內任意一點到三邊距離之和是一個定值”，那么在正四面體中類似的命題是什么？【答案】類似的命題為“正四面體內任意一點到四個面的距離之和是一個定值”.平面幾何中的命題可用面積法證明其正確性，即該點與正三角形三個頂點連結所得到的3個小三角形面積和等于正三角形的面積.由此類比可得到啟發(fā)，可用體積法證明正四面體中這個類似的命題.【答案】考慮到平面中的圖形是直角三角形，所以我們在空間選取有3個面兩兩垂直的四面體，且三個面與面所成的二面角分別是，，，類比直角三角形的性質猜想四面體的性質.如圖所示，在中，.于是把結論類比到四面體中，若三個側面、、兩兩互相垂直且分別與底面所成的角為，，,則.【變式3】已知等差數(shù)列的公差為，前項和有如下性質：①通項②若，則③若，則.④，，構成等差數(shù)列.類比上述性質，在等比數(shù)列中，寫出相類似的性質.【答案】在等比數(shù)列中，公比為，前項和為①通項：②若，則③若，則④，，構成等比數(shù)列.【變式4】在△ABC中，若BC⊥AC，AC=b，BC=a，則△ABC的外接圓半徑.將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體S—ABC中，若SA、SB、SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，則四面體S—ABC的外接球半徑R=________.【答案】類型三：演繹推理4．已知：在空間四邊形中，、分別為、的中點，用三段論證明：∥平面證明：連結∵三角形兩邊中點的連線是三角形的中位線…………大前提而、分別兩邊、的中點，……小前提∴是的中位線.………………結論∵三角形的中位線平行于第三邊………………大前提而是的中位線，………………小前提∴∥.………………結論∵平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行………大前提EF在平面外，在平面內，且∥，……小前提所以∥平面.………………結論總結升華：①三段論是演繹推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情況，結論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷.②演繹推理是由一般到特殊的推理，這決定了演繹推理的結論不會超出前提所界定的范圍，所以其前提和結論之間的聯(lián)系是必然的.因此在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，結論就必然正確.③歸納和類比是常用的合情推理.從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理.從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.舉一反三：【變式1】有一位同學利用三段論證明了這樣一個問題：證明：因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，…………大前提而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，…………小前提所以菱形是正多邊形.………………結論（1）上面的推理形式正確嗎？（2）推理的結論正確嗎？為什么？【答案】上述推理的形式正確，但大前提是錯誤的（因為所有邊長都相等，內角也相等的凸多邊形才是正多邊形），所以所得的結論是錯誤的.【變式2】寫出三角形內角和定理的證明，并指出每一步推理的大前提和小前提.已知：中，求證：.【答案】延長到，得的外角，過點在內作∥∵若兩直線平行，則同位角相等、內錯角相等，…………大前提而∥，…………小前提∴.………………結論由平角是，…………大前提而＝是一個平角，………………小前提∴……………結論【變式3】如圖2-1-8所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD=∠A，DE∥BA，求證：ED=AF.【答案】（1）同位角相等，兩條直線平行，（大前提）∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD=∠A，（小前提）所以，DF∥EA.（結論）（2）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（大前提）DE∥BA且DF∥EA，（小前提）所以，四邊形AFDE為平行四邊形.（結論）（3）平行四邊形的對邊相等（大前提）ED和AF為平行四邊形的對邊，（小前提）所以，ED=AF.（結論）上面的證明通常簡略地表述為：四邊形AFDE是平行四邊